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文档简介
第三章理想流体介质中小振幅波的基本规律3.6平面波在两种不同均匀介质分界面上的反射和折射1、声学边界条件2、平面波垂直入射时的反射和透射3、平面波倾斜入射时的反射和透射4、平面波在界面反射和折射时分界面上能量关系声波在传播路径上常会遇到各种各样的障碍物。声波从一种介质进入另一种介质时，后者对前一种介质中所传播的声波来讲就是一种障碍物。声波遇到障碍物时会发生反射和透射的现象。平面声波在无限、均匀分界面上的反射是最简单的一例。前言声波的反射、折射及透射都是在两种介质的分界面处发生的，因而首先必须讨论在分界面存在些什么声学特性和规律，即声学边界条件是什么？1、声学边界条件dt[P(1)-
P(2)]S
=
DM
du
1、声学边界条件设有两种都延伸到无限远的理想流体，其特性阻抗分别为r1c1和r2
c2
，如图所示那样互相接触。设想在分界面上割出一块面积为S、厚度足够薄的质量元，其左右分界面分别位于两种介质里，其质量为DM。按牛顿第二定律，其运动方程为P
1)=
P0
1)+
p1P
2)=
P0
2)+
p2p1
=
p2无声波存在时，两介质中的静压强在分界面处是连续的。P0
1)=
P0
2)当有声波存在时，1、声学边界条件加速度不可能无限大DM
fi
0P
1)-
P
2)=
0声学边界条件1：声压的连续性，两种介质中的声压在分界面处是连续的。两种介质保持恒定接触，所以两种介质在分界面处的法向振速相等。u1n
=
u2
n声学边界条件2：垂直振速的连续性，两种介质在分界面处的法向振速连续1、声学边界条件2、平面波垂直入射时的反射和透射
平面波沿x方向入射，x=0为两介质的分界面，箭头所指为声传播方向。两介质中声压满足波动方程)222111
=(x
‡0
半空间)¶t
2c2¶x2(x
£
0
半空间¶t
2¶
p2
=
1
¶
p2c2¶x2¶2
p
1
¶2
p声压的通解为)e+
B
ep
=
Aejwtjk
xjwtjk
x1p2
=
(A2e
+
B2e
)e-
jk
x1
12-
jk2
x11利用尤拉方程，可得两介质中的质点振速e
eB
Ajwtjk
x-
2
r2c2-
jk
x
r2c2
2
u2
=
ejwtjk
xr1c1B1-
jk
x
r1c1
A1
u1
=
e
-
e
e2211（1）波动方程的解2、平面波垂直入射时的反射和透射2211cc=
w其中：
k
=
w
;
kA
,B
第一介质中的正向波和反向波振幅；1
1”
0A
,第B二介质中的正向波和反向波振幅；2
2x
>0
半空间为无限大，没有反射波，B2p
=
A
e+
B
e2112211p1
=
Aej(wt
-k
x
)j(wt
+k
x
)j(wt
-k
x
)（1）波动方程的解2、平面波垂直入射时的反射和透射-2
2
2
21
111
11211eAu
=BeA1u
=j(wt-k x
)e
j(wt+k
x
)j(wt
-k
x
)r
cr
cr
c为了方便入射波声压振幅反射波声压振幅透射波声压振幅piapraptauiaurauta入射波振速振幅反射波振速振幅透射波振速振幅那么1
1uiar
c=
pia1
1urar
c=
-
pra2
2ptatar
cu
=（2）反射系数和折射系数2、平面波垂直入射时的反射和透射raiari111~
~+
p
e+
p
=
p
ep
=
pj(wt+k
x
)j(wt-k
x
)tat22~=
p
ep
=
pj(wt-k
x
)raiari111~
~+
u
e+
u
=
u
eu
=
uj(wt+k
x
)j(wt-k
x
)tat22~=
u
eu
=
uj(wt-k x
