信号与系统版变换

本章要点(1)Z变换的基本概念和基本性质利用Z变换解差分方程离散系统的系统函数离散系统的频率响应数字滤波器初步本章要点(2)求序列的Z变换－利用Z变换的定义，借助Z变换的性质，或采用幂级数展开法逆Z变换的确定－围线积分法（留数法）部分分式法，幂级数展开法（长除法）。注意在不同形式收敛域下逆变换的求法。掌握Z变换的主要性质，特别是位移性和卷积定理由连续信号的拉氏变换求离散（抽样）信号的Z变换；S平面与Z平面的映象关系离散系统的系统函数，单位样值(冲激)响应及频率响应

(意义，特点及求法)离散系统的构成¥n=00

0ss¥-st¥

¥

n=0x(nT)d(t

-

nT)e-stdtx

(t)e dt

=x

(t)

=§8.1引言*借助抽样信号的拉氏变换引出Z变换抽样信号的拉氏变换：xs

(t)

=

x(t).dT

(t)

=

x(nT)d(t

-

nT)对上式取拉氏变换：交换积分与求和次序：sTs1x(nT)ex (s)

=¥x(z)

=

x(n)z-nn=0¥n=0-snT;令z

=

e

或s

=

T

ln

zz

=

esT定义：一个离散时间序

列x

(

n

)的

Z

变换为

Z-1的一个幂级数

(洛朗级数的特例

),Z一般为复变数

,

每一项的系数为

x

(

n

)相应的值数值。[

x

(

n

)的生成函数

fi

z

n

]z

=

esz

=

esT¥x(z)

=

x(n)z-nn=0令T

=1•••0T2T3T

4Ttxs

(t)•••023

4x(n)1n*.典型序列的Z变换(p375附录5）单位样值序列单位阶跃序列斜变序列指数序列正弦余弦序列§8.2.Z变换定义，典型序列的Z变换¥n=0单:X(z)=x(n)z-n¥n=-¥双:X

(z)=

x(n)z

-n¥(z

‡

0)(1)

ZT[d(n)]

=

d(n)z

-n

=1¥-

nn

=

0¥n=0(2)

ZT

[d

(

n

-

m

)]

=d

(

n

-

m

)

z=

z

-

m(

m

>

0

z

=

0

,

)(

m

<

0

,

z

„

0

)=

d

(

r

)

z

-

(

r

+

m

)r

=-

m(p

63:位移性）=

z1

+0

=

z(0

£

z

<¥)n=-¥

n=0m

>

0

z

„

0m

<

0

z

„

¥-1

¥(3)

ZT[d(n+1)]=

d(n+1)z-n

+d(n+1)z-nz

-nn

=0

n

=0>

1)=

1

=

z

(

z1

-

z

-1

z

-1¥

¥ZT

[u(n)]

=

u(n)

z

-n

=

=

z

(1-

z

-1

)2

(z

-1)2z

-1¥ZT[nu(n)]

=

n=0nu(n)z

-n

=(

z

>a)1-az-1

z

-aanz-n

=

1

=

z

n=0¥ZT[anu(n)]=由此可以看出z变换的基本形式：zz

-

a将上式两边分别对z-1求导后,两边各乘z

-1得(p46)正弦序列的Z

变换:0zz

zz

sin

w

0ZT

[e

jw

0

n

]

=z

-

e

jw

0zZT

[e

-

jw

0

n

]=z

-

e

-

jw

0jw

n

-

jw

nZT

[sin

w

0

n]

=

ZT

[(e

0

+

e

0

)

/

2

j

]=

(+

)

/

2

jz

-

e

jw

0z

-

e

-

jw

0=z

2

-

2

z

cos

w

+

10=+

)

/

2=

(z

2

-

2

z

cos

w

+

1z

(

z

-

cos

w

0

)z

zzz

-

e

-

jw

0z

-

e

jw

0jw

n

-

jw

nZT

[cos

w

0

n]

=

ZT

[(

e

0

+

e

0

)

/

2]z

-

e

-

jw

0ZT

[e

-

jw

0

n

]

=z

-

e

jw

0zZT

[e

jw

0

n

]

