中位投票人定理的社会统计学分析

PAGEPAGE1中位投票人定理的社会统计学分析在民主政体下，的行动并不反映任何个人的偏好，而是人们根据多数投票制进行公共选择的结果。多数投票制是民主政体下，人们进行集体表决的一种方式。但是，在多数投票之下，我们如何预测投票的结果？为了赢取选票，政治家一般采用何种策略？多数投票制一定能够实现社会资源的帕累托最优配置吗？笔者试图在本文中对以上三个问题做出详细的阐述。一、多数投票制与中位投票人定理假设我们考察这样一个案例：一个村需要建立一所希望小学，建立小学的费用需要全村的人集资完成。到底每户需要集资多少钱为宜，由大家投票来表决。一般说来，对于这样一个决策问题，总有一部分人希望多投人；而另一部分则希望少投人。投票结果到底是哪部分人的偏好占优势呢？根据中位投票人理论，我们能够对多数投票制的结果有一个大致的预测。在多数投票制下，中位投票人的偏好一般起决定作用。所谓中位投票人就是立场站在大家中间的人。在本例中，一半投票人比中位投票人希望多投人，而另一半投票人则希望比中位投票人少投人。例如，假设这个中位投票人希望每户集资3000元，而且总共有1001位投票人。在任何介于希望每户集资3000元和更低数额之间的投票人中，3000元将获胜。同样，在任何介于3000元和更大数额之间的投票人中，3000元仍将获胜。中位投票人老是站在那些希望最接近3000元集资数额的人一边，进而确保了3000元会获胜。这就是交由中位投票人来进行决策时，他可能作出的选择。当然，投票人并不直接对大多数争端进行表决，往往是由他们选举出对争端进行裁决的政治家们。然而，对政治家来说，最首要的目的是中选。为了增长中选的可能性，他们将采用能够增长他们选票的立场。假如政治家们要采用能使其选票最大化的策略，那么他们就必需采用反映中位投票人观点的立场。为了说明这一点，我们设想不同的人希望的支出数额根据从小到大的顺序排列。假定有两个政治候选人，第一个候选人的立场反映第40个百分位数的个人的观点。也就是说，40%的人希望少花费，而60%的人希望多花费。在这种情况下，第二个候选人只要采用接近代表第41个百分位数的投票人的立场，就会取胜。该候选人将获得59%的选票，进而大获全胜。当然，第一个候选人也深深明白这一点，也会尽力找到一种使竞争对手不能靠挖墙脚而博得多数票的有利位置。因而，两个政治候选人都怀有强烈的动机去采接近于反映中位投票人观点的立场。中位投票人定理解释了为什么不同的政治候选人往往都采用比较折中的立场以获取最大数量的选票，该理论也为我们提供了一种预测行为以及一切公共决策的可行方法：一般说来，行为或公共选择的结果倾向于代表中位投票人的利益和立场。二、中位投票人定理运用经过中的数据处理以上我们讲述过，在我们能够确切地知道反映中位投票人立场的数据时，我们可能对公共选择的结果和行为作出比较精确的预测。但是，在通常境况下，我们要想知道反映中位投票人立场的数据，必需经过较为复杂的数据采集经过和数据处理经过。一般说来，在一组数据中，反映中位投票人立场的数据，就是我们所调査数据中的中位数。所谓中位数就是这样的一个变量值，它把观察总数一分为二，其中的一半具有比它小的变量值，另一半具有比它大的变量值。所以，中位数是处在数据序列位置的变量值。在详细理论中，我们根据所采集的数据的复杂水平，能够把数据分为两类:一类是未分组数据，另一类是分组数据。接下来，我们阐述怎样在这两类不同的数据中求出中位数。首先是未分组数据，对于未分组数据，在原始数据比较少的情况下，我们能够直接根据原始数据求出中位数。当原始数据比较少时，我们能够首先直接将资料按顺序、大小排队。当观察总数N为奇数时，中位数就是位于N+1/2地方的变量值。例如：2，3,4,7,9,11,11这几个数值的中位数就是第四个数值7。当观察总数N为偶数时，由于中位值位于N+1/2的地方不存在变量值，所以，这时中位数应该取居中位置左右两数的平均值。例如，在一组数据4，5，6，7，8，8中，中位数应为6,7这两个数值的平均数，即6+7/2=6.5。假如原始数据比较多，我们就不能直接通过排序的方法简便地求出中位数在这种情况下，我们一般先把原始数据进行整理，列出不同数据的频次分布表，然后根据频次分布表计算出所采集到数据的中位值。例如，我们要调査一所学校500个学生的作业成就r通过对所得数据进行整理，我们得到如下频次分布表：中位数的位置应该为N+1/2=250.5中位数为乙，也就是说中等学生的作业成就为乙。中位数对于定序以上的变量条理都能够使用。其次是分组数据，我们能够通过累计百分比中的50%的点求出。例如，我们要调査一个村落1000名村民的月收人情况，想要求出正好处于中间位置人的收人是多少。假设我们获得的分组数据如下：真实组界线频次累计频次累计百分比1000300040040040%3000500030070070%5000700020090090%700090001001000100%要想求出这组数据的中位数我们先必需找出含有50%的区间，然后求出包括50%百分数区间的上界U和下界L，以及上界累计百分数U%、下界累计百分数L%和组距H。