红对勾高一数学第一册2021版电子

第二章一元二次函数、方程和不等式2．2

基本不等式第1课时基本不等式[课标解读]掌握基本不等式ab≤a＋b(a，b>0)．2[素养目标]水平一：1.能利用重要不等式抽象出基本不等式(数学抽象).2.能够利用不等式的性质推导基本不等式，理解基本不等式的几何意义(逻辑推理、直观想象).3.明确基本不等式的形式及等号成立的条件(逻辑推理)．水平二：掌握基本不等式，学会灵活变换条件使用基本不等式比较大小或证明不等式(逻辑推理、数学运算)．课时作业要点整合夯基础典例讲解破题型课堂达标练经典核心素养培优要点整合夯基础知识点

两个不等式[填一填]1．重要不等式：∀a，b∈R，有a2＋b2

≥

2ab，当且仅当

a＝b

时，等号成立．＋

2仅当

时，等号成立．其中a＋b2叫做正数a，b

的2．基本不等式：如果

a，b∈R

，那么

ab

≤

a＋b，当且a＝b

算术平均数

，ab叫做正数

a，b

的

几何平均数

．所以两个正数的

算术平均数不小于它们的

几何平均数．2ab

，当且仅当C与O重(3)基本不等式ab≤2a＋b(1)由射影定理可知，CD＝

ab

，而OD＝

2

；(2)因为OD

≥CD，所以a＋b≥合，即

a＝b

时，等号成立；a＋b的几何意义是半径不小于半弦．22．不等式a2＋b2≥2ab

和基本不等式ab≤a＋b成立的条件有什么不同？提示：不等式a2＋b2≥2ab

对任意实数a，b

都成立；ab≤a＋b2中要求a，b

都是正实数．3．(1)基本不等式中的a，b

可以是代数式吗？

2

2a＋b

a＋b2(2)

≥

ab与

≥ab

是等价的吗？提示：(1)可以．但代数式的值必须是正数，否则不成立．(2)不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R.典例讲解破题型A.1

1

1a＋b有最大值

4 B．

ab有最小值2C.

a＋

b有最大值

2 D．a2＋b2

有最小值22从基本不等式成立的条件入手，对每个选项进[思路分析]行判断．类型一

对基本不等式的理解[例

1]

设正实数

a，b

满足

a＋b＝1，则(

C

)[解析]1

11

1b

aa

b

a

b

a

b对于

A，

＋

＝(a

＋b)

＋＝2

＋

＋

≥2＋2

b

a＝

b

a

1a·b

4，当且仅当a＝b且a＋b＝1，即a＝b＝2时等号成立，1

1∴a＋b的最小值为

4，故

A

不正确．对于

B，由不等式得

ab≤a＋b21

1＝2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，∴1ab的最大值为2，故B

不正确．对于C，由不等式可得a＋b≤2(

a)2＋(

b)22＝2a＋b21＝

2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，∴a＋b有2大值2，故C

正确．对于D，由不等式可得a

＋2b

≥2

a＋b22＝1

11，当且仅当a＝b＝时等号成立，∴a2＋b2

有最小值，故D

不2

2

2正确．故选C.[变式训练1]已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2

abC.a＋b>1

1

2 abb

aD．a＋b≥2解析：对于A，当a＝b

时，a2＋b2＝2ab，所以A

错误；对于B，C，ab>0

只能说明a，b

同号，当a，b

都小于0

时，B，C

错误；对于D，因为ab>0，所以b>0，a

ba>0，所以＋≥a

bb

a b

a

b

a2

a·b，即a＋b≥2恒成立．的是(

D

)类型二

用基本不等式比较大小[例

2]

若

0<a<1,0<b<1，且

a≠b，试找出

a＋b，a2＋b2,2

ab，2ab

中的最大者．[思路分析]

利用基本不等式及作差法比较大小，也可运用特值法进行求解．[解]