)所以，有（2）反射系数和折射系数2、平面波垂直入射时的反射和透射通过声学边界条件来研究反射波和透射波的大小分界面上满足两个声学边界条件：声压连续垂直振速连续=p1)x=0
p2
)x=0u1n
)x=0
=
u2
n
)x=0得到piauia=
pta=
uta+
pra+
ura（2）反射系数和折射系数2、平面波垂直入射时的反射和透射定义：声压反射系数声压折射系数声压反射系数：谐和平面波入射到分界面上，在分界面处复反射声压与复入射声压的比值。声压折射系数：谐和平面波入射到分界面上，在分界面处复透射声压与复入射声压的比值。x
=边界R
=i
r
p~p
(x,t
)~p
(x,t
)~x
=边界p
(x,t)D
=i~p
(x,t)tp（2）反射系数和折射系数2、平面波垂直入射时的反射和透射x
=边界i
r
Ru
=u~
(x,t
)u~
(x,t
)定义：振速反射系数x
=边界D
=i
t
uu~
(x,t)u
x,t)~
(振速折射系数振速反射系数：谐和平面波入射到分界面上，在分界面处复反射振速与复入射振速的比值。振速折射系数：谐和平面波入射到分界面上，在分界面处复透射振速与复入射振速的比值。（2）反射系数和折射系数2、平面波垂直入射时的反射和透射则有：2
12
2
1
1~p
(x,t
)~p
(x,t
)iai
r
p=
ra
=
2
2
1
1
=
2
1x
=
0R
=p
r
c
+
r
c
Z
+
Zp
r
c
-
r
c
Z
-
Z2
12
2
1
12Zp~p
(x,t
)~p
(x,t
)iai
t
p=
ta
=
2
2
=
2
x
=
0D
=p
r
c
+
r
c
Z
+
Z2r
c1
21
12
2~
(u~
(x,
t
)xx,
t)uiai
ra
1
1
2 2
1
2ru=
0R
=u
r
c
+
r
c
Z
+
Z=
u
=
r
c
-
r
c
=
Z
-
Z1
2
1
1
12
2
1
1
2Zu~
(x,t
)iai
ta
t
uu~
(x,t
)
u=
=x
=
0D
==u
r
c
+
r
c
Z
+
Z2r
c振速反射系数振速折射系数声压折射系数声压反射系数（2）反射系数和折射系数2、平面波垂直入射时的反射和透射Z1
=
r1c1Z2
=
r2c2可见，平面声波在分界面上反射与透射的大小仅决定于介质的特性阻抗，说明介质的特性阻抗对声传播有着重要的影响。介质Ⅰ的特性阻抗介质Ⅱ的特性阻抗（2）反射系数和折射系数式中：2、平面波垂直入射时的反射和透射讨论：（1）介质的特性阻抗相等Z
2
=
Z1界面上声波没有反射，即全部透射，就是说即使存在着两种不同的介质分界面，但只要两种介质的特性阻抗相等，那么对声的传播来讲，分界面就好像不存在一样。Rp
=
Ru
=
0Dp
=
Du
=1211
21
2122
12
12Z1uppZ
+
Z;
Du
=Z
+
ZZ
-
ZR
=Z
+
Z;
D
=Z
+
ZZ
-
Z
2Z2R
=（2）反射系数和折射系数2、平面波垂直入射时的反射和透射讨论：（2）硬边界Z2
>
Z1①声波有反射，也有透射；②反射波质点振速和入射波质点振速幅度符号相反；③反射波声压和入射波声压幅度符号相同。Rp
>
0,
Ru
<
0Dp
>
0,
Du
>
0211
21
212
1
22
12Z1uuppZ
+
Z;
D
=Z
+
ZZ
-
ZR
=;
D
=Z
+
Z
Z
+
ZZ
-
Z
2Z2R
=（2）反射系数和折射系数2、平面波垂直入射时的反射和透射讨论：（3）软边界Z2
<
Z1Rp
<
0,
Ru
>
0Dp
>
0,
Du
>
0①声波有反射，也有透射；②反射波质点振速和入射波质点振速幅度符号相同；③反射波声压和入射波声压幅度符号相反。211
21
2122
