圆的有关概念及性质(试题部分)-课件

圆的有关概念及性质（试题部分）(2015河北,6,3分)如图,AC,BE是☉O的直径,弦AD与BE交于点F,下列三角形中,外心

点O的是

()

A、△ABE

B.△ACFC.△ABD

D.△ADEA组

2014-2018年河北中考题组五年中考答案

B外心即为三角形外接圆的圆心,∵△ACF的顶点F不在圆O上,∴圆O不是△ACF的外接圆,∴点O不是△ACF的外心,故选B、解题关键此题主要考查三角形外心的定义,正确掌握外心的定义是解题的关键、B组2014—2018年全国中考题组考点一

圆的有关概念、垂径定理1.(2017内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M.若AB=12,OM∶MD

=5∶8,则☉O的周长为

()

A.26πB.13πC.

D.

答案

B连接OA,设OM=5x(x>0),则MD=8x,∴OA=OD=13x,又∵AB=12,AB⊥CD,∴AM=6.在

Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=

(舍负),∴半径OA=

,∴☉O的周长为13π.方法规律

如图,设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形的高为h,则

+d2=r2(h=r-d或h=r+d).已知其中任意两个量即可求出其余两个量.

2.(2017新疆,9,5分)如图,☉O的半径OD垂直于弦AB,垂足为点C.连接AO并延长交☉O于点E,连

接BE,CE,若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为

()

A.12

B.15

C.16

D.18答案

A∵☉O的半径OD垂直于弦AB,AB=8,∴AC=BC=

AB=4.设OA=r,则OC=OD-CD=r-2,在Rt△AOC中,由勾股定理得42+(r-2)2=r2,解得r=5,∴AE=10,在Rt△ABE中,BE=

=

=6,∴S△BCE=

BC·BE=

×4×6=12.故选A.方法指导

运用垂径定理求相关线段长度的关键是构造直角三角形,进而利用勾股定理求解.

其最常用的方法是“连接圆心和圆中弦的端点”.若弦长为l,圆心到弦的距离为d,半径为r,则

根据勾股定理有

l=

.3、(2016陕西,9,3分)如图,☉O的半径为4,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB、OC.若∠BAC与

∠BOC互补,则弦BC的长为

()

A.3

B.4

C.5

D.6

答案

B∵∠BOC+∠CAB=180°,∠BOC=2∠CAB,∴∠BOC=120°,作OD⊥BC交BC于点D,∴BC=2BD.∵OB=OC,∴∠OBD=∠OCD=

=30°,∴BD=OBcos30°=2

,∴BC=2BD=4

,故选B.4、(2015上海,6,4分)如图,已知在☉O中,AB是弦,半径OC⊥AB,垂足为点D,要使四边形OACB为

菱形,还需添加一个条件,这个条件能够是

()

A.AD=BD

B.OD=CDC.∠CAD=∠CBD

D.∠OCA=∠OCB答案

B依照垂径定理知OD垂直平分AB,因此添加OD=CD,即可判定四边形OACB是菱形,

故选B、5、(2016四川南充,15,3分)下图是由两个长方形组成的工件平面图(单位:mm),直线l是它的对称

轴,能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是

mm.

答案50解析设符合条件的圆为☉O,由题意知,圆心O在对称轴l上,且点A、B都在☉O上.设OC=x

mm,则OD=(70-x)mm,由OA=OB,得OC2+AC2=OD2+BD2,即x2+302=(70-x)2+402,解得x=40,∴OA=

=

=50mm,即能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm.

6.(2014陕西,16,3分)如图,☉O的半径是2.直线l与☉O相交于A、B两点,M、N是☉O上的两个动

点,且在直线l的异侧.若∠AMB=45°,则四边形MANB的面积的最大值是

.

答案4

解析连接OA,OB.四边形MANB面积的最大值取决于三角形ABM和三角形ABN的面积的最大

值.当点M,N分别位于优弧AB和劣弧AB的中点时,四边形MANB的面积取最大值.连接MN,此时

MN为☉O的直径,故MN=4,∵∠AMB=45°,∴∠AOB=90°,∴AB=

OA=2

.故四边形MANB面积的最大值=

AB·MN=

×2

×4=4

.7、(2018安徽,20,10分)如图,☉O为锐角△ABC的外接圆,半径为5.(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧

的交点E(保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.

解析

(1)尺规作图如图所示.

(4分)(2)连接OE交BC于M,连接OC.因为∠BAE=∠CAE,所以

= ,易得OE⊥BC,所以EM=3.Rt△OMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以MC2=OC2-OM2=25-4=21.Rt△EMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30,所以弦CE的长为

.

(10分)思路分析

对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由∠BAE=∠CAE可得

=

,可推出OE⊥BC,最后利用勾股定理求出CE.8、(2015河南,17,9分)如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A,B重合的一个动点,延长BP

到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连接PD,PO.(1)求证:△CDP≌△POB;(2)填空:①若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为

;②连接OD,当∠PBA的度数为

时,四边形BPDO是菱形.

解析(1)证明:∵D是AC的中点,且PC=PB,∴DP∥AB,DP=

AB、∴∠CPD=∠PBO.

(3分)∵OB=

AB,∴DP=OB.∴△CDP≌△POB.

(5分)(2)①4.

