高中数学-《函数的单调性》教学设计学情分析教材分析课后反思

《函数的单调性》教学设计教学目标确立依据（一）课程标准要求及解读1.课程标准要求借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.2.课程标准解读课程标准对本节内容的要求分四个层次：第一，借助对函数图象的观察、分析、归纳，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程，加深对函数单调性概念的理解.第二，会从解析式的角度证明函数单调性，即用定义证明函数的单调性.第三，借助图形发现直线斜率与函数单调性的关系，引入函数的平均变化率，由形到数螺旋上升，会用平均变化率证明函数的单调性.第四，会利用函数的单调性求最值.函数的单调性是培养学生数形结合思想的重要内容，也是研究变量变化范围的有力工具.（二）教材分析内容：本节内容是人教B版必修一3.1.2的内容，是一节概念性知识，属于函数的基本性质．课时分配为2课时，本节课为第1课时.函数的单调性是学生在了解函数概念之后学习的第一个函数性质，也是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的性质．函数的单调性是培养学生数形结合思想的重要内容，也是研究变量变化范围的有力工具.因此，应把这一内容视为学生学习数学思想方法的奠基性活动.函数单调性的研究体现了对函数研究的一般方法：加强数形的结合，由直观到抽象，由特殊到一般．函数的单调性为研究函数的其他性质起到了示范作用，提供了方法依据．地位：函数的单调性有着承前启后的作用．一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分的运用，另一方面，函数的单调性与前一节函数的概念和图像的知识的延续有着密切的联系，函数的单调性与后面的奇偶性是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及三角函数等其他函数的基础．（三）学情分析本节课的教学对象是威海二中高一年级的学生．从学生的知识上看，学生已经学过一次函数、二次函数及反比例函数、函数的概念及表示，能画出一些简单函数的图象，从图象的直观变化，学生能粗略的领会函数增减性的概念，从而引入函数单调性的定义也就水到渠成．从学生现有的学习能力来看，通过初中对函数的认识和实验，学生已具备一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力．从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何“定性”“定量”的描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重难点问题．函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生渴望进一步学习，这种积极心态是学生学好本节课的情感基础．但是如何运用数学符号将自然语言的描述转化为形式化的定义，学生接受起来还比较困难．在教学中要多引导，让学生真正的理解函数单调性及函数平均变化率的定义．二、教学目标通过观察、分析函数图象，能用符号语言归纳出函数单调性的定义；能根据函数图象判断函数的单调性，并能根据函数单调性的定义证明函数在指定区间上的单调性；3．通过小组合作能归纳出直线斜率与函数单调性的关系，并能用符号语言归纳出函数平均变化率的定义；4.能根据函数平均变化率证明函数在指定区间上的单调性.三、评价设计目标1评价：80％的同学能用符号语言归纳出函数单调性的定义；目标2评价：95％以上的同学能准确完成课堂检测1，师生共同完成函数单调性的定义证明，学生能总结出用定义证明函数单调性的步骤；目标3评价：通过小组讨论90％的同学能由图象归纳出直线斜率与函数单调性的关系，并能得出函数平均变化率的定义；目标4评价：师生共同完成用函数平均变化率证明函数单调性，学生能总结出用平均变化率证明函数单调性的步骤.四、教学方法根据本节课的教学内容、学生情况和教学目标，教学中采用“教师设疑引导，学生自主探究”的教学方法．通过启发引导，激发学生的思维，鼓励学生发现、探究、合作、展示，使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高．