=余弦序列的Z

变换:)

/

20=+=

((

z

>

b

)-

2

zb

cos

w

+

b

2z

2z

(

z

-

b

cos

w

0

)z

zzz

-

be

jw

0

z

-

be

-

jw

0+

e

-

jw

0

n

)

/

2

]ZT

[

b

n

cos

w

n

]

=

ZT

[

b

n

(

e

jw

0

n0z

-

be

-

jw

0ZT

[

b

n

e

-

jw

0

n

]

=z

-

be

jw

0zZT

[

b

n

e

jw

0

n

]

=例§8.3

Z变换的收敛域(p49)¥n=0

x(n)z

-n

<

¥一.Z变换的收敛域1.根据级数理论2.借助于S平面与Z平面的映射3.几类序列Z变换的收敛域有限长序列右边序列

左边序列

双边序列4.例子：说明:对于单边z变换,序列x(n)与变换式X(z)一一对应,这时只有一种可能的收敛域.而对于双边z变换,不同序列在不同的收敛条件下,可有同样的z变换.=

rn

fi

¥anlim

an

+1*比项法：设r

<1,级数收敛。=

rnfi

¥an设：lim

nr

>1,级数发散。r

=1,不能肯定。r

>1,级数发散。r

=1,不能肯定。*

捡根法(柯西准则)

r

<1,级数收敛。1.根据级数理论如果序列x(n)在每个有限的间隔内是有限的且当n

fi

¥

时是指数阶的，则它的Z变换存在于z

>

R之范围，这里R是收敛半径。指数阶函数和指数阶序列之间存在着对应关系，定义：如有一序列x(n)当n

fi

¥

时存在正数A,a和N使所有的n

‡N时都有x(n)<Aan

fi

称x(n)为指数阶函数。2.几类序列的收敛域1

2n

£

n

£

nX

(z)

=

x(n)z

-nRe[z]（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列

x(n)n2n=n1n1

£

0时，z

=

¥和n2

>

0时z

=

0外，所有z值都收敛收敛域为除了0和

¥

的整个

z

平面j

Im[z]•x(n)（2）右边序列：只在n

‡n1

区间内，有非零的有限值的序列¥n

£

n

£

¥1X

(z)

=

x(n)z

-n11z

>

Rxx(n)

=

Rx

<

znfi

¥n=n1x(n)z

-n

<1lim

nnfi

¥lim

n收敛半径圆外为收敛域1RxRe[z]j

Im[z]（3）左边序列：只在n

£

n2区间内，有非零的有限值的序列

x(n)2n2-

¥

£

n

£

nX

(z)

=

x(n)z

-nn=-¥¥¥n=-n2nm=-n2n=mmx(-n)zx(-m)z

=m=-nX

(z)

=1x2=

Rx(-n)z

>lim

nnfi

¥x(-n)zn

<1x(-n)

<

z

-1lim

nnfi

¥lim

nnfi

¥收敛半径圆内为收敛域，则不包括z=0点若

n2

>

02Rxj

Im[z]Re[z]•（4）双边序列：只在有非零的有限值的序列-¥

£

n

£

¥

区间内，x(n)¥-

¥

£

n

£

¥¥X

(z)

=

x(n)z

-nn=-¥-1+

x

(

n

)

z

-

nn

=

0X

(

z

)

=

x

(

n

)

z

-

nn

=

-¥圆内收敛圆外收敛12Rx

>

Rx12Rx

<

Rx有环状收敛域没有收敛域Rx

>

Rx2

1j

Im[z]Re[z]333nn3.x(n)

=

(1)

[u(n)u(n

-

8)](

)

u(-n

-1)2.x(n)

=

-

11.x(n)

=

(1)

n

u(n)3.求下列序列的Z变换,并标明收敛域，画出零极图。nn<

on

‡

01(

)4.x(n)

=

32n例：

3

1

n(1)

x

(n

)

=

u

(n

)右边序列331==

1¥z1

-

1

z

-1

z

-

1z

-1

X

(

z

)

