2021年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)

2021年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)

2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）一、选择题：1.已知全集$U=\{1,2,3,4,5\}$，集合$M=\{1,2\}$，$N=\{3,4\}$，则$U-(M\capN)$$=$(D.{1,2,3,4})2.设$iz=4+3i$，则$z=$(-3+4i)3.已知命题$p:\existsx\inR,\sinx<1$；命题$q:\forallx\inR,e^{|x|}>1$，则下列命题中为真命题的是(A.$p\landq$)4.函数$f(x)=\sinx+\cosx$的最小正周期和最大值分别是(A.$2\pi$和2)5.若$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y/4\\x-y/2\\y^3\end{cases}$，则$z=3x+y$的最小值为(B.10)6.$\cos^2\frac{5\pi}{12}=$(C.$\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}$)7.在区间$(0,+\infty)$随机取1个数，则取到的数小于$\frac{1}{3}$的概率为(B.$\frac{21}{36}$)8.下列函数中最小值为4的是(A.$y=x^2+2x+4$)9.设函数$f(x)=\frac{1}{1+x}$，则下列函数中为奇函数的是(B.$f(x-1)+1$)10.在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$P$为$B_1D_1$的中点，则直线$PB$与$AD$所成的角为$\frac{\pi}{6}$11.设$B$是椭圆$C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$的上顶点，点$P$在$C$上，则$|PB|$的最大值为$\sqrt{5}$12.设$a\neq0$，若$x=a$为函数$f(x)=a(x-a)^2(x-b)$的极大值点，则(C.$ab<a^2$)二、填空题：13.已知向量$\boldsymbol{a}=(2,5)$，$\boldsymbol{b}=(\lambda,4)$，若$\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}$，则$\lambda=5$14.双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$的右焦点到直线$x+2y-8=0$的距离为$\frac{5}{\sqrt{13}}$对于命题q:xR，e|x|1，当x0时，e|x|1，故命题q为真命题；故pq为真命题，pq为假命题，pq为真命题，(pq)为假命题．故选：A．【归纳总结】本题考查命题的真假判断，考查复合命题的真假判断法则等基础知识，是基础题．二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。请将答案填写在答题卡上指定的位置。4．已知函数f(x)x33x22x1，当x1时，f(x)()．【解析】：当x1时，f(x)(1)33(1)22(1)12．故填：2．5．已知点A(1，4)，点B(3，2)，则AB的斜率为()．【解析】：设AB的斜率为k，则kyByA2462．xBxA3（1）4故填：2．6．已知函数f(x)x1，g(x)2x3，则f(g(2))()．【解析】：f(g(2))f(223)f(1)112．故填：2．7．已知函数f(x)x2bxc，当x1时，f(x)2；当x2时，f(x)5，则bc()．【解析】：由已知得bc1bc2；42bc5b2，c1．故bc1．故填：1．8．已知对数函数ylog2x的图象经过点P(8，y0)，则y0()．【解析】：由对数函数的定义得y0log283．故填：3．9．已知函数f(x)x2bxc，当x1时，f(x)2；当x2时，f(x)5，则f(1)f(3)()．【解析】：由已知得bc1bc2；42bc5b2，c1．故f(1)f(3)(1)22b1322b12b2．故填：2b2．10．在平面直角坐标系中，点A(2，3)，点B(4，5)，则向量AB的模长为()．【解析】：设向量AB为AB(42)i(53)j2i2j，则|AB|(2)2(2)222．故填：22．11．已知函数f(x)x3ax2bxc，当x1时，f(x)3；当x2时，f(x)10；当x3时，f(x)21，则abc()．【解析】：由已知得abc1abc3；8a4b2c104a2bc21a1，b3，c3．故abc1(3)31．故填：1．三、解答题：共5小题，每小题10分，共50分。请将解答过程写在答题卡上指定的位置。12．（10分）已知函数f(x)x3ax2bxc，当x1时，f(x)3；当x2时，f(x)10；当x3时，f(x)21．（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)的单调增区间．【解析】：（1）由已知得abc1abc3；8a4b2c104a2bc21a1，b3，c3．故函数f(x)的解析式为f(x)x3x23x3．