∵0<a<1,0<b<1，且

a≠b，∴a＋b>2

ab，a2＋b2>2ab，∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2

中选择．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，∵0<a<1,0<b<1，∴a(a－1)<0，b(b－1)<0，∴a2＋b2－(a＋b)<0，即a2＋b2<a＋b，∴a＋b

最大．[变式训练2]2 a＋

b已知

a，b

是不相等的正数，x＝

，y＝

a＋b，试比较x，y

的大小．解：a，b

是不相等的正数，由x＝ a＋

b2得x2＝a＋b＋22

2ab

a＋b＋a＋b<

＝a＋b，又∵y＝

a＋b，即

y2＝a＋b，∴x2<y2，即

x<y.类型三

用基本不等式证明不等式[例

3]

(1)已知

a，b，c

为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>

ab＋

bc＋

ca.(2)已知a，b，c

为正实数，且a＋b＋c＝1，1

1

1

求证：a－1b－1c－1≥8.

[思路分析]

(1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用基本不等式，将和变积，并证得不等式．(2)不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个1“2”连乘，又a－1＝1－a

b＋ca

a＝

≥2

bca，可由此变形入手．[证明]

(1)∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2

ab>0，b＋c≥2

bc>0，c＋a≥2

ca>0.∴2(a＋b＋c)≥2(

ab＋bc＋ca)，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.由于a，b，c

为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c>

ab＋

bc＋

ca.(2)∵a，b，c

为正实数，且a＋b＋c＝1，1∴a－1＝1－a

b＋ca

a＝

≥2

bc

a，1同理b－1≥2

ac

12

abb

c，c－1≥

.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1

1

b－1c－1≥·

·2

bc

2

ac

2

aba

b

c＝8.当且仅当a＝b＝c1＝3时，等号成立．[变式训练3]xxy

yz已知

x>0，y>0，z>0，求证：

＋

＋

＋

y

zx

zx

yz≥8.证明：∵x>0，y>0，z>0，∴x＋x≥y

z

2xyz>0，yx

z

2

xz

x

y

2

xyzy＋y≥

>0，z＋z≥

>0，当且仅当x＝y＝z

时，以上三式等号同时成立．y

zx

zx

yx

xy

yz

z∴

＋

＋

＋

≥8

yz·

xz·

xyxyz＝8.当且仅当x＝y＝z

时等号成立.课堂达标练经典1．给出下列条件：b①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使a＋bA．1

个C．3

个B．2

个D．4

个解析：当b，a均为正数时，b＋a≥2，故只须a、b

同号即可．所a

b

a

b以①③④均可以．a≥2成立的条件有(

C

)2

12．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，若x＋2y>m

恒成立，则实

2

1解析：本题考查基本不等式的应用．x＋2y＝(x＋2y)·x＋y＝4＋4y

x

4y

xx

＋y≥4＋2 4＝8(当且仅当x

＝y，即x＝4，y＝2

时等号成立)，所以x＋2y>m

恒成立，只需(x＋2y)min>m.所以m<8.故选D.数

m的取值范围是(

D

)A．{m|m<6}

B．{m|m≤6}C．{m|m≤8}

D．{m|m<8}13．设b>a>0，且a＋b＝1，则四个数2，2ab，a2＋b2，b

中最大的是(A．b1C．2ab

D．21解析：因为b>a>0，所以a2＋b2>2ab.又因为a＋b＝1，所以b>2.又b＝b(b＋a)＝b2＋ab>b2＋a2，所以b

最大，故选A.A

)B．a2＋b24．设a>0，若对于任意的正数m，n，都有m＋n＝8，则满足a≤m＋1

1

4

n＋1的

a

的取值范围是

.解析：由

m＋n＝8

可得

m＋n＋1＝9

1

＋

4

＝1

m＋n＋，故m

n＋1

9(

m

11)·

＋＝1n＋1

9

4

n＋1m1＋4＋

＋n＋194m

1

9≥×(5＋2 4)＝9＝1，当且仅a1当n＋1＝