北师大版完全平方公式完美课件3

第一章整式的乘除1.6.1完全平方公式北师大版数学七年级下册1.完全平方公式的推导及其应用.2.完全平方公式的几何解释.学习目标

我们上一节学习了平方差公式即(a+b)(a-b)=a2-b2，现在遇到了两个数的和的平方，即(a+b)2，这是我们这节课要研究的新问题．导入新知1知识点完全平方公式探究计算下列各式，你能发现什么规律？(1)

(p+1)2=(p+1)(p+1)=

.(2)(m+2)2=

.(3)(p－1)2=(p－1)(p－1)=

.(4)(m－2)2=

.p2+2p+1m2+4m+4m2

－

4m+4p2－2p+1合作探究我们来计算下列(a+b)2，(a－b)2.(a+b)2=

(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2.(a－b)2=

(a－b)(a－b)=a2－ab－ab+b2

=a2－2ab+b2.完全平方公式的数学表达式：

(a+b)2=

a2+2ab+b2.

(a－b)2=

a2－2ab+b2.完全平方公式的文字叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.C．47D．51＋2ab＝a2＋b2；方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．(2)(a－b)2·(a＋b)2；利用完全平方公式计算：B．(a＋1)(a－2)＝a2＋a－2(2)(a－b)2·(a＋b)2；(3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；＋2ab＝a2＋b2；＝a2－2ab＋b2－9.＝－(x2－y2)2＝－(x4－2x2y2＋y4)(a+b)2=(a+b)(a+b)本题运用了整体思想求解．对于平方式中若底数是三(3)(n+1)2－n2.＝(a＋b)2化为两数和或差的平方形式，再利(3)(p－1)2=(p－1)(p－1)=.(4)(m－2)2=.(3)(x＋y)(－x＋y)(x2－y2)．边是二次三项式，其中两项分别是公式左边两项两数差的完全平方公式：公式的特点：4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b21.积为二次三项式；2.其中两项为两数的平方和；3.另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中间的符号相同.首平方，尾平方，积的2倍在中央新知归纳例1利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2；(2)(4x+5y)2；(3)

(mn－a)2

.解：

(1)(2x－3)2=(2x)2－2·2x·3+32

=4x2－12x+9；(2)(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2

=16x2+40xy+25y2；(3)(mn－a)2=(mn)2－2·mn·a+a2

=m2n2－2amn+a2.合作探究例2利运用完全平方公式计算：(1)(－2x＋5)2；(2)(－m－2n)2；(3)导引：先将算式利用(a－b)2＝(b－a)2，(－a－b)2

＝(a＋b)2化为两数和或差的平方形式，再利

用完全平方公式计算．解：(1)原式＝(2x－5)2＝(2x)2－2·2x·5＋52

＝4x2－20x＋25；(2)原式＝(m＋2n)2＝m2＋2·m·2n＋(2n)2

＝m2＋4mn＋4n2；(3)原式＝在应用公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2时关键是弄清题目中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的b，同时还要确定用两数和的完全平方公式还是两数差的完全平方公式；解(1)(2)时还用到了互为相反数的两数的平方相等．新知小结两数和的完全平方公式：两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数积的两倍两数差的完全平方公式：两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数积的两倍合作探究bbaa(a+b)²a²b²abab++两数和的完全平方公式：(a+b)²aabb两数差的完全平方公式：(a－b)²ababb2例3计算：(1)(2x－1)2－(3x＋1)2；(2)(a－b)2·(a＋b)2；(3)(x＋y)(－x＋y)(x2－y2)．导引：对于(1)可分别利用完全平方公式计算，再合并同类项；对于(2)可以把底数(a－b)，(a＋b)分别看作一个整体，然后逆用积的乘方法则进行计算；对于(3)先利用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方公式进行计算．B．(a＋1)(a－2)＝a2＋a－2C．6D．±6A．3B．±3在利用完全平方公式进行计算时，经常会遇到这个公计算下列各式，你能发现什么规律？若x2＋6x＋k是完全平方式，则k等于()(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；=16x2+40xy+25y2；两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数积的两倍(1)(x+3)2－x2；2．完全平方公式常见的变形公式有：＝(a＋b)2化为两数和或差的平方形式，再利两数和的完全平方公式：计算(－a－b)2等于()(1)962＝(100－4)2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2=x2+10x+25－(x2－5x+6)可简记为“前平方、后平方，积的2倍在中央”．解：(1)原式＝(2x－5)2＝(2x)2－2·2x·5＋52两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数积的两倍(1)原式＝4x2－4x＋1－(9x2＋6x＋1)

