人教版高一数学暑假讲义1.1 集合的概念（讲义）-解析版

集合的概念定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合（简称集）集合与元素的表示集合通常用大写字母，，，表示，元素用小写字母，，，表示元素与集合的关系元素与集合的关系记法读法是集合的元素属于集合不是集合的元素不属于集合常用数集及其记法数集记法非负整数集（自然数集）正整数集或整数集有理数集实数集例1．下列各组对象不能构成集合的是（

）A．所有直角三角形 B．抛物线上的所有点C．某中学高一年级开设的所有课程 D．充分接近的所有实数【答案】D【分析】根据集合所具有的性质逐一判断即可得出结论.【详解】A，B，C中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D中的对象不具备确定性．故选：D．变式1-1．下列元素的全体不能组成集合的是（

）A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流C．方程的实数解 D．周长为的三角形【答案】B【分析】根据集合中的元素的三要素即可判断各个选项的正误.【详解】中国古代四大发明可以构成一个集合，故A正确；地球上的小河流不满足集合元素的确定性，即没有标准说多小的河流算小河流，故B错误；方程的实数解是，可以构成一个集合，故C正确；周长为的所有三角形可以构成一个集合，故D正确；故选：B.变式1-2．下列叙述能够组成集合的是（

）A．我校所有体质好的同学 B．我校所有800米达标的女生C．全国所有优秀的运动员 D．全国所有环境优美的城市【答案】B【分析】根据集合元素的确定性，逐一分析可得答案．【详解】A中，我校所有体质好的同学不具有确定性，不能组成集合；B中，我校所有800米达标的女生具有确定性，能组成集合；C中，全国所有优秀的运动员不具有确定性，不能组成集合；D中，全国所有环境优美的城市不具有确定性，不能组成集合，故选：B．变式1-3．下列各组对象不能构成集合的是（

）A．上课迟到的学生B．2022年高考数学难题C．所有有理数D．小于x的正整数【答案】B【分析】集合中元素具有确定性，对于每一个元素要么属于集合，要么不属于集合，构成集合的元素必要是确定的.【详解】对于B中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2022年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的.其它选项的对象都可以构成集合.故选：B例2．下列元素与集合的关系中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据常用数集的范围判断即可.【详解】N表示自然数集，-1不是自然数，故A错；表示正整数集，0不是正整数，故B正确；Q表示有理数集，不是有理数，故C错；R表示实数集，是实数，故D错.故选：B.变式2-1．（多选）下列关系中，正确的是（

