辽宁省2022-2023学年高三数学上学期第二次月考

2023高三第二次考试数学试题一、单选题（每小题5分，共40分.）1.下列函数是奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断即可【详解】解：对于A：定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误；对于B：定义域为，则，即为偶函数，故B错误；对于C：定义域为，则，故为奇函数，故C正确；对于D：定义域为，则，所以为偶函数，故D错误；故选：C2.已知随机变量的分布列如下表所示，若，则（）123A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根据分布列的性质以及，列出方程，解得m,n，根据离散型随机变量的方差公式计算，即可得答案.详解】由题意可得，由得：，两式联立解得，故，故选:A3.下列说法中错误的是（）A.对于命题p：存在，使得，则：任意，均有B.两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1C.在线性回归方程中，当变量x每增加一个单位时，平均减少0.5个单位D.某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变【答案】D【解析】【分析】A选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；B选项，相关系数就越接近1，则两个变量线性相关性越强；C选项，根据线性回归方程的解析式中的系数得到结论；D选项，计算出添加新数据4后的方程，作出判断.【详解】存在，使得，的否定是：任意，均有，A正确；两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1，B正确；在线性回归方程中的系数为，当变量x每增加一个单位时，平均减少0.5个单位，C正确；某7个数的平均数为4，方差为2，则，现加入一个新数据4，则平均数不变，仍为4，此时这8个数的方差变为，故D错误.故选：D4.核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（）（参考数据：）A.22.2% B.43.8% C.56.2% D.77.8%【答案】D【解析】【分析】由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得．【详解】解：由题意知，，即，即，所以，解得．故选：D．5.在等差数列中，，，其前n项和为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设的公差为，依题意得到方程组，解得、，即可求出通项公式与，则，再利用裂项相消法计算可得.【详解】解：设的公差为，因为，，则，解得，∴，故，则，所以；故选：B6.已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D.若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是【答案】D【解析】【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】解：由题图可得，，故，所以，又，即，所以，又，所以，所以.当时，，故函数关于对称，故A错误；当时，，即函数关于对称，故B错误；将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故C错误；当时，，则当，即时，单调递减，当，即时，单调递增，因为，，，所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D正确.故选：D7.定义在上的函数满足在上单调递增，，且图像关于点对称，则下列选项正确的是（）A.周期 B.C.在上单调 D.函数在上可能有2023个零点【答案】C【解析】【分析】由，且图像关于点对称，得到的周期为4，结合满足在上单调递增，结合周期性与对称性得到在单调递减，分别判定选项即可.【详解】所以的对称轴为，且，又图像关于点对称，则，所以，，所以，所以，所以的周期为4，故A错误.根据周期性，且,又对称轴为，所以，且函数满足在上单调递增，所以，所以，所以B错误；函数满足在上单调递增，且周期为4，所以函数满足在上单调递增，又图像关于点对称，所以在单调递增，又对称轴为，所以在单调递减，且在单调递减，且，所以在单调递减，所以C正确；对于D，在上有且仅有2个零点，且周期为4，在上有且仅有1010个零点，在上有且仅有2个零点，函数在上可能有1012个零点，所以D错误.故选：C.8.已知函数，若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】考虑与和的关系，去掉绝对值号后可得，然后再通过导数研究函数的图象，结合图象可得所求结果．【详解】方程等价于或或，即或或，所以．∵，∴，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴当时，取得最小值，且．画出函数的图象，如下图所示．于是可得，当时，恒成立．由图象可得，要使方程有且仅有两个不同的整数解，只需，即，解得，∴实数的取值范围是．故选A．【点睛】本题难度较大，综合考查导数的应用及绝对值的问题，解题的关键是将绝对值符号去掉，将方程转化为函数的问题，然后再结合函数的图象求解，解题时注意数形结合思想方法的灵活运用．二、多选题（每小题5分，共20分，全选对得5分，部分对得2分，有选错的得0分.）9.下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由空集的概念对选项逐一判断【详解】是不含任何元素的集合，是任意集合的子集，表示含有一个元素的集合，故A，B正确，C，D错误故选：AB10.下列有关命题的说法正确的有（）A.的增区间为B.“”是“”的充分不必要条件C.若集合中只有两个子集，则D.某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若，则Y的方差【答案】BD【解析】【分析】根据对数型复合函数的单调性判断A，根据充分条件、必要条件的定义判断B，由集合中只含有个元素判断C，根据二项分布的方差公式及方差的性质判断D；【详解】解：对于A，函数中，由得，即函数的定义域为，又函数在上单调递增，而在上单调递增，因此在上得到递增，A不正确；对于B，当时，成立，而当时，或，即“”是“”的充分不必要条件，B正确；对于C，因集合中只有两个子集，则集合含有1个元素，即方程只有1个根，则或，解得，所以或，故C不正确；对于D，同学上学路上要经过个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.记为遇到红灯的次数，则，，，，故D正确；故选：BD11.若正实数满足，则下列说法正确的是（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最小值【答案】BCD【解析】【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断.【详解】由正实数满足，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故A选项错误；由，则，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故B选项正确；由，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故C选项正确；由，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故D选项正确.故选：BCD.12.下列说法正确的是（）A.函数在上单调递增B.