针对本节课的重点——函数单调性的证明，教学中采用直观到抽象，特殊到一般，感性到理性的教学过程，先通过讨论具体函数图像的上升或下降直观描述发现问题，再把具体的、直观形象的单调性特征抽象出来，用数学符号语言描述．本节课的难点之一是单调性概念的得出．教学中采用教师启发引导，学生自主、合作、探究的教学方法，以及多媒体直观教学的恰当应用，使学生从感性认识上升到理性认识，从“形”的直观到“数”的推理，使学生对单调性概念的理解水到渠成，逐层深入，步步升华．本节课的另一个难点是函数的平均变化率的得出．教学中通过引入直线的斜率，设置问题引导学生结合图像，探寻直线斜率与函数单调性的关系，从而得出证明函数单调性的另一途径及函数的平均变化率的的定义.五、教学过程设计【教学过程】（一）创设情境，引入概念情境：艾宾浩斯记忆曲线这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？这是一条衰减曲线，随着时间的推移，记忆的保持两逐渐减小，第一天遗忘的速度最快，一天之后遗忘的速度趋于缓慢，这一规律提醒我们：在学习新知识的时候，一定要及时进行复习和巩固，以便加深理解和记忆．生活中很多与数据相关的问题：比如气温变化，工厂效益、股票行情等等，了解这些数据的变化规律，对我们的生活很有帮助．而这些数据的变化，用函数的观点看，其实就是随着自变量变化时，函数值的变化规律．【学生活动】感受生活中的数学，体会了解函数的变化规律有助于把握事物的变化规律．【教师活动】通过实例，引导学生体会生活中的数学无处不在，数学对生活的影响无处不在．【设计意图】生活情境引入新课,可以激发学生的学习兴趣,让学生感悟数学来源于生活，运用数学知识可以解决生活中的实际问题.观察类比，生成概念问题1：观察上图中各个函数的图像，你能说说它们分别反映了相应函数的函数值随自变量的变化规律吗？【学生活动】从个人观察的角度，描述图像反映的函数的变化规律．【教师活动】肯定学生多角度发现函数变化规律，并纠正学生语言表述的准确性．提出函数的性质有很多，引出本节课要研究的是随着自变量不断增大，函数值是增大还是减小这个特征．引导学生读图分析，直观感知单调性这一性质．【设计意图】1.由图象认识增函数与减函数,直观且易于学生接受.2.为单调函数定义中关键词“区间上”作铺垫.3.让学生初步体会数形结合的思想.问题2:怎样用不等式符号表示“随的增大而增大”，“随的增大而减小”？【学生活动】预案:“随的增大而增大”用符号表示；“随的增大而减小”用符号表示；【教师活动】肯定学生同时提出问题3引导学生突破本节课的函数单调性定义的一个难点“任意性”.【设计意图】从“形”到“数”的转化，从图像的直观认识，到变量的数值增减理解，形象的“上升”和“下降”的规律对应到函数在变量值上的变化规律．问题3：在区间上，当恰有，一定能保证函数图象在区间上是上升的吗？【学生活动】预案:学生能画出函数图象在区间I上不是一直上升，认识到问题的根源在不能取特值，要在区间内任意取两个自变量．【教师活动】适时引导学生体会“任意”的含义.【设计意图】突破本课难点之一：用“任意”的必要性.让学生初步理解单调性定义里的不等关系，突破了立足于大小比较的符号语言的生成这个难点之后，引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．突破了“任意…都…”这个句式的理解难点把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,对增函数作初步理解．通过设计快问快答的预备“小问题串”，贴切学生思维，拉升思维速度，极大地满足学生的成功感，树立了学生的自信，激发了探索欲望.问题4：如何用符号语言刻画函数在定义域D内某个区间I上是增函数？【师生活动】：师生合作归纳得到增函数定义（此处增函数定义得到完善，师完善板书)增函数：一般地，设函数的定义域为D，，当时，都有，则称函数在区间D上是增函数.(板书)【设计意图】培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力，培养学生数学抽象的数学素养.问题5：类比增函数的定义，你能得到减函数的定义吗？【师生活动】全班类比得出减函数的定义,这次教师指出要求全部大声朗读减函数的定义.