12Z1uupZ
+
Z;
D
=Z
+
ZZ
-
ZR
==Z
+
ZZ
+
ZZ2
-
Z1
2Z2Rp
=
;
D（2）反射系数和折射系数2、平面波垂直入射时的反射和透射界Z2
>>
Z1Rp
»1,
Ru
»
-1Dp
»
2,
Du
»
0①声波全部反射；②反射波声压幅度和入射波声压幅度相等，在界面处的声压是入射波的两倍；反射波质点振速和入射波质点振速幅度大小相等、符号相反，在分界面上合成质点振速为零；21121121212
2Z2Z2uppZ
+
Z;
Du
=Z
+
ZZ1
-
Z2R
=Z
+
Z;
D
=Z
+
ZZ
-
ZR
=（2）反射系数和折射系数讨论：（4）“绝对硬”边2、平面波垂直入射时的反射和透射讨论：（4）“绝对硬”边界③发生了全反射，在介质Ⅰ中入射波与反射波叠加形成了驻波，分界面处恰是振速波节和声压波腹；④介质Ⅱ中没有声波传播，介质Ⅱ的质点并没有因介质质点的冲击而运动，介质Ⅱ中存在的压强也只是分界面处的压强的静态传递，并不是疏密交替的声压。（2）反射系数和折射系数2、平面波垂直入射时的反射和透射讨论：（5）“绝对软”边界Z2
<<
Z1①声波全部反射；②在介质Ⅰ中入射波与反射波叠加也形成了驻波，不过这时分界面处是质点振速波腹和声压波节。Rp
»
-1,
Ru
=1Dp
»
0,
Du
=
2211
21
2122
12
12Z1uppZ
+
Z;
Du
=Z
+
ZZ
-
ZR
=Z
+
Z;
D
=Z
+
ZZ
-
Z
2Z2R
=（2）反射系数和折射系数2、平面波垂直入射时的反射和透射（3）声波通过分界面时的能量关系讨论一下声波通过分界面时的能量关系，因为反射波与透射波都仍是平面波，所以声强反射系数和声强透射系数定义式子如下：22
22pIDpiataiI2r1c1==
It
2r
c21
12pIRiapraiI2r1c1==
I
r
2r
c声强反射系数声强透射系数2、平面波垂直入射时的反射和透射+
Z2
Z
-
Z
2
1推导得：RI
=
ZDI=
(Z
+
Z
)=
1-
RI2
2 1
2
14Z1
Z
2；声波垂直入射到界面上时，反射波声强和透射波声强之和等于入射波声强，符合能量守恒定律。Z
和Z
是对称的，声波无论从介质Ⅰ入射到介质Ⅱ，2
1或者相反，声强反射系数都是一样的从能量的角度证明了全反射现象Z
2
>>
Z1Z
2
<<
Z1RI
»
1,
DI
»
0RI
»
1,
DI
»
02、平面波垂直入射时的反射和透射（3）声波通过分界面时的能量关系21
2
1
1
4Z1Z2Dp2p2pi
1
1(Z
+
Z
)=
-10log2
2
2
=
-10log
t
2 2
=
-10log入射波声波强度与透射波声波强度比值的分贝数TL
=10log
Ii
=
-10log
ItIt
Ii
r
cr
cr
c
r
c透射损失：2、平面波垂直入射时的反射和透射（3）声波通过分界面时的能量关系例题1：声波由水中射向空气，试求声压反射系数、声压透射系数和透射损失。〔解〕秒米261
11Z
=
r
c
»
1.5·10秒千克
千克米22
2
2Z
=
r
c
»
420；2
1==
2
1Z
-
Z
420
-1.5
·106»
-1Z
+
Z
420
+
1.5
·106Rp12=
2
·
420
»
5.6
·10-4Z
+
Z
420
+
1.5
·1062Z
2D
=p621
2
2
(420
+1.5
·10
)
4
·
420
·1.5
·106
(Z
+
Z
)4Z
ZTL
=
-10
log
1
2
=
-10
log»
-10
log
(0.00112
)»
29