＝4x2－4x＋1－9x2－6x－1

＝－5x2－10x；(2)原式＝[(a－b)(a＋b)]2

＝(a2－b2)2＝a4－2a2b2＋b4；(3)原式＝－(x＋y)(x－y)(x2－y2)

＝－(x2－y2)2＝－(x4－2x2y2＋y4)

＝－x4＋2x2y2－y4.解：例4计算：(1)(x+3)2－x2

；(2)(a+b+3)(a+b－3)；(3)(x+5)2－(x－2)(x－3).解：(1)(x+3)2－x2=x2+6x+9－x2

=6x+9(2)(a+b+3)(a+b－3)=[(a+b)+3][(a+b)－3]=(a+b)2－32=a2+2ab+b2－9；(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)=x2+10x+25－(x2－5x+6)=x2+10x+25－x2+5x－6=15x+19.本题运用了整体思想求解．对于平方式中若底数是三项式，通过添括号将其中任意两项视为一个整体，就符合完全平方公式特点；对于两个三项式或四项式相乘的式子，可将相同的项及互为相反数的项分别添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，通过平方差公式展开再利用完全平方公式展开，最后合并可得结果．新知小结1【中考·安顺】若代数式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k＝_____________．若x2＋6x＋k是完全平方式，则k等于(

)A．9B．－9C．±9D．±3210或－10A巩固新知3小明计算一个二项式的平方时，得到正确结果a2－10ab＋■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是(

)A．5bB．5b2

C．25b2D．100b2C4计算：(1)；(2)；(3)(n+1)2－n2.(3)(n＋1)2－n2＝(n2＋2n＋1)－n2＝2n＋1.解：【2017·金华】在下列计算中，正确的是(

)A．m3＋m2＝m5

B．m5÷m2＝m3C．(2m)3＝6m3

D．(m＋1)2＝m2＋15B6C计算(－a－b)2等于(

)A．a2＋b2

B．a2－b2C．a2＋2ab＋b2

D．a2－2ab＋b27【2017·台州】下列计算正确的是(

)A．(a＋2)(a－2)＝a2－2B．(a＋1)(a－2)＝a2＋a－2C．(a＋b)2＝a2＋b2D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D2知识点完全平方公式的应用例5已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.导引：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平

方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．解：因为a2＋b2＝13，ab＝6，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25；(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－2×6＝1.合作探究在利用完全平方公式进行计算时，经常会遇到这个公式的如下变形：(1)(a＋b)2－2ab＝a2＋b2；(2)(a－b)2＋2ab＝a2＋b2；(3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；(4)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.灵活运用这些公式的变形，往往可以解答一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力．新知小结利用整式乘法公式计算：(1)962；(2)(a－b－3)(a－b＋3)．1(1)962＝(100－4)2

＝1002－2×100×4＋42

＝9216.(2)(a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－32

＝a2－2ab＋b2－9.解：巩固新知2若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为(

)A．2abB．－2ab

C．4abD．－4ab若(x＋3)2＝x2＋ax＋9，则a的值为(

)A．3B．±3C．6D．±63CC4已知x－y＝7，xy＝2，则x2＋y2的值为(

)A．53B．45C．47D．51【中考·淄博】若a＋b＝3，a2＋b2＝7，则ab等于(

)A．2B．1C．－2D．－15AB(3)20162－4032×2015＋20152.解：(1)(2x－3)2=(2x)2－2·2x·3+32(2)(4x+5y)2；(2)(－m－2n)2；(3)20162－4032×2015＋20152.号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，通过平导引：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平两数差的完全平方公式：(1)(2x－3)2；式的如下变形：(1)(a＋b)2－2ab＝a2＋b2；(1)原式＝x2＋2xy＋y2－4(x2－y2)＋4(x2－2xy＋y2)易错点：对完全平方公式的特征理解不透导致漏解可简记为“前平方、后平方，积的2倍在中央”．(3)(n+1)2－n2.(1)962＝(100－4)2C．6D．±6(3)(mn－a)2=(mn)2－2·mn·a+a2项式，通过添括号将其中任意两项视为一个整体，就C．6D．±6B．(a＋1)(a－2)＝a2＋a－26若a－b＝1，ab＝6，则a＋b等于(

)A．5B．－5C．±D．±5D【中考·福州】若x＋y＝10，xy＝1，则x3y＋xy3的值是________．798如图，将完全相同的四张长方形纸片和一张正方形纸片拼成一个较大的正方形，则可得出一个等式为(

)A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4abD8利用完全平方公式计算：(1)(x＋y)2－4(x＋y)(x－y)＋4(x－y)2；9(1)原式＝x2＋2xy＋y2－4(x2－y2)＋4(x2－2xy＋y2)

＝x2