减函数：一般地，设函数的定义域为D，，当时，都有，则称函数在区间D上是减函数【设计意图】类比增函数的定义得到减函数的定义，渗透类比、分类整合等数学思想.，形成由特殊到一般，由局部到整体等研究问题的一般方法.问题6：利用函数解析式判断单调性时，的大小关系怎样比较？【学生活动】思考联想到做差的方法【设计意图】通过思考，认识函数单调性定义与不等式的关系，为证明函数单调性作铺垫.(师用多媒体给出：如果函数在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有单调性.区间I叫做的单调区间.)问题7：能否说在定义域内是减函数？为什么？【学生活动】预案⑴函数在和都是减函数，所以在其定义域是减函数是正确的;⑵举反例，取，，所以在是减函数是错误的.【教师活动】对学生判断做出评价，并指出函数在定义域内的区间单调但在定义域上并不单调.引导学生理解函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.【设计意图】通过学生之间的交流，举出反例，使学生能够正确理解单调性与区间相对应，并能正确书写函数的单调区间.【课堂检测1】函数，在上是增函数，在上是函数，在上是函数，在上是函数。【师生活动】学生独立完成教师予以评价【设计意图】考查对单调性定义、单调区间的理解，同时获得判断单调性的直观方法----图象法.问题8：如何从函数解析式证明的单调性？【学生活动】独立思考，并展示自己的观点．【教师活动】板书学生观点，并予以完善．通过问题8引导学生发现为定值，得出（1）2为斜率（2）斜率为正，函数为增函数.【学生活动】总结用定义证明函数单调性的一般步骤.【设计意图】让学生学会如何分析问题，并初步体会用定义法证明单调性的过程中逻辑的严密性和言必有据；增强了学生运用代数法描述单调性的信心.（三）合作探究，深化概念问题9：直线如何用两点坐标表示出？【学生活动】类比问题8得出直线斜率的公式.【教师活动】指明直线斜率的公式与A,B两点的顺序无关，当，直线的斜率不存在，直线AB的斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度.【设计意图】由定义法证明中的两个关键的量：，结合直角三角形，学生较容易得出直线斜率公式，为探究斜率与函数单调性关系做准备.问题10：思考任一个函数图像上的两点确定的直线的斜率是否一定存在？【师生活动】预案有的学生可能说不存在，教师引导学生回顾函数定义，明确函数图像上的两点可以确定的直线的斜率.【设计意图】为探究直线斜率与函数单调性关系做准备.问题11：观察函数图像在区间I上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系，你能总结出什么规律？（小组合作）【学生活动】通过先自主再合作，小组互助研讨解决探究问题，并展示自己的观点．【教师活动】提出问题，放手学生解决，巡视、适当点拨．【设计意图】从“形”的角度认识到直线斜率与函数单调性关系，培养学生思考的习惯和探究问题的能力，通过合作学习互促提升，突破难点.问题12：上述结论能否用符号语言阐述函数在定义域D内某个区间I上是增函数（或减函数）？【教师活动】提出问题，引导学生将斜率用表示函数在定义域D内某个区间I上是增函数（或减函数）的充要条件.【学生活动】学生思考尝试归纳.【设计意图】培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力，培养学生数学抽象的数学素养.(师板书结合多媒体给出：一般地，若是函数的定义域的子集，对任意（1）在上是增函数的充要条件是在上恒成立（2）在上是减函数的充要条件是在上恒成立.函数平均变化率：一般地，当时，称为函数在区间或上的平均变化率.问题13：如何利用函数平均变化率证明的单调性？【学生活动】独立思考，并展示自己的观点．【教师活动】板书学生观点，并予以完善．【学生活动】总结用平均变化率证明函数单调性的一般步骤.【设计意图】让学生学会如何分析问题，并初步体会用平均变化率证明函数单调性的过程中逻辑的严密性和言必有据；体会平均变化率相对于定义法证明的简洁性.【课堂检测2】：求证：函数在区间上是的减函数。【学生活动】独立思考，并展示自己的作业．【教师活动】点评学生作业，提出若在如何证明，学生体会到证明过程类似，并能找出不同点.【设计意图】检测学生对本节课知识掌握情况.