母函数与递推关系课件

母函数与递推关系56、极端的法规，就是极端的不公。——西塞罗57、法律一旦成为人们的需要，人们就不再配享受自由了。——毕达哥拉斯58、法律规定的惩罚不是为了私人的利益，而是为了公共的利益；一部分靠有害的强制，一部分靠榜样的效力。——格老秀斯59、假如没有法律他们会更快乐的话，那么法律作为一件无用之物自己就会消灭。——洛克60、人民的幸福是至高无个的法。——西塞罗母函数与递推关系母函数与递推关系56、极端的法规，就是极端的不公。——西塞罗57、法律一旦成为人们的需要，人们就不再配享受自由了。——毕达哥拉斯58、法律规定的惩罚不是为了私人的利益，而是为了公共的利益；一部分靠有害的强制，一部分靠榜样的效力。——格老秀斯59、假如没有法律他们会更快乐的话，那么法律作为一件无用之物自己就会消灭。——洛克60、人民的幸福是至高无个的法。——西塞罗母函数与递推关系递推关系是计数的一个强有力的工具,特别是在做算法分析时是必需的。递推关系的求解主要是利用母函数。当然母函数尚有其他用处,但这主要是介绍解递推关系上的应用。例如(1+a1x)(1+a2x)…(1+anx)=1+(a1+a2+…+an)x+(12+a12+…+a.)x+.、nan母函数与递推关系§1母函数定义:给定序列(ao4a1…,n…),记为an,函数f(x)=ao+arr+.+ar+称为该序列的普通母函数,简称母函数。例常数列(1,1)的母函数为f(x)=1+x+…+x"+…=1/(1-x)数列{C(n,i)},i=0,1,2,,n的母函数为∑C(n,i)x2=(1+x)=0这里的母函数只是“形式幂级数”,运算均按收敛全国高等学校英语应用能力考试（PRETCO）简称英语应用能力考试,分为A、B两个级别，是教育部于1998年开始实施的专门针对高职学生开展的一项考试,其中B级为高职高专学生应达到的最低标准要求。该项考试开展10年来，得到了越来越多的高职高专院校和学生的认可，目前，它已成为教育部考核高职高专院校教学质量的检测标准之一。为了提高英语应用能力考试通过率，笔者所在的学院近年来采取了分层次教学的方式，这是为了适应高职学生在英语教学中个体差异的需要，提高英语教学质量而采取的一种教学方式。在英语这一累积性非常强的语言课堂上，由于学生基础相隔悬殊，采用传统的教学法，教学上无论是采取“高难度、快节奏”“小步子、低起点”，还是“抓中间、带两头”的统一教学模式，都只能面向一部分学生，而使得其他学生要么“吃不饱”、要么“消化不了”，得不到应有的提高与发展，甚至产生厌学的情绪，出现逃课或者“上甲课做乙事”之类的抵触心理，严重影响了学生过级的兴趣和信心。布鲁姆认为:“如果学生前提行为存在很大差异，教学要是不能适应每个学生，那么学习结果之间就会存在很大差异。”事实上，在差异相当悬殊的班级里，教师没办法给每一个学生同样多的关照。为使差异悬殊的学生都能适当学习，并保证有所发展，传统的统一教学内容、同一教学方法、同一教学进度的课堂教学显然是不合适的，要想达到理想的教学效果，分层次教学是必然的应对措施。分层次教学的理念不是近年提出来的，早在20世纪西方一些国家就已出现并流行过，近年欧洲大陆出现的“区别化教学”以及我国建国初的“复式教学”就是典型的例子。上海建平中学和南京师范大学附属中学自1987年以来就搞“按程度分层次教学”的教学改革，学生可以根据自己的兴趣和接受能力选择进入不同程度的课堂学习。尽管分层次教学的表现形式多样，其实质都是承认学生差异、尊重学生主体意识、发展学生个性与特长，以期使所有学生都得到进步。要进行分层次教学，首先得弄清楚学生层次的差异所在，学生的差异是客观存在的，差异意味着数量的存在，而数量是可以进行测量的。为给不同层次学生提供适合他们不同情况的教学，这就需要进行差异测查。对学生英语差异进行测查主要测其听、说、读、写、译的知识基础，查其对英语学习的兴趣等。通过测查，使学生对自己的英语基础有个全面的了解，从而看到自己的优势、特长和不足，知道自己应努力的方向。一提起差异测查，我们会立即想到作为测查成绩的有其独到的易操作性与客观性的考试，英语要分层次教学，在教学前要体现出层次来，最简捷的办法是通过考试对学生的听、说、读、写、译来一个全面的知识水平的考查。全面了解学生已有的英语知识储备状况、学生对英语学习的态度、兴趣等现有水平基础之后,在学生自愿的前提下将学生分成A、B两个层次。A层以通过A级为目标，B层则以通过B级为目标。在A层中再根据学生英语程度分为A1、A2和A3三个层次，B层中分为B1、B2两个层次开展教学，同时保留原有的按专业自然分班不变，学生跑班上英语课。对同年级的自然班，在教学开始之前，针对不同学生层次做不同的英语教学活动准备、进行不同的英语教学设计。至于教学内容的选择，前苏联著名的教育家苏霍姆林斯基说过:“完善的智育的一个重要的条件就是教学方法、课的结构及可能的所有组织因素，都应当与教材的教学目的和教育目的相适应，与学生全面发展的任务相适应。”在教学目标上，对不同学生层次施以不同的教学内容、教学方法、教学进度。具体地说，A层次应不拘泥于现有的课程目标，适当拔高，教材可采用高职实用英语（业务教程）；B层次教材可采用程度相当于初中的入门教程。