L=3000,U=5000,L%=40%,U%=70%,H=5000-3000=2000利用线性插值法，我们能够求出累计百分比为50%的点所对应的组距内的数值X。根据公式x/u-L=50%-L%/U%-L%得X/2000=10%/30%X=667中位数=L+X=3000+667=3667(元〕一般说来，对于分组数据，我们能够根据公式M=L+[(U-L)(50%-L%)/U%-L%]求出。当然，这个公式只是分组数据中位数的粗略求法。由于，线性插值法是假定组距内的数据是均匀分布的，而实际情况往往并非如此。这种方法固然不是特别精到准确，但是，它能使我们比较快速地计算出庞大分组数据的近似中位值。三、中位投票.人定理与帕累托最优很多人直觉上以为，多数投票制是民主政体与独裁政体的基本区别。在多数投票制下，公共决策是根据大多数人的意志作出的，因而它代表了大多数的利益，其结果也必定是能实现社会利益最大化的决策，也就是说是帕累托最优的。其实，这只是人们的一种错觉，在某些条件下，根据大多人的意见作出的社会决策，未必能够使整个社会的效用最大化，也就是说并不能实现帕累托最优。在对一项事件的公共决策中，只要当所有投票人对该事件所具有的效用评价呈正态分布时，多数投票制能力实现社会福利的最大化，在这个时候，中位投票人的观点往往是大多数人赞成的观点，据此作出的决策不仅能获得大多人的同意，也能够实现社会福利的最大化。假设有5个人在一起饮酒，每个人对酒的喜好不同，我们暂且假定第一个人最喜欢的数量是每人喝1瓶，第二个人是2瓶，依此类推，第三个人为3瓶，第五个人为5瓶。假如让大家集体表决，那么根据中位投票人定理，第三个人的立场就是大多数人的立场，大家会一致同意每人喝3瓶。在这种情况下，集体决策实现了帕累托最优。由于数字3不仅仅是这五个数字的中位数，也是这五个数字的平均数，根据最小二乘法我们可知，对一列数据来说，每一个数与他们平均数的差的平方和是最小的。也就是说在上例中〔1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2应该是最小的，也就是说，平均数离每一个数的偏差的平方和是最小的。在本例中根据多数票原则作出的决定是帕累托最优的，由于它使社会决策的数量间隔每一个人的理想的数量的平方和最小。但这只是大量数据的一种理想状态，由于1,2，3,4，5这五个数字是正态分布的，平均数和中位数是相等的。所以，根据中位投票人立场作出的决策，不仅反映了多说人的立场，也能够实现怕累托最优。在数据不是正态分布的情况下，我们根据中位数或者中位投票人的立场作出的社会决策就不是帕累托最优的。接着上面的例子，我们只把数据略微改动一下。我们假设第一个人最理想的数量是1瓶，第二个人是2瓶，第三个人是3瓶，第四个人是4瓶，而第五个人是10瓶。在这种情况下，这五个人的理想数量的平均数为〔1+2+3+4+10)/5=4(瓶〕，中位数人就是3。根据多数投票制和中位投票人定理，我们可知，这五个人集体表决的结果一般是每人喝3瓶。这个结果，固然是大多数人意志的表现，但它却没有使每个人的效用总和到达最大化，也就是说，没有实现社会福利的最喜欢的数量是每人喝1瓶，第二个人是2瓶，依此类推，第三个人为3瓶，第五个人为5瓶。假如让大家集体表决，那么根据中位投票人定理，第三个人的立场就是大多数人的立场，大家会一致同意每人喝3瓶。在这种情况下，集体决策实现了帕累托最优。由于数字3不仅仅是这五个数字的中位数，也是这五个数字的平均数，根据最小二乘法我们可知，对一列数据来说，每一个数与他们平均数的差的平方和是最小的。也就是说在上例中(13)+(23)+(33)+(43)+(53)应该是最小的，也就是说，平均数离每一个数的偏差的平方和是最小的。在本例中根据多数票原则作出的决定是帕累托最优的，由于它使社会决策的数量间隔每一个人的理想的数量的平方和最小。但这只是大量数据的一种理想状态，由于1，2，3，4，5这五个数字是正态分布的，平均数和中位数是相等的。所以，根据中位投票人立场作出的决策，不仅反映了多说人的立场，也能够实现怕累托最优。在数据不是正态分布的情况下，我们根据中位数或者中位投票人的立场作出的社会决策就不是帕累托最优的。接着上面的例子，我们只把数据略微改动一下。我们假设第一个人最理想的数量是1瓶，第二个人是2瓶，第三个人是3瓶，第四个人是4瓶，而第五个人是10瓶。在这种情况下，这五个人的理想数量的平均数为(1+2+3+4+10)／5=4(瓶)，中位数人就是3。根据多数投票制和中位投票人定理，我们可知，这五个人集体表决的结果一般是每人喝3瓶。这个结果，固然是大多数人意志的表现，但它却没有使每个人的效用总和到达最大化，也就是说，没有实现社会福利的最大化。根据最小二乘法，我们知道，每一个数与这几个数的平均数的差的平方和为最小，也就是说，平均数与每个人偏好的偏差最小，4瓶应是最好的结果。而根据多数票原则作出的决定3瓶并不是最好的结果。计算经过如下：当取平均数4时，每个人的理想数与平均数差的平方和为：(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(10-4)2=50；当取中位数3时，每个