（2）f(x)x3x23x3的导函数为f(x)3x22x3，令f(x)0，解得x11，x21/3．当x1时，f(x)0，故f(x)在(，1)上单调递减；当1x1/3时，f(x)0，故f(x)在(1，1/3)上单调递增；当x1/3时，f(x)0，故f(x)在(1/3，)上单调递增．故函数f(x)的单调增区间为(1，1/3)(1/3，)．故选：x3x23x3，(1，1/3)(1/3，)．【归纳总结】本题考查函数的解析式的求解，考查函数单调性的判断等基础知识，是基础题．13．（10分）已知函数f(x)x33x22x1，g(x)x1，h(x)2x3．（1）求函数f(x)的零点；（2）求复合函数f(g(x))和f(h(x))的零点．【解析】：（1）由f(x)的解析式得f(x)x33x22x1(x1)(x22x1)，解得f(x)的零点为x11，x212，x312．（2）f(g(x))g3(x)3g2(x)2g(x)1(x1)33(x1)22(x1)1x33x23，解得f(g(x))的零点为x3，x1．f(h(x))h3(x)3h2(x)2h(x)1(2x3)33(2x3)22(2x3)18x345x46，解得f(h(x))的零点为x(103)/8，x(310)/8，x5/8．故选：1，3，1，(103)/8，(310)/8，5/8．【归纳总结】本题考查函数的零点的求解，考查复合函数的求解等基础知识，是基础题．14．（10分）在直角坐标系xOy中，C的圆心为C(2,1)，半径为1．（1）写出C的一个参数方程；（2）过点F(4,1)作C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【解析】：（1）C的参数方程为x2cos；y1sin．（2）过点F(4,1)作C的两条切线，设切点分别为P1和P2，则CP1P1F，CP2P2F，故P1和P2分别在以F为圆心、以CF为半径的圆上，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则(x14)2(y11)21，(x24)2(y21)21，(x12)2(y11)21，(x22)2(y21)21，解得P1(2【思路分析】利用函数奇偶性的定义，即f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)，代入选项中验证即可判断答案。【解析】：f(x)1x1x，将x替换为-x，得到f(-x)1x1x，因为f(-x)-f(x)，所以f(x)不是奇函数，故选项A和B错误；将x替换为x-1，得到f(x-1)1(x1)1(x1)2xx，将x替换为-x，得到f(-x-1)2xx，因为f(-x-1)-f(x-1)，所以f(x-1)是奇函数，故选项C正确；综上所述，选C．【归纳总结】本题考查了函数奇偶性的定义及其应用，属于基础题。需要注意的是，当函数不是奇函数时，不能轻易地认为它是偶函数，要进行验证。新设备10.211.010.510.011.0（1）分别求出旧设备和新设备生产该项指标的平均值和标准差；（2）根据所求平均值和标准差，判断新设备生产该项指标是否有提高。【解析】：（1）旧设备的平均值为（9.8+10.3+10.0+10.1）/4=10.05，标准差为0.476；新设备的平均值为（10.2+11.0+10.5+10.0+11.0）/5=10.54，标准差为0.431。（2）对于两组数据，可以采用t检验来判断它们是否有显著性差异。根据t检验的公式，计算得到t值为1.76，自由度为18。查t分布表得到在显著性水平为0.05时，双侧t检验的临界值为2.101。因此，t值小于临界值，可以认为新设备生产该项指标没有显著性提高。【归纳总结】本题考查了统计学中的平均值、标准差和t检验的计算方法，需要学生掌握这些基本概念和计算方法，属于基础题。18．（12分）如图，在ΔABC中，AD是角A的平分线，E是BC上一点，且AE=AC。求证：DE=BD。【解析】：由已知可得∠ACE=∠A，又AE=AC，因此ΔACE与ΔABC全等。所以∠AEC=∠ABC，又∠AED=∠AEB，因此四边形ABED为同一内角对应四边形，即为相似四边形。因此有BD/DE=AB/AE=BC/AC=1，即BD=DE。【归纳总结】本题考查了相似三角形和同一内角对应四边形的性质，需要学生掌握这些基本概念和证明方法，属于基础题。19．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，且BE=2CE。连接AE并延长交CD于F，连接BF并延长交AD于G，连接CG并延长交AB于H，连接DH并延长交BC于I。求证：FI=GI=HI=EI。【解析】：连接AC，可得$\angleBAC=45^\circ$，$\angleABE=30^\circ$，$\angleAEB=105^\circ$，$\angleAFE=75^\circ$，$\angleAFG=30^\circ$，$\angleGFB=45^\circ$，$\angleGBC=30^\circ$，$\angleGCB=75^\circ$，$\angleGCH=45^\circ$，$\angleHCD=30^\circ$，$\angleHCI=75^\circ$，$\angleHIB=45^\circ$，$\angleIBA=30^\circ$，$\angleIAD=75^\circ$，$\angleIAE=45^\circ$，$\angleEAF=30^\circ$，$\angleEFG=105^\circ$，$\angleEGH=30^\circ$，$\angleEHI=75^\circ$，$\angleEIB=105^\circ$，$\angleEIA=60^\circ$。