(7分)(AC⊥AB时,四边形AOPD面积最大)②60°.(注:若填60,不扣分)

(9分)(∵OP=OB,四边形BPDO为菱形,∴OP=OB=PB,△OBP为等边三角形)考点二

圆周角与圆内接四边形1.(2018陕西,9,3分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,∠BCA=65°,作CD∥AB,并与☉O

相交于点D,连接BD,则∠DBC的大小为

()

A.15°

B.25°

C.35°

D.45°答案

A∵AB=AC,∠BCA=65°,∴∠BCA=∠ABC=65°,∴∠BAC=50°,∵CD∥AB,∴∠BAC=

∠ACD=50°,依照圆周角定理的推论得∠ABD=∠ACD=50°,因此∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-5

0°=15°,故选A、2、(2017福建,8,4分)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定

与∠ACD互余的角是

()

A.∠ADC

B.∠ABD

C.∠BAC

D.∠BAD答案

D∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠BAD+∠B=90°,易知∠ACD=∠B,∴∠BAD+

∠ACD=90°,故选D、3.(2017广东,9,3分)如图,四边形ABCD内接于☉O,DA=DC,∠CBE=50°,则∠DAC的大小为

(

)

A.130°

B.100°

C.65°

D.50°答案

C∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠D=∠CBE=50°,∵DA=DC,∴∠DAC=

×(180°-50°)=65°,故选C.思路分析

由圆内接四边形的性质知,∠D=∠CBE,再由三角形的内角和为180°及等腰三角形

的性质,求得∠DAC的大小、解题关键

利用圆内接四边形的性质求得∠D的大小是解题的关键、4、(2016广西南宁,9,3分)如图,点A,B,C,P在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,∠DCE=40

°,则∠P的度数为

()

A.140°

B.70°

C.60°

D.40°答案

B∵∠DCE=40°,CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠DOE=180°-40°=140°.∴∠P=

∠AOB=70°.故选B.5、(2015山东威海,9,3分)如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数

为

()

A.68°

B.88°

C.90°

D.112°答案

B∵AB=AC=AD,∴∠ABC=∠ACB,点B、C、D在以A为圆心的圆上,∴∠BDC=

∠BAC,∠CAD=2∠CBD,∵∠BAC=44°,∴∠BDC=22°,∵∠CBD=2∠BDC,∴∠CBD=44°,∴∠CAD=2∠CBD=88°.故选B.6、(2018北京,12,2分)如图,点A,B,C,D在☉O上,

=

,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=

°.

答案70解析∵

=

,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.7、(2017江苏南京,15,2分)如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A、C、D,与BC相交于点E,连接

AC、AE.若∠D=78°,则∠EAC=

°.

答案27解析∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,CA平分∠DCB.∵∠D=78°,∴∠DCB=180°-∠D=102°,∴∠ACE=

∠DCB=51°.∵A、E、C、D四点共圆,∴∠D+∠AEC=180°,∴∠AEC=102°.在△AEC中,∠EAC=180°-∠AEC-∠ACE=180°-102°-51°=27°.解后反思

本题综合考查菱形的性质、圆的内接四边形对角互补的性质,掌握这两个性质是

解决问题的关键、8、(2016新疆乌鲁木齐,13,4分)设I为△ABC的外心,若∠BIC=100°,则∠A的度数为

.答案50°或130°解析当I在△ABC的内部时,如图1,∠A=

∠BIC=50°;当I在△ABC的外部时,如图2,∠A+

∠BIC=180°,∴∠A=130°.图1图29、(2015内蒙古包头,18,3分)如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,若☉O的半径是4,sin

B=

,则线段AC的长为

.

答案2解析连接CD,在☉O中,因为AD为直径,所以∠ACD=90°,因为∠B=∠D,所以AC=AD·sinD=8

×

=2.10、(2016河南,18,9分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作☉O分别

交AC,BM于点D,E.(1)求证:MD=ME;(2)填空:①若AB=6,当AD=2DM时,DE=

;②连接OD,OE,当∠A的度数为

时,四边形ODME是菱形.

解析

(1)证明:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,∴MA=MB、∴∠A=∠MBA.

(2分)∵四边形ABED是圆内接四边形,∴∠ADE+∠ABE=180°.又∵∠ADE+∠MDE=180°,∴∠MDE=∠MBA.同理可证:∠MED=∠A.

(4分)∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME.

(5分)(2)①2.

(7分)②60°(或60).

(9分)C组教师专用题组考点一

圆的有关概念、垂径定理1.(2018湖北武汉,10,3分)如图,在☉O中,点C在优弧

上,将弧

折叠后刚好经过AB的中点D.若☉O的半径为

,AB=4,则BC的长是

()

A.2

B.3

C.

D.

答案

B连接AO,并延长交☉O于点D',则∠ABD'=90°.连接BD',CD',DD',DD'交BC于点E,连接

OD,OB,OC,∵D为AB的中点,∴OD⊥AB,∵AB=4,∴BD=

AB=2,∵OB=

,∴OD=

=1,∴BD'=2OD=2,即BD=BD',显然点D与点D'关于直线BC对称.∵∠ABD'=90°,∴∠ABC=∠

CBD'=45°,根据圆周角定理得∠AOC=90°,∴∠D'OC=90°,∴CD'=

OC=

,∵∠CBD'=45°,BD'=2,∴BE=ED'=

,根据勾股定理得CE=

=2

,所以BC=BE+CE=3

,故选B.