在整个教学过程中，教学方法是教学成败的关键。学生不仅仅在学习方式上存在差异，在思维类型上也有所不同。不同层次的学生，由于水平层次、学习方式、思维风格的差异，要采取不同的教学方法。不管采用何种教学方法，都要有利于学生扬长补短，都要体现启发式教学的思想，让学生积极主动地获取知识、主动地学习和探索。未来社会要求有主体精神的人、有创新精神的人，要求我们的学生学会求知、学会合作，而且只有当学生都独立自主地、主动地学习和合作时，教师才能有更多时间、精力充沛地照顾学生的差异，帮助那些有特殊需要的学生。具体地说，A层次的学生基础好，可以坚持“立志向、导探索、自己走”的原则，着重培养其听、说、读、写、译的综合运用能力，培养其自主学习与自我教育的创造精神，以便其在英语学习中走得更快、更好、更深、更远；B层次的学生基础薄弱，对英语学习显得底气不足、信心不高。教学中最重要的是要激发起学生的学习兴趣、夯实其知识基础，让学生尝到学习的快乐，从而激起其学习英语的欲望，逐渐由“要我学”变成“我要学”。通过多年的教学，我觉得在基础特差的班级里，英语老师若过分强调知识的讲解到位、应用到点，只会让学生厌烦。如果我们不急于在一节课上讲很多知识点而是就某一方面的知识用游戏或其他诸如歌曲的方式表达一些，由此引出一些学生喜闻乐见的、与此相关的生活中的东西，让学生在课堂上既轻松应对，又有所收获，慢慢积累起对英语学习的积极性和主动性。在教学过程中，为发现每个学生的英语学习潜能、强化改进学生的英语学习，要利用各种有关教学进程的信息(比如期考、段考和测验等)，按照学生英语学习的自身发展需要采取适当的修正措施。提高学生英语过级率需要长期扎扎实实的工作,只有在大纲的指导下，以教材为中心,使学生在听、说、读、写、译上得到较大的提高,才能真正提高学生的英语水平,并有助于消除高分低能的不正常现象。只有在提高学生的英语运用能力的前提下提高过级率,过级才有实际意义。分段函数历来是高考中的“常客”.所谓分段函数指的是自变量在不同的取值范围内，有不同的表达式.分段函数由于是分段定义的，与一般函数有着明显的区别，同学们必须注意以下几点：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数;（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域也是各段值域的并集;（3）分段函数的解析式中的“{”与方程（或不等式）组中的“{”的含义是不同的，后者是“并且”的意思，“{”中的要求要同时满足，而前者是分类定义，即对定义域进行分类后分别定义函数，没有“并且”的意思.那么，在高考中分段函数一般涉及哪些问题呢？一、分段函数的函数值问题例1（2015?新课标Ⅱ改编）设函数f（x）=1+log2（2-x），x<1，2x-1，x≥1，f（-2）+f（log212）=.解析：由已知得f（-2）=1+log24=3，又log212>1，所以f（log212）=2log212-1=2log26=6，故f（-2）+f（log212）=9.评注：利用分段函数的定义可以由自变量的值去求对应的函数的值，反之也可以根据给出的函数值求出对应的自变量的值.注意：只有满足它的自变量的范围才能用与之对应的解析式.二、分段函数的图像问题例2（2015?北京改编）如右图函数f（x）的图像为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是.解析：由图知，f（x）=2x+2，-1≤x≤0，-x+2，0<x≤2.设g（x）=log2（x+1）.在同一坐标系中画出f（x），g（x）的图像（如下图），令-x+2=log2（x+1），解得x=1，故不等式的解集为{x|-1≤x≤1}.评注：由图像知函数f（x）是分段函数.由于所给不等式是一个非常规不等式，所以采用图像法来解，答案从图像上一望便知.三、分段函数的值域问题例3（2015?福建）若函数f（x）=-x+6，x≤2，3+logax，x>2，（a>0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是.解析：当x≤2时，函数f（x）=-x+6是减函数，故f（x）≥f（2）=4，即f（x）∈[4，+∞）.又因为函数的值域恰为[4，+∞），故当x>2时，f（x）=3+loga2≥4，即loga2≥1故实数a的取值范围是（1，2].评注：函数值域的常用求法：配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.四、分段函数的最值问题例4（2015?北京）设函数f（x）=2x-a，x<1，4（x-a）（x-2a），x≥1.若a=1，则f（x）的最小值为.解析：当a=1时，f（x）=2x-1，x<1，4x2-12x+8，x≥1.当x<1时，-1<2x-1<1;当x≥1时，f（x）=4x2-12x+8在区间[1，32]上单调递减，在区间[32，+∞）上单调递增，所以当x=32时，f（x）min=f（32）=4×（32）2-12×32+8=-1.所以答案：-1.评注：利用函数的单调性，也是求分段函数最值最有效的方法.