=

n

=0

3

n3=

1x

1R1\

z

>311Rx

=

331j

Im[z]Re[z]圆外为收敛域，包括z=∞点·例：

(2)

x(n)

=

-

3

u(-n

-1)

1

n左边序列3

1

1¥-1=

-

z

-

11-

3z

-1z

-1z

-1X

(z)

=

-

=1-

(3z)m

=1-

1

z

¥=-mn=-¥

3

m=1

3n

n=-m1n

=

-1

<

0

z

„

0z

<

=

Rx3

2m=0lim

n

(3z)n

<

1nfi

¥收敛半径包括z=0点圆内为n收>敛0域，2Rx31j

Im[z]Re[z]•·例：

(3)

x(n)

=

3

[u(n)

-

u(n

-8)]

1

n有限长序列3370

3

1z7

(z

-

1

)z8

-(

1

)81-

1

z

-1-(-

1

z

-1

)8

+1z

-1

=

3

=

3

X

(z)

=

n=n收敛域为除了0的整个

z

平面Re[z]j

Im[z]3133z

=

1z

=

0z

=

ej2

Kp

8z8

=

(

1

)8

e

j

2kp8个零点7阶极点一阶极点·

·)31(k

‡

0kk

<

02k31331

1)3

+

...])

+

(

z+

(

z+[1

+

z-1-1

2-1¥k=-¥[...

+

(2-1

z)3

+

(2-1

z)2

+

...]解：F(z)

=

f

(k)z-k

=4.双边序列：f

(k

)=2kk

fi

¥z

<

lim

k

=

2lim

k

(2

z)k

<

1,条件是

z

2-1

<

1或z

<

2k

fi

¥第一项仅含有

Z的正幂无穷级数31

>

3

3

1

k

k

fi

¥

1

kk

fi

¥lim

k

(

z

-k

)

<1或z

>

lim

k

第二项仅含有Z的负幂的无穷级数3>

1\

F

(

z

)的绝对收敛域为

2

>

zRez3F

(

z)的绝对收敛域为2

>

z

>

1的圆环。13Imz2§8.6

Z变换与拉普拉斯的关系(p74-p79)Ts

=

1

ln

zs

=s+

jw1.从S

平面到Z

平面的映射esT

=

z

=

e(s+jw)T

=

esTejwT

=

z

ejwT

=

rejqz

=

re

jq2psr

=

esT

=

e

wsq

=

w

T

=

2p

ww

sjws平面0ss0r单位圆z平面Reziim[z]jws12j

ImzRe

z12s平面与z平面的映射2.拉氏变换四种典型信号时域与s域特性jws01s(1

-

est0

)jw0s-11s

+

1sjw0-11s

+

10sjw-

ab11-s

+

a s

-

bs全平面s

>

-1s

<

-1-

a

<

s

<

b0t0u(t)

-

u(t

-

t

)1ttt0-1e-t

u(t)1-

e

u(-t)-te-atu(t)

+ebtu(-t)1时限信号0右边信号左边信号0双边信号3.离散序列四种典型信号时域与z域特性nd(n)nan

u(n)n0-

a

n

u(-n

-

1)n0a

n

u

(

n

)

-

b

n

u

(

-

n

-

1)0时限序列0右边序列左边序列双边序列RezjIm

z0RezjIm

z0Rez0RezjIm

z0d(n)