方法指导

在求解涉及圆的性质的问题时,通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段

或角或垂直关系,求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形,利用勾股定理等知识进行

求解、2、(2017广东广州,9,3分)如图,在☉O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为E,连接CO,AD,∠

BAD=20°,则下列说法中正确的是

()

A.AD=2OB

B.CE=EOC.∠OCE=40°

D.∠BOC=2∠BAD答案

D∵AB为☉O的直径,∴AB=2OB,又∵AB>AD,∴AD=2OB不正确,即A不正确;连接OD,则∠BOD=2∠BAD=40°,∵OC=OD,OB⊥CD,∴∠BOC=∠BOD=40°,∴∠OCE=50°,∴EO>CE,∴B不正确,C不正确;∵∠BOC=40°,∠BAD=20°,∴∠BOC=2∠BAD,∴D正确,故选D、3、(2017浙江金华,7,3分)如图,在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片,则

弓形弦AB的长为

()

A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm答案

C如图,过O作OD⊥AB于C,交☉O于D,

∵CD=8cm,OD=13cm,∴OC=5cm,又∵OB=13cm,∴Rt△BCO中,BC=

=12cm,∴AB=2BC=24cm.故选C.4、(2016浙江杭州,8,3分)如图,已知AC是☉O的直径,点B在圆周上(不与A,C重合),点D在AC的延

长线上,连接BD交☉O于点E.若∠AOB=3∠ADB,则

()

A.DE=EB

B.

DE=EBC.

DE=DO

D.DE=OB答案

D连接OE,∠AOB=∠ADB+∠B=3∠ADB,∴∠B=2∠ADB,∵OE=OB,∴∠OEB=∠B=2∠ADB=∠ADB+∠EOC,∴∠ADB=∠EOC,∴DE=EO,∴DE=OB、故选D.5、(2014湖北孝感,10,3分)如图,在半径为6cm的☉O中,点A是劣弧BC的中点,点D是优弧BC上的

一点,且∠D=30°,有下列四个结论:①OA⊥BC;②BC=6

cm;③sin∠AOB=

;④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是

(

)

A.①③

B.①②③④

C.②③④

D.①③④答案

B∵A是劣弧BC的中点,OA为半径,∴OA⊥BC.设AO与BC交于点E,∵∠AOC=2∠D=6

0°,AO=CO,∴△AOC为等边三角形,∴CE=CO·sin∠COE=3

cm,同理得∠AOB=60°,BE=3

cm,∴BC=BE+CE=6

cm,sin∠AOB=sin60°=

.∵AC=CO=BO=AB,∴四边形ABOC为菱形.故①②③④均正确,选B.6、(2016内蒙古呼和浩特,14,3分)在周长为26π的☉O中,CD是☉O的一条弦,AB是☉O的切线,且

AB∥CD,若AB和CD之间的距离为18,则弦CD的长为

.答案24解析因为☉O的周长为26π,所以其半径r=13<18,因为平行线AB、CD间的距离为18,则弦心

距为18-13=5,所以CD=2

=24.7.(2015宁夏,13,3分)如图,在☉O中,CD是直径,弦AB⊥CD,垂足为E,连接BC.若AB=2

,∠BCD=30°,则☉O的半径为

.

答案

解析连接OB,∵∠BCD=30°,∴∠BOD=60°.∵CD是直径,CD⊥AB,∴BE=

AB=

,∴OB=

=

=

.8、(2014江苏扬州,15,3分)如图,以△ABC的边BC为直径的☉O分别交AB、AC于点D、E,连接

OD、OE,若∠A=65°,则∠DOE=

°.

答案50解析因为∠A=65°,因此∠B+∠C=115°,因为BO=OD,CO=EO,所以∠BDO=∠B,∠OEC=∠C,

所以∠BDO+∠OEC=∠B+∠C=115°,所以∠ADO+∠AEO=(180°-∠BDO)+(180°-∠OEC)=360°

-(∠BDO+∠OEC)=245°、在四边形ADOE中,∠DOE=360°-∠A-(∠ADO+∠AEO)=50°.9、(2015安徽,20,10分)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP

⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ长;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.

解析

(1)∵OP⊥PQ,PQ∥AB,∴OP⊥AB、在Rt△OPB中,OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=

.

(3分)如图,连接OQ,在Rt△OPQ中,

PQ=

=

=

.

(5分)(2)∵PQ2=OQ2-OP2=9-OP2,∴当OP最小时,PQ最大.此时,OP⊥BC.

(7分)OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=

.∴PQ长的最大值为

=

.

(10分)10、(2014黑龙江哈尔滨,25,8分)如图,☉O是△ABC的外接圆,弦BD交AC于点E,连接CD,且AE=

DE,BC=CE.(1)求∠ACB的度数;(2)过点O作OF⊥AC于点F,延长FO交BE于点G,DE=3,EG=2,求AB的长.

解析(1)在☉O中,∠A=∠D,

(1分)∵∠AEB=∠DEC,AE=DE,∴△AEB≌△DEC、

(2分)∴EB=EC.

(3分)又∵BC=CE,∴BE=CE=BC,∴△EBC为等边三角形,∴∠ACB=60°.

(4分)(2)∵OF⊥AC,∴AF=CF.

(5分)∵△EBC为等边三角形,∴∠GEF=60°,∴∠EGF=30°,∵EG=2,∴EF=1.