（师：平均变化率不仅仅体现在证明函数单调性，在其他领域也有应用，如同学们熟悉平均速度、平均加速度。正如物理学家杨振宁指出“可以用两片生长在一根管径上的叶子来形象化的说明数学和物理之间的关系.数学和物理是同命相连，他们的生命交接在一起.物理学中大量的物理规律是运用数学方法来进行研究的.把物理问题转化成数学问题，找到相应的数学模型.对物理现象进行分析和诠释是解决物理问题的一条有效途径.后续我们会对平均变化率进行进一步研究.）【设计意图】数学内容在其他学科有着广泛应用,进一步激发学生学习数学的兴趣.（四）反思归纳,总结提升对照学习目标自我评价本节课的学习目标的达成情况,并在此基础上总结提升.通过本节课的学习，你有哪些收获？（关键词：三种语言，证明函数单调性的方法，数学思想，情感体验等）【设计意图】框架提示给出小结反思的方向，有利于学生形成小结的学习习惯.结束语：希望同学们今后会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达数学世界.（五）课后作业,任务后延.一、巩固性作业：单调性评测练习二、探究性作业：1.根据你对最值的认识，如何用符号语言刻画函数在定义域D的最值？尝试用不同的方法求解函数上的最值.2.判断一次函数的单调性.三、拓展阅读俗话说“一分耕耘一分收获”，那么在实际生活中，如果把收获看成付出的函数，它们之间的关系可以怎样描述呢？如果同样多的付出所得到的收获总是相等，那么收获是付出的线性函数，其图像可以用图1表示，例如，以均速方式驾驶汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关系就是如此.如果随着付出的增长，同样多的付出所得到的收获不一定相等，那么收获就是付出的非线性函数，例如，在我们学习新的知识时，可能一开始效率会比较高，单位时间的付出得到的收获会比较大，但随着付出的时间越来越多，单位时间的付出得到的收获会变少，如图2所示.有时还可能付出增加会导致收获减少，想想家长过分溺爱孩子的后果吧，这种情况可用图3表示.你能说出收获与付出的其它关系吗？另外从这里也可以看出利用图形的形象与直观能够帮助我们更好地描述和理解有关的原理，你体会到了吗？日常生活中这样的例子还有很多，尝试去发现一下吧.(六)板书设计3.1.2函数的单调性一、定义：二、函数的平均变化率：一般地，设函数的定义域为充要条件是（）在恒成立，，在上是增(减)函数的充要条件是（）在恒成立当时，都有（）就说函数在区间上是增（减）函数.三、例题《函数的单调性》学情分析本节课的教学对象是威海二中高一年级的学生．从学生的知识上看，学生已经学过一次函数、二次函数及反比例函数、函数的概念及表示，能画出一些简单函数的图象，从图象的直观变化，学生能粗略的领会函数增减性的概念，从而引入函数单调性的定义也就水到渠成．从学生现有的学习能力来看，通过初中对函数的认识和实验，学生已具备一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力．从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何“定性”“定量”的描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重难点问题．函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生渴望进一步学习，这种积极心态是学生学好本节课的情感基础．但是如何运用数学符号将自然语言的描述转化为形式化的定义，学生接受起来还比较困难．在教学中要多引导，让学生真正的理解函数单调性及函数平均变化率的定义．《函数的单调性》效果分析1.体现了数学应用价值通过艾宾浩斯记忆遗忘曲线图及生活中的实例，形象的给出了函数图像的变化特点，使学生对抽象的数学问题，有了进一步的认识，使学生认识到数学来源于生活，数学是有用的，从而调动了学生的学习兴趣和学习热情，同时对学生的学习方式方法也起到了一定的指导作用.2.体现了新课程教学理念本节课的教学过程中，教法灵活，学法愉快，充分体现了学生的主体作用，通过学生的积极参与，表现出了学生自主学习，合作学习，探究学习的新课程教学理念.教师的及时点拨与讲解，也体现了教师的引领作用和主导作用.3.