«

1zz

-

azz

-

azz+z

-

a z

-

bz全平面z

>

ajIm

zz

<

aa

<

z

<

b这个演示与p85面图8－12对比。s平面极点的位置、z平面极点的位置和时域波形特征子对应关系，其基本规律遵从如下关系式:z

=

esT

=

re

jq

=

e(

s+

jw

)Tr

=

esTq

=

w

T单位园s当选定T之后有w=2p

,为简化表达式取TT

=1,wS

=2p.注意图中对应关系。w＝0

w＝ws

w

=

ws

w

=

ws8

4

2q

=

0

q

=

p

q

=

p

q

=

p4

2当w

＝

p时，

q已增至

p，此后的情况将是周期重复，

z-

s映射并非单值而是多值对应。s平面的位置波形特征z平面极点的位置幅度频率虚轴s＝0等幅r

=1

单位圆右半平面s>0左半平面s<0实轴w

＝0减幅r

>1

圆外r<1

圆内无振荡增幅q＝0(正实轴)水平上下移(共轭)w›振荡频率›呈扇形展开q›=

p2

T当w＝ws达到最高频率此后将重复q=p负实轴4.拉氏变换和

z变换收敛域小结

:1.拉氏变换的收敛域为有限S平面,z变换收敛域为有限z平面,这对应着时域中是有限长序列.2.拉氏变换的收敛域为某

条平行于虚轴直线右侧的有限S平面,

z变换收敛域

z平面中以原点为园心的某园周的外部

,这对应着时域的右边函

数或序列.3.拉氏变换的收敛域为某

条平行于虚轴直线左侧的有限S平面,z变换收敛域z平面中以原点为园心的某园周的内部

,这对应着时域的左边函

数或序列.4

.拉氏变换为带

,

z变换为环

.离散系统H(z)与h[k]关系(p85)···

·kkkkRe[z]kkkkjIm

[z]1-1-

j··k·j·

|

r

|·

q···

·5.序列形式与双边Z变换的收敛域的关系

(p52.表8－1）§8.4-逆Z变换一.逆Z变换围线积分法(留数法）(p55-p56)幂级数展开法(长除法）(p56-p58)部分分式展开法(p58-60)4.(p60-p61)三个逆Z变换表反Z变换cF

(z)zk

-1dzf

[k

]

=

1

2pjC为F(z)的ROC中的一闭合曲线。iz=zi=

Res{F(z)zk

-1}zi为F(z)zk-1在C中的极点部分分式法11-

az

-1Z

fiaku[k

]‹z

>

a1Z

fi-

aku[-k-1]‹z

<

a1-

az

-11(1-

az

-1

)2Z

fi(k

+1)ak

u[k

]‹z

>

a1(1-

az

-1

)2Z

fi-(k

+1)ak

u[-k

-1]‹z

<

a+1

-

3z

-1B1

-

2z

-1AH

(z)

=z

=2A

=

(1

-

2z

-1

)H

(z)

=

-2z

=3B

=

(1

-

3z

-1

)H

(z)

=

331

-

2z

-1

1

-

3z

-1H

(z)

=

-

2

+1)

z

>

3h[k

]

=

(-2k

+1

+

3k

+1

)u[k

]2) 2

<

z

<

3h[k

]

=

-2k

+1

u[k

]-

3k

+1

u[-k

-1]3)

z

<

2h[k

]

=

2k

+1

u[-k

-1]

-

3k

+1

u[-k

-1](1

-2z

-1

)(1

-3z

-1

)的原序列。例求不同收敛域时H(z)

=

1

++C(1

-

2z

-1

)2

1

-

4z

-1B1

-

2z

-1AF

(z)

=C

=

(1

-

4z

-1

)F

(z)

=

4z

=4B

=

(1

-

2z

-1

)2

F

(z)

=

-1z

=21

-

4z

-1(1

-

2z

-1

)2F

(z)(1

-

2z

-1

)2

=

A(1

-

2z

-1

)

+

B

+

Cz

=2[F

(z)(1

-

2z

-1

)2

=

-21

d(-2)

dz

-1A

=f

[k

]

=[-2

2k

-(k

+1)2k

+

4

4k

]u[k

]1z

>4,求f(k).例:F(z)=(1

-

2z

-1

)2

(1

-

4z

-1

)0

0

+

z

-21-

2z

-1

cos

Wsin

W

z

-1复根时部分分式展开sin(W

0k

)u[k

]‹

fiZ00sin

W

0+

z

-21-

2z

-1

cos

Wsin[W

(k

+1)]u[k

]‹Z

fi1+

a2

=

1

+

(z

/

a)-2z

2例：F

(z)

=z

2111

+

z

-2F

(z)

=1+1)]u(k

)f

[k

]

=

sin[

(k2pk

)u[k

]a

cos(kp2f

[k

]

=1+

z

-2

)F

(z)