dB空气对于水来说可视为绝对软边界（自由边界），声波透过分界面进入空气中的能量只有入射声能的千分之一。2、平面波垂直入射时的反射和透射具体计算“绝对软”和“绝对硬”边界条件下声场性质及边界上声压和振速的特点。“绝对软”边界声波由水入射到空气中声波由空气入射到水中“绝对硬”边界例题2：首先考虑“绝对软”边〔解〕：由于在界边界面处入射声波发生反射，使第一介质中产生反射波，这时第一介质中声压为raia111+
p
ep
(x,
t
)=
p
ej(wt
+k
x
)j(wt
-k
x
)2、平面波垂直入射时的反射和透射Z1
>>
Z2“绝对软”边界条件下，有：r1c1
>>
r2c2则反射系数为：pi
ia
2
1=
pra=
Z2
-
Z1
=
-1p
Z
+
ZR
=
pr
(x,
tp
(x,
t
)pra
=
-
pia第一介质中复数声压为：ia2
j~jwtia
1jwtjk
x111=
-2
j
pia
sin(k1
x)(coswt
+
jsin
wt
)=
-2
j
p
sin(k
x)ee
jwtia=
-2
j
pp
(r,
t
)=
p
(e
-
e
)e
e
jk1x
-
e-
jk1x
-
jk
x例题2：2、平面波垂直入射时的反射和透射根据尤拉方程，求得第一介质中的复数质点振速为：k
x)eppuiar
cr
cr
ccos(2~
(11
1jwt11
11
11cos(k
x)(coswt
+
jsin
wt
)=
2
pia=
2
piae
jwt=
2
ia
r1c1
r,
t
)=
e-
jk1x
+
e
jk1x
(e-
jk1x
+
e
jk1x
)e
jwt例题2：2、平面波垂直入射时的反射和透射声场中的声压和质点振速分别为：1
1]
=
2
pia
sin(k1
x)sin
wtp
(x,
t
)=
Re[
~p
(x,
t
)w2
pia
sin(k1
x)：声压驻波幅度
2
~
(1111piacos(k
x)sinwt
+
π
r
ccos(k
x)coswtr
c1
11
1=
2
piax,
t
)]
=
2u
(x,
t
)=
Re[u：驻波振动频率；1cos(k
x)：振速驻波幅度1
12
piar
c例题2：其中2、平面波垂直入射时的反射和透射u1
(x,
t
)x=0
=
2uia结论：“绝对软”边界条件下，边界面上声压为零；边界面上质点振速为入射波质点振速的2倍。在界面处，即
x
=
0例题2：讨论：p1
x,t
)=
2
pia
sin
k1
x)sin
wt
2
11
11pu
(x,t
)=
2iacos(k
x)sinwt
+
π
r
c①分界面上的声压和质点振速值p1
(x,
t
)x=0
=
02、平面波垂直入射时的反射和透射例题2：讨论：p1
x,t
)=
2
pia
sin
k1
x)sin
wt②第一介质中的声压呈（纯）驻波场分布此波场不传播，停在空间；称为纯驻波场。有‘波腹’，有‘波节’。2、平面波垂直入射时的反射和透射不同时间，声压的空间分布：p1x,t
)=
2
pia
sin
k1
x)sin
wt2、平面波垂直入射时的反射和透射不同空间位置，声压的时间信号：p1
x,t
)=
2
pia
sin
k1
x)sin
wt2、平面波垂直入射时的反射和透射行波驻波1
0
2
0
4
0
5
0
6
0
-2
0420681
0
1
6
1
4
1
2
p
l
an
ew
a
v
et(s)1
0
2
0
4
0
5
0
6
0
-2
020461
4
1
2
1
0
83
0
x
(
m
)s
t
an
d
i
ng
w
a
v
e3
0
x
(
m
)t(s)例题2：讨论：11
iap
x,t
)=
2
p
sin
k
x)sin
wt
2
11
11pu
(x,t
)=
2iacos(k
x)sinwt
+
π
r