五、与分段函数有关的方程问题例5（2015?山东改编）设函数f（x）=3x-1，x<1，2x，x≥1.则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是.解析：当a<1时，f（a）=3a-1，若f（f（a））=2f（a），则f（a）≥1，即3a-1≥1，∴23≤a<1;当a≥1时，f（a）=2a≥2，此时f（f（a））=2f（a）.恒成立.综上所述，a≥23.评注：本题给出的是个方程，方程的解却是一个范围，体现了高考命题的新颖性和创新性.本题考查的是分类讨论思想，具有一定难度.六、分段函数的零点问题例6（2015?天津改编）已知函数f（x）=2-|x|，x≤2，（x-2）2，x>2，函数g（x）=b-f（2-x），其中b∈R，若函数y=f（x）-g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是.解析：f（2-x）=2-|2-x|，x≥0，x2，x<0，即f（2-x）=x2，x<0，x，0≤x≤2，4-x，x>2.而f（x）=2+x，x<0，2-x，0≤x≤2，（x-2）2，x>2，所以f（x）+f（2-x）=x2+x+2，x<0，2，0≤x≤2，x2-5x+8，x>2.在同一坐标系中分别画出函数y=f（x）+f（2-x），y=b的图像，如下图.要使y=f（x）-g（x）有4个不同的零点，只要上述两个函数的图像有4个不同的交点即可，由于函数y=f（x）+f（2-x）的最小值为74，因此74<b<2.故答案：74<b<2.评注：分段函数的零点个数问题，一般采用图像法最有效.七、分段函数的解析式问题例7（2015?全国卷Ⅱ改编）如右图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图像大致为（填序号）.解析：要选出函数f（x）的图像，必须先求出这个分段函数的解析式.由于本题是选择填空题，且答案唯一，故只需求出这个分段函数的部分表达式，再利用排除法.当点P在BC上时，|PB|=tanx，|PA|=tan2x+4，|PA|+|PB|=tanx+tan2x+4，即f（x）=tanx+tan2x+4，x∈[0，π4]，由正切函数的性质可知，函数f（x）在[0，π4]上单调递增，所以其最大值为1+5，且函数y=f（x）的图像不可能是线段，排除图（1）和图（3）.当点P在CD上运动时，我们取P为CD的中点，此时x=π2，f（π2）=22，由于22<1+5，即f（π2）<f（π4），排除图（4）.综上可知，只有图（2）中图像符合题意.故答案：（2）.评注：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，需针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图像.说明：由于江苏数学高考不出选择题，故本文将2015年高考涉及分段函数的选择题都改编成了填空题.（作者：王佩其，太仓市明德高级中学）母函数与递推关系递推关系是计数的一个强有力的工具,特别是在做算法分析时是必需的。递推关系的求解主要是利用母函数。当然母函数尚有其他用处,但这主要是介绍解递推关系上的应用。例如(1+a1x)(1+a2x)…(1+anx)=1+(a1+a2+…+an)x+(12+a12+…+a.)x+.、nan母函数与递推关系§1母函数定义:给定序列(ao4a1…,n…),记为an,函数f(x)=ao+arr+.+ar+称为该序列的普通母函数,简称母函数。例常数列(1,1)的母函数为f(x)=1+x+…+x"+…=1/(1-x)数列{C(n,i)},i=0,1,2,,n的母函数为∑C(n,i)x2=(1+x)=0这里的母函数只是“形式幂级数”,运算均按收敛母函数与递推关系母函数的组合意义:考察[1+(ax)+(ax)2+…]×[1+(bx)+(bx)2+×[1+(cx)2+(cx)2…4=1+(a+b+c)x+(a'tabac+b+bc+c)x+(a+ababta'ctac+abc+b+b'c+bc+cx+...母函数与递推关系其中:x前的系数为a,b,c的所有可重1组合,x2前的系数为a,b,c的所有可重2组合般地:x"前的系数为a,bc的所有可重n-组合,在前式中取a=b=c=1,则x前的系数为ab,c的所有可重n-组合数F(3,n)1+x+x2+…)(+x1+x2+…)(+x+x2)(1+x1+x2+….)=1+3x+6x2+10x3+∑F(3,n)x母函数与递推关系所以,构造某组合问题的组合数an的母函数f(x)的基本方法为:用一个乘积因子(1+x+x2+来代表一个所选元素,若该元素可重复n次,则因子中应出现x例设有2个红球,3个白球,1个黑球和1个黄球求从这些球中取出5个的不同方案数。解:设从所给球中取出个的不同方案数为a1,则由题设可得{a的母函数为f(x)=(1+x+x2)(1+x+x2+x3)(1+x)2=1+4x+8x2+11x3+1Lx4+8x5+4x6+x7母函数与递推关系例求用1元和2元的钞票支付n元的不同方式数解:设所求不同方式数为an,则由题设可得{an}的母函数