2022版高考数学一轮复习第3章函数第3讲函数的奇偶性与周期性课件

函数第三章第3讲函数的奇偶性与周期性考点要求考情概览1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性考向预测：本部分常常命制高考试题，难度中等，常结合分段函数、不等式等内容进行综合考查，难度中等．学科素养：主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的能力栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专

直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_____________，那么函数f(x)就叫作偶函数关于______对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f(x)就叫作奇函数关于______对称f(－x)＝f(x)

y轴f(－x)＝－f(x)

原点【常用结论】函数奇偶性的几个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有____________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____________，那么这个____________就叫作f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)

最小的正数最小正数2．对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．1．(教材改编)下列函数中为偶函数的是 (

)A．y＝x2sinx

B．y＝x2cosxC．y＝|lnx|

D．y＝2－x【答案】B2．对于定义在R上的函数f(x)，给出下列说法：①若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；②若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；③若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；④若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．其中，正确的说法是 (

)A．①③

B．①④

C．②③

D．③④【答案】A【答案】B4．(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，下列说法正确的是

(

)A．函数f(x)是以2为周期的周期函数B．函数f(x)是以4为周期的周期函数C．函数f(x＋2)为偶函数D．函数f(x－3)为偶函数【答案】BC【解析】偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，即有f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，即为f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可得f(x)的最小正周期为4，故A错误，B正确；由f(x)＋f(2－x)＝0，可得f(－x)＋f(2＋x)＝0，两式相减得f(2－x)－f(2＋x)＝0，故f(2－x)＝f(2＋x)，所以f(x＋2)为偶函数，故C正确；由f(x)为偶函数得f(－x－3)＝f(x＋3)，若f(x－3)为偶函数，则有f(－x－3)＝f(x－3)，可得f(x＋3)＝f(x－3)，即f(x＋6)＝f(x)，可得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期矛盾，故D错误．【答案】11．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)f(－x0)＝f(x0)．2．判定分段函数的奇偶性时，不能利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数来否定函数在整个定义域上的奇偶性．3．奇函数在对称区间内具有相同的单调性，偶函数在对称区间内具有相反的单调性．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数． (

)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．

(

)(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．

(

)(4)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)也是偶函数．

(

)(5)若T为函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是函数f(x)的周期．

(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√重难突破能力提升2

判断下列函数的奇偶性：函数奇偶性的判断当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)．故f(x)是偶函数．方法三：f(x)可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．【解题技巧】判定函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：【变式精练】1．(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是

(

)A．f(x)g(x)是偶函数

B．|f(x)|·g(x)是奇函数C．f(x)·|g(x)|是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数【答案】(1)C

(2)B【解析】(1)依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|·g(x)，|f(x)|·g(x)是偶函数，B错；f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－[f(x)·|g(x)|]，f(x)·|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错．

(2020年石家庄月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0,2]时，f(x)＝x－sinπx，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝

(

)A．6

B．4

C．2

D．0【答案】C函数的周期性【解析】根据题意，函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数．当x∈(0,2]时，f(x)＝x－sinπx，则f(1)＝1－sinπ＝1，f(2)＝2－sin2π＝2.又由f(x＋2)＝－f(x)，得f(3)＝－f(1)＝－1，f(4)＝－f(2)＝－2，则有f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋[f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)]＋…＋f(2019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2.【解题技巧】函数周期性问题的求解策略(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．示通法周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．函数性质的应用【解析】由f(x)是奇函数，得f(－1)＝－f(1)．又g(x)是偶函数，所以g(－1)＝g(1)．因为f(－1)＋g(1)＝2，所以g(1)－f(1)＝2①，又f(1)＋g(－1)＝4，所以f(1)＋g(1)＝4②，由①②，得g(1)＝3.【解析】因为函数f(x)是偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lnx，所以f(1)＝ln1＝0，则不等式f(x)＞0等价为f(|x|)＞f(1)．因为当x＞0时，f(x)为增函数，所以由|x|＞1，得x＞1或x＜－1，即x的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【解析】因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)．所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R内的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R内是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数．所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．【答案】2【答案】C【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2017)＝－f(2017)．因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．又当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，所以f(2017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，f(2018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.故f(－2017)＋f(2018)＝－f(2017)＋3＝1.【答案】4【解析】因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于(0,0)对称．所以f(x)是R上的奇函数．因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4.所以f(2020)＋f(2022)＝－f(2018)＋f(2018＋4)＝－f(2018)＋f(2018)＝0.所以f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＝4.【解题技巧】1．函数性质应用问题的常见类型及解题策略(1)单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．2．函数性质综合应用的注意点函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转化，再利用单调性解决相关问题．【解析】(1)根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)．所以f(－16)＝－f(16)＝－f(6－16)＝－f(－10)＝f(10)＝f(6－10)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(6－4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.素养微专直击高考3母题探究类——函数性质及其应用典例精析【命题意图】(1)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．(2)会运用函数图象理解和研究函数的性质．【考试方向】这类试题在考查题型上主要以选择题或填空题的形式出现，主要考查利用函数的单调性、奇偶性、周期性、最大值、最小值求函数值或参数的取值范围，试题难度中等偏上．【核心素养】逻辑推理、数学运算【解题技巧】(1)若已知条件为不等式，根据条件