因此，$\angleFIA=90^\circ$，$\angleGIB=90^\circ$，$\angleHIC=90^\circ$，$\angleEID=90^\circ$。又因为$\angleAEF=\angleAFE$，$\angleBFG=\angleBGF$，$\angleCHG=\angleCGH$，$\angleDIE=\angleDEI$，因此四边形AEFI、BFGI、CHGI、DEHI都是菱形，故FI=EI，GI=FI，HI=GI，EI=HI。【归纳总结】本题考查了菱形的性质，需要学生掌握菱形的定义、性质和证明方法，属于中等题。20．（12分）如图，在直角三角形ABC中，$\angleC=90^\circ$，$AB=AC$，$D$为$AB$边上一点，$DE$垂直于$AC$，$F$为$DE$中点。求证：$\angleACF=2\angleACD$。【解析】：连接$CF$，$FE$，$AE$，可得$\angleAFE=45^\circ$，$\angleAEF=45^\circ$，$\angleCFE=90^\circ$，$\angleFEC=45^\circ$，$\angleEFC=45^\circ$，$\angleAEC=90^\circ$。因此，$\angleACF=\angleAFE+\angleEFC=\angleAEF+\angleFEC+\angleEFC=90^\circ$，$\angleACD=\angleACE=45^\circ$。又因为$\angleAFE=\angleAEF$，因此$\angleACF=2\angleACD$。【归纳总结】本题考查了三角形中角度的计算和证明方法，需要学生掌握这些基本概念和证明方法，属于基础题。21．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，$E$，$F$分别为$BC$，$CD$上的点，且$\angleABE=\angleADF$，$\angleDAF=\angleCFE$。求证：$\angleEAB=\angleFCD$。【解析】：连接$AF$，$BE$，$CE$，$DF$，可得$\angleCFE=\angleDAF$，$\angleABE=\angleADF$，因此$\angleABE+\angleCFE=\angleADF+\angleDAF=180^\circ$，即$\angleEAB=\angleFCD$。【归纳总结】本题考查了平行四边形中角度的计算和证明方法，需要学生掌握这些基本概念和证明方法，属于基础题。18.（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD垂直底面ABCD，M为BC的中点，且PB垂直AM。（1）证明：平面PAM垂直平面PBD；（2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ABCD的体积。【思路分析】（1）通过线面垂线即可证明；即只需证明AM垂直平面PBD。（2）根据PD垂直底面ABCD，可得PD即为四棱锥P-ABCD的高，利用体积公式计算即可。【解答】（1）证明：PD垂直底面ABCD，AM平行于平面ABCD，∴PD垂直AM，又PB垂直AM，因为PDPB平行于平面PBD，∴AM垂直平面PBD。AM平行于平面PAM，∴平面PAM垂直平面PBD；（2）解：由PD垂直底面ABCD，∴PD即为四棱锥P-ABCD的高，ΔDPB是直角三角形；ABCD底面是矩形，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB垂直AM。设AD=BC=2a，取CP的中点为F。因为点E是CD中点，连接MF，AF，EF，AE，可得MF平行于PB，EF平行于DP，那么AM垂直MF。且EF=√(11/4+a^2)，AM=a^2+1，AF=√(EF^2+AE^2)。AE=4/√13，那么ΔAMF是直角三角形，ΔDPB是直角三角形，∴根据勾股定理：BP=√(2+4a)，则MF=2/√(2+4a^2)；由ΔAMF是直角三角形，可得AM^2+MF^2=AF^2，解得a=√2/2。底面ABCD的面积S=2，则四棱锥P-ABCD的体积V=1/3×h×S=1/3×1×2=2/3。解法二：（安徽滁州刘家范补解第二小题）：由（1）知：AM垂直平面PBD。又BD平行于平面PBD，∴AM垂直BD。设AM∩BD=O，底面ABCD是矩形，∴AD//BC，易证：ΔOAD∽ΔOMB，又M为中点，∴OB/OM=MB/AD=1/2，即OB/OD=1/2，∴（x+1）/1=2/1，x=2，底面ABCD的面积S=2，则四棱锥P-ABCD的体积V=1/3×h×S=1/3×1×2=2/3。已知点O为坐标原点，点P在抛物线C上，点Q满足PQ=9QF。首先根据焦点F到准线的距离为2，可以求出p，从而得到抛物线方程y^2=4x。设点Q的坐标为(m,n)，则QF为(1-m,-n)，PQ为(9-9m,-9n)。由向量关系得到P点坐标为(10m-9,10n)，将其代入抛物线方程中，利用基本不等式即可求出最值。最终得到直线OQ斜率的最大值为3。对于函数f(x)=x^3-x^2+ax+1，首先求导得到f'(x)=3x