=(1

+

2z

-1

)(1

+

z

-1A=4/3,

B=-2/3,

C=

-1/3;1

+

z

-1

+

z

-2=

1

+

2

cos(p

/

3)z

-1

+

z

-243]u[k

]2

sin(

k

)3k3sin(p

/

3)p3sin(p

/

3)psin( (k

+1))3-(-2)

-f

[k

]

=[例：求f[k]。+

z

-2+

CBz

-1AF

(z)

=

+1

+

2z

-1

1

+

z

-1留数法1z

<a，求f

[k

]。例：F

(z)=(1-

az

-1

)2zk

-11zk

+11=

2

dz2pj

c

(z

-

a)k

‡

-1k

£

-2f

[k

]

=

0令

-

k

-1

=

m,

m

=1,2f

[k

]

=

1

1

dz2pj

c

zm

(z

-

a)21

1z

=0d

m-1=(m

-1)!

dz

m-1

(z

-

a)2=

ma

-(m+1)=

-(k

+1)ak

u[-k

-1]解：f

[k

]=2pj

c

(1-az

-1

)-2

dz§8.5Z变换的基本性质（自学61-77页）线性和位移性序列线性加权（

Z域微分）序列指数加权（

Z域尺度变换）初值定理和终值定理时域卷积和Z

域卷积定理帕斯瓦尔定理参见下册的P-73表8-5四、Z变换的主要性质<

z

<

Rf

1+

}F1

(z)

ROC

=

Rf

=

{z;

Rf

1-1F2

(z)ROC

=

Rf

=

{z;

Rf

2-

<

z

<

Rf

2+

}21.线性特性f1

[k]

«f2

[k]

«af1

[k]

+

bf

2

[k]

«

aF1

(z)

+

bF2

(z)ROC包含

Rf

1

˙

Rf

2

(注意,收敛域的变化情况)zk1

1z

>

a例:f(k)=a

u(k)«F(z)=z

-

a

z2k2z

-

a«

F

(z)

=

z

>

af

(k)

=

a

u(k

-

1)k3¥-k¥k=-¥

k=-¥a [u(k)

-

u(k

-

1)]zF

(z)

==

ak

d(k)z

-k=(ak

z-k

)

=1

fi

收敛域扩大了.k=02．位移特性若序列Z[x(n

-1)]=z

-1

x(z)+x(-1)-1

0

1

2

3

4

5nab

cdefgx(n)012

34ndefg5

6x(n

-1)abcX(z)因取单边z变换,未计入n<0序号的值即x(-1)未计入.X(z)z-1

+

x(-1)z0右移后要补上原x(-1)项.f

[k

-

n]

«z-nF(z)ROC

=

Rf双边Z变换的位移单边Z变换的位移f

[k]k0f

[k

+1]k0f

[k

-

2]k0Z{

f

[k

+1]u[k

]}

=

z(F

(z)

-

f

[0])¥

¥f

[k

+1]z

-k

=

f

[k

]z

-(k

-1)Z{

f

[k

+1]u[k

]}

=

k

=0¥=

z

f

[k

]z

-kk

=1k

=1=

z(F

(z)

-

f

[0])Z[

f

[k

+

2]u[k

]}

=

Z{

f

[(k

+1)

+1]u[k

]}=

z(Z{

f

[n

+1]}

-

f

[1])=

z

2{F

(z)

-

f

[0]-

z

-1

f

[1]}Z[

f

[k-1]u[k

]}

=

z

-1F

(z)

+

f

[-1]Z{

f

[k

-

2]u[k

]}

=

z

-1Z{

f

[k

-1]u[k

]}

+

f

[-2]=

z

-2

F

(z)

+

z

-1

f

[-1]

+

f

[-2]kf

[k

]

f

[n

+

k

]例：两个序列的自相关定义为，R

f

[n]=f

[k

]Z{

f

[n

+

k

]}求Z{Rf[n]}Z{Rf

[n]}

=

k=

kf

[k

]F

(z)zk

=

F

(z

-1

)F

(z)例：F(z)=1/(z-a)|z|

>a

求f

[k]。11-

az

-1F

(z)

=

z

-1f

[k

]

=

Z

-1