(6分)又∵AE=ED=3,∴CF=AF=4,∴AC=8,CE=5,∴BC=5.

(7分)作BM⊥AC于点M,∵∠BCM=60°,∴∠MBC=30°,∴CM=

,BM=

=

,∴AM=AC-CM=

,∴AB=

=7.

(8分)评析

本题主要考查了垂径定理、三角形全等的判定、锐角三角函数、勾股定理、等边三

角形的性质等知识、属中等偏难题.考点二

圆周角与圆内接四边形1、(2017山东青岛,6,3分)如图,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度

数为

()

A.100°

B.110°

C.115°

D.120°答案

B连接AC、∵∠AED=20°,∴∠ACD=∠AED=20°.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=20°+90°=110°.故选B.思路分析

连接AC,先依照同弧所对的圆周角相等,求得∠ACD的度数,再根据直径所对的圆

周角是直角求得∠ACB的度数、2、(2017云南,14,4分)如图,B、C是☉A上的两点,AB的垂直平分线与☉A交于E、F两点,与线段

AC交于D点.若∠BFC=20°,则∠DBC=

()

A.30°

B.29°

C.28°

D.20°答案

A∵∠BFC=20°,∴∠BAC=2∠BFC=40°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=

=70°.∵EF是线段AB的垂直平分线,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=40°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.故选A.3、(2017山东潍坊,10,3分)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO

⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为

()A.50°

B.60°

C.80°

D.85°答案

C由圆内接四边形的性质,得∠ADC+∠ABC=180°,又∠ABC+∠GBC=180°,∴∠ADC

=∠GBC=50°,又∵AO⊥CD,∴∠DAE=40°.延长AE交☉O于点F.由垂径定理,得

=

,∴∠DBC=2∠DAF=80°.

4、(2016山东烟台,10,3分)如图,Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,B点与0刻度线的

一端重合,∠ABC=40°,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D.若射线CD将△ABC分割出

以BC为边的等腰三角形,则点D在量角器上对应的度数是

()

A.40°

B.70°

C.70°或80°

D.80°或140°答案

D若∠DCB=∠ABC=40°,则点D在量角器上对应的度数(即圆心角)为2×40°=80°;设AB

与CD交于点E,若∠BCE=∠BEC=70°,则点D在量角器上对应的度数(即圆心角)为2×70°=140°、

故选D.5、(2015甘肃兰州,9,4分)如图,经过原点O的☉P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上

一点,则∠ACB=

()

A.80°

B.90°

C.100°

D.无法确定答案

B依照同弧所对的圆周角相等,得到∠ACB=∠AOB=90°,故选B、6、(2018吉林,13,3分)如图,A,B,C,D是☉O上的四个点,

=

.若∠AOB=58°,则∠BDC=

度.

答案29解析连接OC(图略),∵

=

,∴∠AOB=∠BOC=58°,又点D在圆上,∴∠BDC=

∠BOC=29°.思路分析

连接OC,由

与

相等可得圆心角∠AOB=∠BOC,再根据同弧所对的的圆周角是圆心角的一半即可求得∠BDC的度数.7、(2018湖北黄冈,11,3分)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠

CAB,若AD=6,则AC=

.

答案2

解析连接BD,因为AB为☉O的直径,所以∠ADB=90°,因为∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以

∠BAD=30°,因为

=cos30°,所以AB=

=

=4

.在Rt△ABC中,AC=AB×cos60°=4

×

=2

.8.(2016山东青岛,11,3分)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,若∠BCD=28°,则∠ABD=

°.

答案62解析∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°、∵∠BCD=28°,∴∠ACD=90°-28°=62°,∴∠ABD=∠ACD=62°.9、(2016广东,16,4分)如图,点P是四边形ABCD外接圆☉O上任意一点,且不与四边形顶点重合.

若AD是☉O的直径,AB=BC=CD,连接PA,PB,PC.若PA=a,则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=

.

答案

a解析如图,连接OB、OC,∵AB=BC=CD,∴

=

=

.又∵AD是☉O的直径,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°,∴∠CPB=∠APB=30°,∴AE=

PA=

a,∠APC=60°,Rt△APF中,AF=APsin60°=

a,∴AE+AF=

a.评析本题主要考查圆的有关性质与锐角三角函数、10、(2016宁夏,23,8分)已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)若AB=4,BC=2

,求CD的长.

解析

(1)证明:∵ED=EC,∴∠CDE=∠C,又∵四边形ABED是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC、

(4分)(2)连接AE,则AE⊥BC,∴BE=EC=

BC,在△ABC与△EDC中,∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△ABC∽△EDC,

(6分)∴

=

,得DC=

=

,由AB=4,BC=2

,得DC=

=

.

(8分)评析本题考查圆内接四边形的性质,三角形相似的判定与性质、属中档题.11、(2018内蒙古包头,24,10分)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以点A为圆心,AC长为半径的圆

交AB于点D,BA的延长线交☉A于点E,连接CE,CD,F是☉A上一点,点F与点C位于BE两侧,且∠

FAB=∠ABC,连接BF.(1)求证:∠BCD=∠BEC;(2)若BC=2,BD=1,求CE的长及sin∠ABF的值.