函数的最大值是1C.若函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是4D.若函数在区间内没有零点，则的取值可以是【答案】BC【解析】【分析】对于A，根据自变量的取值以及余弦函数的单调性，去掉绝对值，利用辅助角公式化简函数解析式，利用整体思想，可得答案；对于B，利用同角三角函数，结合二次函数的性质，可得答案；对于C，根据三角函数的性质，可得对称轴，整理函数参数的不等式，取值进行检验，可得答案；对于D，利用三角恒等变换，化简三角函数，代入参数，利用整体思想，可得答案.【详解】对于A，由，得，所以，又，函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，故A错误；对于B，，当时，函数取得最大值，最大值为1，故B正确；对于C，由知，函数的对称轴为，所以Z)，解得Z)，由知，当时，，，函数在上单调递增，不符合题意；当时，，，函数在上不单调，故的最小值为4，故C正确；对于D，，当时，，由，得，当时，为函数的零点，故D错误.故选：BC.【点睛】在函数解析式中，面对绝对值，由取值范围去绝对值；化简三角函数时，三角恒等变化是常用方法，其中需要熟练掌握的是辅助角公式，二倍角公式，降幂公式等等；解决三角型函数时，注意整体思想的使用.三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知函数，则______.【答案】-1【解析】【分析】根据分段函数的定义，可得答案.【详解】由，则.故答案为：.14.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100％，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为______．【答案】0.625##【解析】【分析】根据条件概率公式求解即可.【详解】解：设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确答案”为事件B，则，，，．故答案为：0.625．15.________.【答案】【解析】【分析】将所给式子通分后进行三角变换可得结果．【详解】由题意得．故答案为．【点睛】解答此类问题时，要根据所给式子的特点进行合理的变形，运用相应的公式进行求解，逐步化为同角的形式，然后通过约分等手段达到求解的目的，解题的关键是进行角的变换和三角关系式结构的变换．16.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是______．【答案】440【解析】【分析】由题意求得数列的每一项，及前项和，及项数，由题意可知：为2的整数幂．只需将消去即可，分别分别即可求得的值.【详解】解：由题意可知：第一项，第二项，第三项，，第项，根据等比数列前项和公式，求得每项和分别为：，，，，，每项含有的项数为：1，2，3，，，总共的项数为，所有项数的和为，由题意可知：为2的整数幂，只需将消去即可，则①，解得：，总共有，不满足，②，解得：，总共有，不满足，③，解得：，总共有，不满足，④，解得：，总共有，满足，该款软件的激活码440．故答案为：440.【点睛】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前项和，考查计算能力及数据分析能力，属于难题.四、解答题（共6题满分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的极值．【答案】（1）（2）极小值，无极大值【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解.【小问1详解】因为，所以，当时，，所以切线方程为，即；【小问2详解】由题可得的定义域为．令，即，得或（舍去），令，得，令，得，故在上单调递减，在上单调递增，所以存在极小值，无极大值．18.已知函数．（1）求函数的最小值，并写出当取最小值时x的取值集合；（2）若，，求的值．【答案】（1）最小值，（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数性质计算可得；（2）由，即可求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，再根据二倍角公式求出、，最后利用两角和的正弦公式计算可得；【小问1详解】解：．当，即时，取得最小值．此时的取值集合为．【小问2详解】解：由（1）知，，又，所以，即，因为，所以，所以，，所以．19.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，教育集团需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别锻炼不经常经常女生4060男生2080（1）是否有99%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；（2）从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；（3）为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练.已知甲控制球时，传给乙的概率为，传给丙的概率为；乙控制球时，传给甲和丙的概率均为；丙控制球时，传给甲的概率为，传给乙的概率为.若先由甲控制球，经过3次传球后，请问乙队员控制球1次数与丙运动员控制球1次的概率谁更大？并用数字说明理由.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1）有99%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关（2）（3）丙运动员控制球1次的概率大，理由见解析【解析】【分析】（1）计算卡方后判断，（2）由条件概率公式求解，（3）由概率的乘法公式与加法公式计算后判断，【小问1详解】根据列联表中的数据，经计算得到9.524>6.635有99%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关【小问2详解】用表示事件“选到经常参加体育锻炼的学生”，B表示事件“选到男生”，则.【小问3详解】乙运动员控制球1次的概率，丙运动员控制球1次的概率，，所以丙运动员控制球1次的概率大20.设函数（且）是定义域为的奇函数.（1）求实数的值；（2）若，，且在上的最小值为，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可得，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证函数为奇函数，即可得解；（2）由可求得，设，可得出，然后对的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的值.【小问1详解】解：因为是定义域为的奇函数，所以，即，当时，，，此时函数为奇函数，故.【小问2详解】解：因为，所以，解得或（舍）.故，令，因为函数、均为上的增函数，故函数在上为增函数，由，故，所以，，函数图象的对称轴为，①当时，，解得（舍去）；②当时，函数在上为增函数，则，解得，合乎题意.综上所述，.21.已知数列的前n项和为，满足，数列满足，且.（1）证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，存在，使成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析，，；（2）.【解析】【分析】（1）根据数列前n项和与第n项的关系，结合等差数列的定义进行求解证明即可；（2）根据错位相减法，结合差比法、数列的单调性进行求解即可.【小问1详解】当时，，所以；当时，由可得：，两式相减得：