c从时间函数上看，声压和质点振速相位相差2③第一介质中的质点振速也呈驻波分布第一介质中的质点振速分布也是驻波场分布，结构和声压场分布类似，但是，振速场的波腹和波节恰好是声压场的波节和波腹。π2、平面波垂直入射时的反射和透射例题2：讨论：④第一介质中的声波强度p1
x,t
)=
2
pia
sin
k1
x)sin
wt
2
11
11pu
(x,t
)=
2iacos(k
x)sinwt
+
π
r
c在谐和律变化的声场中，声波强度决定于声压和振速的振幅值和它们之间的相位差。0
0
0I
=
1
p
u
cosf通过任意波面的声波强度为零。但并不意味着声场中没有能量。2平面驻波场中，
p和
相u位差为
。
2π2、平面波垂直入射时的反射和透射“绝对软”边界条件下，界面上和声场中的声学性质，结论如下：1、“绝对软”边界条件下，声波并没有透过界面进入第二层介质中，而是全部返回到第一层介质中，反射波声压幅度和入射波声压幅度大小相等、符号相反。2、边界面上声压为零；边界面上质点振速为入射波质点振速的2倍。3、第一层介质中的声压波场和质点振速波场是驻波场，但在界面处是声压的波节点和质点振速的波腹点。4、驻波场中的声强为零，意味着驻波场中没有能量传播，但不意味着驻波场中没有声能量，驻波场中由于质点的运动，有动能，由于介质的形变，存在势能。驻波场中的声能量用以维持声场的存在，而不传播。2、平面波垂直入射时的反射和透射自行推导“绝对硬”边界条件下声场中和界面上的声学性质。结论：1、“绝对硬”边界条件下，声波也没有透过界面进入第二层介质中，而是全部返回到第一层介质中，反射波声压幅度和入射波声压幅度相等。2、边界面上声压为入射波声压的2倍；边界面上质点振速为零。3、第一层介质中的声压波场和质点振速波场是驻波场，声压的波腹和波节恰好是质点振速的波节和波腹。在界面处是声压的波腹点和质点振速的波节点。4、驻波场中的声强为零，但驻波场中仍有能量。2、平面波垂直入射时的反射和透射平面波垂直入射时的反射和透射规律总结：①声波在分界面上的反射和透射特性取决于介质的特性阻抗；②两介质的特性阻抗相差愈大，其反射系数也愈大，反射波很强，反射能量很大；③两介质的特性阻抗愈接近，反射系数愈小，反射波很弱，声波能量大部分透入第二介质中；④声波射向理想“绝对硬”的介质，界面上声压为入射波声压的2倍，且在界面处反射波声
压和入射波声压相等；界面上质点振速为零；⑤声波射向理想“绝对软”边界，反射波声压与入射波声压振幅相等，符号相反，界面上总声压为零；界面上质点振速为入射波质点振速的2倍。在“绝对软”或“绝对硬”边界条件下，声波的能量全部返回第一介质中，反射波能量等于入射波的能量，在第一介质中形成的驻波场称为“纯驻波场”，“波腹”最大，“波节”为零。一般情况下，声波能量有一部分透入到第二介质中，反射波能量小于入射波能量，这是一般意义的驻波场；有
“波腹”和“波节”。此时驻波场中波腹点：某点的（声压）幅值较相邻位置的大，则称该点为该驻波场的（声压）“波腹”波节点：某点的（声压）幅值较相邻位置的小，则称该点为该驻波场的（声压）“波节”。补充：定义，驻波比：在平面驻波场中，声压‘波腹’处的声压幅值与声压‘波节’
处的声压幅值之比，称作波腹~p~
~~pmax=该驻波场的驻波比。G
”p
min
p
波节分析，驻波比G与声压反射系数R的关系：p(
x,
t
)
=
Re
~p
(
x,
t
)]=
2
R
A
cos(
kx
+
f
)
cos(
w
t
+
f
)
+
(1
-
R
)
A
cos(
w
t
-
kx
)2
2max=
2
R
A
+
(1-
R
)
A
=
(1+
R
)
Ap(
x,
t)min=
(
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