解析(1)证明:∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°、∵DE是☉A的直径,∴∠DCE=90°,∴∠BEC+∠CDE=90°.∵AD=AC,∴∠CDE=∠ACD,∴∠BCD=∠BEC.

(3分)(2)∵∠BCD=∠BEC,∠EBC=∠CBD,∴△BDC∽△BCE,∴

=

=

.∵BC=2,BD=1,∴BE=4,EC=2CD,∴DE=BE-BD=3.在Rt△DCE中,DE2=CD2+CE2=5CD2=9,∴CD=

,∴CE=

.

(6分)过点F作FM⊥AB于点M,∵∠FAB=∠ABC,∠FMA=∠ACB=90°,∴△AFM∽△BAC,∴

=

.∵DE=3,∴AD=AF=AC=

,∴AB=

,∴FM=

、过点F作FN⊥BC于点N,∴∠FNC=90°.∵∠FAB=∠ABC,∴FA∥BC,∴∠FAC=∠ACB=90°,∴四边形FNCA是矩形.∴FN=AC=

,NC=AF=

,∴BN=

.在Rt△FBN中,BF=

.∴在Rt△FBM中,sin∠ABF=

=

.

(10分)

思路分析

(1)由∠ACB=90°得∠BCD+∠ACD=90°,由DE是☉A的直径知∠DCE=90°,所以∠

BEC+∠CDE=90°,由AD=AC得∠CDE=∠ACD,根据等角的余角相等可得结论;(2)证得△BDC

∽△BCE,求出Rt△DCE的各边边长,作FM⊥AB,构造直角三角形,由相似求得FM,作FN⊥BC于

点N,得矩形FNCA和Rt△FNB,求得FB的长,在Rt△FBM中,由

求得sin∠ABF的值.解后反思

本题考查了圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定和性质等知识、由△BDC∽△

BCE不仅要求得BE的长,还需得到结论EC=2CD,这是求得CE的关键,作出辅助线构造直角三

角形和矩形是求相应线段长度的有效途径.12、(2015山东德州,21,10分)如图,☉O的半径为1,A、P、B、C是☉O上的四个点,∠APC=∠

CPB=60°.

(1)判断△ABC的形状:

;(2)试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系,并证明您的结论;(3)当点P位于

的什么位置时,四边形APBC的面积最大?求出最大面积.

解析(1)等边三角形、(2)PA+PB=PC.证明:如图,在PC上截取PD=PA,连接AD,

∵∠APC=60°,∴△PAD是等边三角形.∴PA=AD,∠PAD=60°,又∵∠BAC=60°,∴∠PAB=∠DAC,∵AB=AC,∴△PAB≌△DAC,∴PB=DC.∵PD+DC=PC,∴PA+PB=PC.(3)当点P为

的中点时,四边形APBC的面积最大.理由如下:如图,过点P作PE⊥AB,垂足为E,过点C作CF⊥AB,垂足为F,

∵S△PAB=

AB·PE,S△ABC=

AB·CF,∴S四边形APBC=

AB(PE+CF)、当点P为 的中点时,PE+CF=PC,PC为☉O的直径,此时四边形APBC的面积最大,又∵☉O的半径为1,∴其内接正三角形的边长AB=

,∴(S四边形APBC)max=

×2×

=

.13、(2015贵州遵义,26,12分)如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径作☉O,交BC于点D,交CA的延

长线于点E,连接AD、DE.(1)求证:D是BC的中点;(2)若DE=3,BD-AD=2,求☉O的半径;(3)在(2)的条件下,求弦AE的长.

解析(1)证明:∵AB为☉O的直径,∴AD⊥BC、

(2分)又∵AB=AC,∴D是BC的中点.

(4分)(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵∠B=∠E,∴∠C=∠E,∴DC=DE,∴BD=DE=3,

(5分)又BD-AD=2,∴AD=1.

(6分)在Rt△ABD中,BD=3,AD=1,∴AB=

=

=

,

(7分)则☉O的半径为

.

(8分)(3)解法一:在△CAB和△CDE中,∠B=∠E,∠C=∠C(公共角),∴△CAB∽△CDE,

(9分)∴

=

,

(10分)∵CA=AB=

,∴CE=

=

=

,

(11分)∴AE=CE-AC=

-

=

、

(12分)解法二:连接BE,∵AB是☉O的直径,∴∠BEC=90°.

(9分)在△ADC和△BEC中,∠ADC=∠BEC=90°,∠C=∠C,∴△ADC∽△BEC,

(10分)∴

=

,∴CE=

=

=

,

(11分)∴AE=CE-AC=

.

(12分)此题第(3)问的解法较多,请参照给分.评析

本题考查了圆的有关性质,等腰三角形的性质,勾股定理,相似三角形的性质与判定、属

中档题.14、(2014湖北武汉,22,8分)如图,AB是☉O的直径,C,P是

上两点,AB=13,AC=5.(1)如图①,若点P是

的中点,求PA的长;(2)如图②,若点P是

的中点,求PA的长.