突出了数学思想方法从具体的一次函数、二次函数图像，使学生把定义与直观图象结合起来，加深对概念的理解，得出函数单调性的数学语言.教师再用图像引出直线的斜率，得出函数平均变化率的概念，分析图像，应用定义，渗透数形结合、分析问题的数学思想方法.4.教学手段得当本节课有两个主要矛盾，一是几何直观判断与代数推理证明之间的矛盾：高一学生认为可以看图像判断单调性，为什么还要学形式化定义；二是学生现有的思维水平与单调性定义的思维要求之间的矛盾：高一学生的逻辑思维和抽象概括能力较弱，面对抽象的形式化定义，容易产生思维障碍.针对矛盾一，教师精心设置认知冲突，使学生自主体验到学习新知的必要性，增强研究的兴趣和积极性；针对矛盾二，教师紧紧抓住新旧知识间的内在联系，设置一系列问题，让学生充分参与定义的符号化过程，有效地突破了教学难点.5.提升了学生的数学素养在学生自主探索的过程中，培养学生严密的逻辑思维能力，用运动变化的观点、数形结合的思想和分类讨论的方法去分析和处理问题，转化的思想也得到了充分的体现．学生不仅学到了数学知识，也初步体验了研究问题的基本方法．学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学素养得到了提升.《函数的单调性》教材分析一、内容：本节内容是人教B版必修一3.1.2的内容，是一节概念性知识，属于函数的基本性质．课时分配为2课时，本节课为第1课时.函数的单调性是学生在了解函数概念之后学习的第一个函数性质，也是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的性质．函数的单调性是培养学生数形结合思想的重要内容，也是研究变量变化范围的有力工具.因此，应把这一内容视为学生学习数学思想方法的奠基性活动.函数单调性的研究体现了对函数研究的一般方法：加强数形的结合，由直观到抽象，由特殊到一般．函数的单调性为研究函数的其他性质起到了示范作用，提供了方法依据．二、地位：函数的单调性有着承前启后的作用．一方面，函数的单调性是前一节内容函数的概念与图象知识的延续与扩展，同时函数的单调性又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础，在解决函数定义域、值域、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；此外，从方法论的角度分析，本节教学过程当中，还渗透了数形结合、归纳类比、转化与化归等数学思想．从情感的角度分析，本节课学生发现数学在生活及其他领域都有体现有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野.函数的单调性评测练习一、选择题1．若是的单调增区间，，且，则有（）A．B．C．D．2．函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．3．下列函数中，在区间(0，2)上递增的是（）A．B．C．D．4.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．5.设函数在上是减函数，则有（）A．B．C．D．6.函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(多选题)已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么下列说法中，正确的是（）A.B.C.D.在区间上有最小值二、填空题8．函数的单调递增区间是____________.9．函数在是增函数，则、、的大小关系是.10．函数的单调递增区间是_______.11．若二次函数在区间是减函数，在区间上是增函数，则f(1)=________.三、解答题12．证明函数在上是增函数.13．判断并证明函数在区间上的单调性．14．已知函数在上是减函数，且，求的取值范围．函数的单调性评测练习参考答案一、选择题题号1234567答案ADDADBBCD二、填空题8．9．10．11．三、解答题12．证明：设，且，则.，∴∴.∴在上是增函数.13．函数在区间上单调递增．证明如下：设，且，则．，∴，，，∴在区间上的单调递增.14．函数在上是减函数，且,∴ 解得.∴的取值范围是.《函数的单调性》教学反思让学生体验数学知识的发生发展过程应该成为这节课的一个重