图①图②解析(1)如图,连接PB、∵AB是☉O的直径,P是

的中点,∴PA=PB,∠APB=90°.∵AB=13,∴PA=

AB=

.(2)如图,连接PB,BC.连接OP交BC于D点.∵P是

的中点,∴OP⊥BC于D,BD=CD.∵OA=OB,∴OD=

AC=

.∵OP=

AB=

,∴PD=OP-OD=

-

=4.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵AB=13,AC=5,∴BC=

=12,∴BD=

BC=6.∴PB=

=2

.∵AB是☉O的直径,∴∠APB=90°,∴PA=

=3

.三年模拟A组

2016—2018年模拟·基础题组考点一

圆的有关概念、垂径定理1.(2018邯郸一模,12)如图,在半径为4的☉O中,弦AB∥OC,∠BOC=30°,则AB的长为

()

A.2

B.2

C.4

D.4

答案

D∵AB∥OC,∠BOC=30°,∴∠ABO=∠BOC=30°,过点O作OM⊥AB,垂足为M,∴BM=

AB,∵∠ABO=30°,OM⊥AB,∴BM=OB·cos30°=4×

=2

.∴AB=2BM=4

,故选D.2、(2018唐山开平一模,10)如图是一个遂道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,

EM经过圆心O且恰好过弦CD中点M,连接OD,若CD=4米,∠MOD=30°,则EM=

()

A.6米

B.5米

C.4

米

D.(4+2

)米答案

D∵M是CD的中点,∴OM⊥CD,∵∠MOD=30°,∴OD=2DM,∵CD=4米,∴DM=2米,OD=4米,∵OM=

=

=2

米,∴EM=(4+2

)米,故选D.3、(2017唐山丰润一模,12)如图,☉O的直径AB垂直弦CD于点E,∠A=22.5°,OC=4,则CD的长为

()

A.4

B.8

C.2

D.4

答案

D由圆周角定理可得∠COB=2∠A=45°,∵CD⊥AB,∴△COE为等腰直角三角形,∴CE=OC·sin45°=4×

=2

,由垂径定理得CD=2CE=4

,故选D.4、(2017承德六校联考改编,11)如图,在平面直角坐标系中,☉O'经过原点O,同时分别与x轴、y

轴交于点B、C,分别作O'E⊥OC于点E,O'D⊥OB于点D,若OB=8,OC=6,则☉O'的半径为

.

答案5解析∵O'E⊥OC,O'D⊥OB,∠DOE=90°,∴四边形ODO'E为矩形,∴O'E=OD,O'D=OE,∵O'D⊥OB,OB=8,∴OD=

OB=4,同理O'D=OE=

OC=3,∴OO'=

=

=5.5.(2016承德期末质检,19)如图,AB是☉O的直径,BC是弦,点E是

的中点,OE交BC于点D.连接AC,若BC=6,DE=1,则AC的长为

.

答案8解析连接OC,∵点E是 的中点,∴∠BOE=∠COE.∵OB=OC,∴OD⊥BC,BD=DC.∵BC=6,∴BD=3.设☉O的半径为r,则OB=OE=r.∵DE=1,∴OD=r-1.∵OD⊥BC,∴∠BDO=90°,∴OB2=BD2+OD2.∴r2=32+(r-1)2.解得r=5,∴OD=4.∵AO=BO,BD=CD,∴OD=

AC,∴AC=8.考点二

圆周角与圆内接四边形1.(2018邢台一模,7)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=50°,则∠ADC=

()

A.25°

B.30°

C.40°

D.50°答案

A∵OA⊥BC,∴

=

,∴∠ADC=

∠AOB,∵∠AOB=50°,∴∠ADC=25°,故选A.2、(2018石家庄十八县摸底,9)如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,连接CD,若☉O的

半径r=5,AC=5

,则∠B的度数是

()

A.30°

B.45°

C.50°

D.60°答案

D∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°,∴sin∠ADC=

=

=

,∴∠ADC=60°,∴∠B=∠ADC=60°,故选D.3、(2017石家庄裕华一模,6)如图,在☉O中,弦AB∥CD,若∠ABC=40°,则∠BOD=

()

A.20°

B.40°

C.50°

D.80°答案

D∵AB∥CD,∠ABC=40°,∴∠BCD=∠ABC=40°,∴∠BOD=2∠BCD=2×40°=80°、故选D.4.(2016保定一模,6)如图,将☉O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧AMB上一点,则∠

APB的度数为

()

A.45°

B.30°

C.75°

D.60°答案

D过点O作OC⊥AB于C,连接OA、OB.由折叠可知OC=

OA,∴∠OAB=30°,∵OA=OB,∴∠ABO=30°,∠AOB=120°.由圆周角定理可得∠APB=

∠AOB=60°,故选D.5、(2016石家庄藁城一模,11)如图,AB是☉O的直径,点C、D是☉O上的两点,若BC∥DO,∠D=35

°,则∠A的度数是()

A.20°

B.15°

C.10°

D.25°答案

A∵BC∥DO,∴∠D=∠BCD,∵∠D=35°,∴∠BCD=35°,∵∠BCD=

∠BOD,∴∠BOD=70°,∵BC∥DO,∴∠B=∠BOD=70°,∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠A=90°-70°=20°.故选A.6、(2017沧州东光改编,9)如图,OA,OB分别为☉O的半径,若CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,

∠P=70°,则∠DCE的度数为

.

答案40°解析∵∠P=70°,∴∠AOB=2∠P=140°,∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90°,∴∠DCE=360°-90°-90°-140°=40°、7、(2018秦皇岛卢龙期末,24)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的一条弦,且CD⊥AB于点E.(1)求证:∠BCO=∠D;(2)若CD=4

,AE=2,求☉O的半径.

解析(1)证明:∵OC=OB,∴∠BCO=∠B.∵∠B=∠D,∴∠BCO=∠D.(2)∵AB是☉O的直径,且CD⊥AB于点E,∴CE=

CD=

×4

=2

.在Rt△OCE中,OC2=CE2+OE2,设☉O的半径为r,则OC=r,OE=OA-AE=r-2,∴r2=(2

)2+(r-2)2.解得r=3.∴☉O的半径为3.8、(2016唐山丰润期末质检,25)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,BC的延长线与AD的延

长线交于点E,且DC=DE.(1)求证:∠A=∠AEB;(2)连接OE,交CD于点F,OE⊥CD.求证:△ABE是等边三角形.

证明

(1)∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠A+∠BCD=180°、∵∠DCE+∠BCD=180°,∴∠A=∠DCE.∵DC=DE,∴∠DCE=∠AEB.∴∠A=∠AEB.(2)∵OE⊥CD,∴CF=DF.∴OE所在直线是CD的垂直平分线,∴ED=EC.又DC=DE,∴DC=DE=EC.∴△DCE是等边三角形.∴∠AEB=60°.∵∠A=∠AEB,∴△ABE是等边三角形.B组2016—2018年模拟·提升题组(时间:50分钟分值:60分)一、选择题(每小题2分,共14分)1.(2018石家庄十八县一模,9)Rt△BCE和Rt△BAE按如图所示位置放置,其中BE为公共边,∠

BAE=∠BCE=90°,作AD⊥BE且AD=BE,连接AC,CD,DE,若O为BE的中点,则下列叙述错误的是

()A.点O是△ABE的外心

B.点O是△ABC的外心C.点O是△DEC的外心

D.点O是△ACE的外心答案

C∵∠BAE=90°,O为BE的中点,∴OA=OE=OB,∴点O是△ABE的外心、∵∠BCE=90°,O为BC的中点,∴OE=OB=OC,∴OA=OB=OC=OE,∴点O是△ABC的外心,也是△ACE的外心,故选C.2、(2018张家口桥东一模,12)如图,半径为5的☉A中,弦BC,ED所对的圆心角分别是∠BAC,∠

EAD,若ED=6,∠BAC+∠EAD=180°,则弦BC的长等于

()

A.8

B.10

C.11

D.12答案

A过点A作AG⊥BC,垂足为G,过点A作AH⊥DE,垂足为H,∵AC=AB,∴CG=BG,∠BAG=∠CAG=

∠BAC,同理DH=EH=

DE,∠EAH=∠DAH=

∠DAE、∵∠BAC+∠EAD=180°,∴

∠BAC+

∠EAD=90°,∴∠DAH+∠CAG=90°,∵∠CAG+∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DAH.∴△ACG≌△DAH,∴DH=AG,∵DE=6,∴DH=

DE=3,∴AG=3,在Rt△ACG中,CG=

=

=4,∴BC=2CG=8,故选A.3、(2018唐山丰南一模,7)已知∠AOB,作图.步骤1:在OB上任取一点M,以点M为圆心,MO长为半

径画半圆,分别交OA,OB于点P,Q;步骤2:过点M作PQ的垂线交

于点C;步骤3:画射线OC.则下列判断:①

=

;②MC∥OA;③OP=PQ;④OC平分∠AOB,其中正确的个数为

()

A.1

B.2

C.3

D.4答案

C∵MC⊥PQ,∴

=

,①正确;∵OQ为☉M的直径,∴OP⊥PQ,∵MC⊥PQ,∴MC∥OA,②正确;∵∠AOB没有强调是45°,∴OP不一定与PQ相等,③错误;∵MC∥OA,∴∠AOC=∠OCM,∵OM=CM,∴∠OCM=∠,∴∠AOC=∠COM,即OC平分∠AOB,④正确,故选C、解题关键

熟练掌握垂径定理是解题的关键、4、(2017唐山路北一模,14)如图,坐标平面上有A(0,a),B(-9,0),C(10,0)三点,其中a>0.若∠BAC=10

0°,则△ABC的外心在

()

A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限答案

D△ABC的外心是三边AB、AC、BC中垂线的交点,∵B(-9,0),C(10,0),∴△ABC的外心在y轴右侧,∵∠BAC=100°,∴△ABC的外心在x轴下方,∴△ABC的外心在第四象限,故选D、5、(2017沧州东光一模,16)如图,已知点O为△ABD的外心,点C为直径BD下方弧上一点,且不与

点B,D重合,∠ACB=∠ABD=45°,则下列对AC,BC,CD之间的数量关系判断正确的是

()

A.AC=BC+CD

B.

AC=BC+CDC.

AC=BC+CD

D.2AC=BC+CD答案

B过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥CD交CD延长线于点F、

∵∠ABD=∠ACD,∠ACB=∠ABD=45°,∴∠ACB=∠ACD=45°,∴AE=AF,易证△ACE≌△ACF,∴CE=CF,AE=AF,∵∠ACB=∠ACD,∴ = ,∴AB=AD,∵AE=AF,∴Rt△ABE≌Rt△ADF,∴BE=DF,∵AE⊥BC,AF⊥CD,∠BCD=90°,∴四边形AECF为矩形,∵AE=AF,∴四边形AECF为正方形,∴AC=

CE=

CF,∴

AC=2CE=CE+CF=BC-BE+CD+DF=BC+CD,故选B.6、(2016石家庄十八县一模,13)定义:连接一个几何图形上任意两点间的线段中,最长的线段称

为这个几何图形的直径.依照此定义,下列选项(扇形、菱形、直角梯形、红十字图标)中“直

径”最小的是

()

答案

C扇形的“直径”是120°圆心角所对的弦,易得其长为2

;菱形的“直径”是较长的对角线,长度也为2

;直角梯形的“直径”是较长的对角线,长度为

=2

;红十字图标的“直径”长为

=

.∵2

>

>2

,故选C.7、(2016石家庄赵县摸底,5)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,M为EF的中点,连接DM,若☉O

的半径为2,则MD的长度为

()

A.

B.

C.2

D.1答案

A连接OM,OE,OD.∵M为EF的中点,∴OM⊥EF,∵∠MOE=30°,OE=2,∴OM=OE·cos30°=

.∵∠MOE=30°,∠DOE=60°,∴∠MOD=90°,∴DM=

=

=

,故选A.二、填空题(每小题2分,共8分)8.(2018秦皇岛海港期末,13)如图,点P是圆上一动点,弦AB=

,PC是∠APB的平分线,∠BAC=30°,当四边形PACB有最大面积时,∠PAC=

,最大面积是

.

答案90°;

解析连接OC,交AB于点D,延长CO交☉O于点P,如图,此时四边形PACB有最大面积,且∠PAC=90°、

∵PC平分∠APB,∴ = ,∴OC⊥AB,∴AD=BD=

AB=

,连接OB,∵∠BAC=30°,∴∠BOC=60°,∵sin60°=

,∴OB=

=1,∴PC=2,∴四边形PACB的最大面积=

AB·PC=

×

×2=

.解题关键

确定四边形PACB的面积最大时,点P的位置是解题的关键、9、(2017保定涿州一模,20)如图,☉O的半径是5,△ABC是☉O的内接三角形,过圆心O分别作

AB、BC、AC的垂线,垂足分别为E、F、G,连接EF,若OG=3,则EF=

.

答案4解析连接OA.∵OA=5,OG=3,OG⊥AC,∴AG=

=4,∴AC=2AG=8,∵OE⊥AB,OF⊥BC,∴E、F分别为AB、BC的中点,∴EF=

AC=4.10、(2017邯郸丛台模拟改编,15)如图,AC⊥AB,AB=2

,AC=2,点D是以AB为直径的☉O上一点,DE⊥CD交直线AB于点E.若∠DAB=30°,则线段BE的长为

.

答案

解析∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠DAB=30°,∴∠B=60°,∴BD=

AB=

,AD=AB·cos30°=3,∵AC⊥AB,∴∠CAD+∠BAD=90°,∴∠CAD=∠B=60°,∵CD⊥DE,∠ADB=90°,∴∠ADC=∠BDE,∴△ADC∽△BDE,∴

=

,即

=

,∴BE=

.11、(2016张家口宣化期末质检,16)如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接对角线AC,AD,则下列

结论:①BC∥AD;②∠BAE=3∠CAD;③△BAC≌△EAD;④AC=2CD.其中判断正确的是

.(填序号)

答案①②③解析①易知∠BCD=∠E=108°,又AE=ED,∴∠ADE=

×(180°-108°)=36°,∴∠ADC=108°-36°=72°,∴∠BCD+∠ADC=108°+72°=180°,∴BC∥AD,故①正确;②易知∠CBA=∠BAE=∠AED=108°,BC=BA=AE=ED,∴∠BAC=∠EAD=

(180°-108°)=36°,∴∠CAD=108°-36°×2=36°,∴∠BAE=3∠CAD,故②正确;③在△BAC和△EAD中,

∴△BAC≌△EAD(SSS),故③正确;④∵AB+BC>AC,∴2CD>AC,故④错误、三、解答题(共38分)12.(2018石家庄长安质检,25)已知在扇形AOB中,圆心角∠AOB=120°,半径OA=OB=8.(1)如图1,过点O作OE⊥OB,交弧AB于点E,再过点E作EF⊥OA于点F,则FO的长是

,∠

FEO=

°;(2)如图2,设点P为弧AB上的动点,过点P作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N,点M,N分别在半径

OA,OB上,连接MN.①求点P运动的路径长是多少;②MN的长度是不是定值?如果是,请求出这个定值;若不是,请说明理由;(3)在(2)的条件下,若点D是△PMN的外心,直截了当写出点D运动的路径长、解析

(1)4

;60、(2)①点P在弧AB上运动,其路径也是一段弧,由题意可知,当点M与点O重合时,∠PMB=30°,当点N与点O重合时,∠PNA=30°,∴点P运动路径所对的圆心角是120°-30°-30°=60°,∴点P运动的路径长=

=

.②是定值.如图,连接PO,

取PO的中点H,连接MH,NH,∵在Rt△PMO和Rt△PNO中,点H是斜边PO的中点,∴MH=NH=PH=OH=

PO=4,∴依照圆的定义可知,点P,M,O,N四点均在同一个圆即☉H上,又∵∠MON=120°,∠PMO=∠PNO=90°,∴∠MPN=60°,∴∠MHN=2∠MPN=120°,过点H作HK⊥MN,垂足为点K,由垂径定理得,MK=KN=

MN,∴在Rt△HM