）．A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据各数集的概念直接判断即可.【详解】，故A正确；不是有理数，所以，故B正确；N为自然数集，所以，故C错误；不是整数，所以，故D错误；故选：AB．变式2-2．用符号“”或“”填空：0______Z，π______Q．【答案】【详解】为有理数集合，故答案为：变式2-3．用符号“”或“”填空：______，_______．【答案】【分析】根据元素和集合的关系求解即可.【详解】因为集合代表自然数集（非负整数集），所以，，故答案为：，集合中元素的性质确定性给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了。互异性一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不能重复出现的。无序性组成集合的元素没有顺序之分，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。例3．已知,中含有的元素有，求的值.【答案】和【分析】根据，得到或，结合集合中元素的互异性，即可求解.【详解】由且，可得或，当时，可得；当时，可得，经检验和都符合题意.所以和.变式3-1．若集合A中含有三个元素，，，且，求实数a的值.【答案】或.【解析】由已知得或或，解之可求得实数a的值，代入集合中检验是否满足元素的互异性，可得答案.【详解】①若，则，此时，满足题意.②若，则，此时，不满足元素的互异性.③若，则.当时，，满足题意；当时，由②知不合题意.综上可知或.变式3-2．设，集合中含有三个元素3，，．(1)求实数应满足的条件；(2)若，求实数的值．【答案】(1)且且(2)【分析】(1)根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可；(2)分析的取值范围，进而可得.(1)根据集合中元素的互异性，可知，即且且；(2)因为，且，所以．变式3-3．已知集合有三个元素：，，，集合也有三个元素：，，.（1）若，求的值；（2）若，求实数的值；【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）根据元素的确定性和互异性可得或，即可求解；（2）根据元素的确定性列方程，再检验互异性即可求解.【详解】（1）由且，所以当时，可得，此时符合题意，当时，可得，此时符合题意，所以或，（2）若，则或或，解得：或或，由元素互异性可得：且，所以变式3-4．已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则．(1)若，求出A中其他所有元素．(2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数，再求出A中的元素．(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？【答案】(1)A中其他所有元素为，，2(2)0不是A中的元素，答案见解析(3)A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．【分析】（1）把代入，得出数值后再代入，直至出现重复数即可求解.（2）假设，计算并导出矛盾得0不是的元素，取，求出集合中元素即可.（3）由（2）可观察出中不能取的数，分析（1）（2）中的四个值的特点得出结论，进而由“若，则”推证即可.（1）由题意，可知，则，，，，所以A中其他所有元素为，，2．（2）假设，则，而当时，不存在，假设不成立，所以0不是A中的元素．取，则，，，，所以当时，A中的元素是3，，，．（3）猜想：A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．由（2）知0，，若，则，与矛盾，则有，即，0，1都不在集合A中．若实数，则，，，．结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素，，，且，．显然，否则，即，无实数解．同理，，即A中有4个元素．所以A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．集合的表示方法列举法我们可以把“地球上的四大洋"组成的集合表示为把“方程的所有实数根”组成的集合表示为.像这样把集合的元素一一列举出来.并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法具体方法是在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写上这个元素所具有的共同特征。数学表达式为：，其中为代表元素，为共同特征。例4．用列举法表示下列集合：（1）满足的x值组成的集合；（2）方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合；（3）不大于15的正奇数组成的集合；（4）不大于10的正偶数组成的集合．【答案】答案见解析【分析】根据列举法的定义逐一求解即可【详解】（1）因为满足的x值组成有1，2，3，4，5，6，7，所以满足的x值组成的集合为{1，2，3，4，5，6，7}．（2）因为方程x2＋x＋1＝0无解，所以方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合为．（3）因为不大于15的正奇数有，1，3，5，7，9，11，13，15，所以不大于15的正奇数组成的集合为{1，3，5，7，9，11，13，15}．（4）因为不大于10的正偶数有2，4，6，8，10，所以不大于10的正偶数组成的集合为{2，4，6，8，10}．变式4-1．用列举法表示下列集合(1)以内非负偶数的集合；(2)方程的所有实数根组成的集合；(3)一次函数与的图象的交点组成的集合．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根据偶数的定义即可列举所有的偶数，（2）求出方程的根，即可写出集合，（3）联立方程求交点，进而可求集合.（1）以内的非负偶数有，所以构成的集合为，（2）的根为，所以所有实数根组成的集合为，（3）联立和，解得，所以两个函数图象的交点为，构成的集合为变式4-2．用列举法表示下列集合：（1）不大于10的非负偶数组成的集合；（2）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；（4）由所有正整数构成的集合．【答案】（1）{0，2，4，6，8，10}；（2）{0，2}；（3）{(0，1)}；（4）{1，2，3，…}．【分析】根据题意求得集合的元素，然后用列举法表示集合.【详解】解（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．（2）方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}．（3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．（4）正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}．变式4-3．用描述法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数组成的集合；(2)不等式的解集；(3)方程的所有实数解组成的集合；(4)抛物线上所有点组成的集合；(5)集合.【答案】(1)(2)(3)(4)(5)且【分析】根据题设中的集合和集合的表示方法，逐项表示，即可求解.【详解】（1）解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：（2）解：不等式的解集，用描述法可表示为：.（3）解：方程的所有实数解组成的集合，用描述法可表示为：.（4）解：抛物线上所有点组成的集合，用描述法可表示为：.（5）解：集合，用描述法可表示为：且.例5．用描述法表示下列集合：（1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；（2）不等式2x－3<5的解组成的集合；（3）如图中阴影部分的点(含边界)的集合；（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合．【答案】（1）{(x，y)|y＝－2x2＋x}；（2）{x|x<4}；（3）；（4）{x|x＝12n，n∈N*}.【分析】根据描述法的表示形式，（1），（3）表示的是点集，都用表示元素，再根据条件写出满足的条件，从而可表示出集合，对于（2），（4）都用表示元素，再根据条件写出满足的条件，从而表示出这个集合【详解】（1）函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．（2）不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．（3）图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为.（4）3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．变式5-1．表示下列集合：(1)请用列举法表示方程的解集；(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；(4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【答案】(1)(2)(3)，(4)【分析】根据题意逐项代入分析即可求解.【详解】（1）方程的解集为.（2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为.（3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，.（4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为．变式5-2．选择适当的方法表示下列集合：(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；(2)所有正奇数组成的集合B；(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）求出不小于1且不大于17的所有质数，用列举法表示；（2）所有正奇数有无数个，用描述法表示；（3）求出绝对值不大于3的所有整数，用列举法表示；（4）抛物线上的点有无数个，用作为代表元，用描述法表示．(1)不小于1且不大于17的质数有，用列举法表示：；(2)所有正奇数有无数个，用描述法表示：；(3)绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：；(4)直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示：．变式5-3．用适当的方法表示下列集合．（1）方程组的解集；（2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；（3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；（4）所有三角形构成的集合．【答案】（1）{（4，﹣2）}；（2）{x|x＝3k+2，k∈N且x＜1000}；（3）{（x，y）|x＜0且y＞0}；（4）{三角形}．【分析】根据题意以及集合的表示法，选择恰当的方法表示各集合即可．【详解】（1）解方程组，得，故解集为{（4，﹣2）}；（2）集合的代表元素是数x，用描述法表示为{x|x＝3k+2，k∈且x＜1000}．（3）集合的代表元素是点（x，y），用描述法表示为{（x，y）|x＜0且y＞0}（4）集合用描述法表示为{x|x是三角形}，简写为{三角形}．【点睛】本题考查集合的表示方法，准确理解自然语言的表述以及方法的选取，是解题关键，属简单题.变式5-4．根据要求写出下列集合.（1）已知，用列举法表示集合.（2）已知集合，用列举法表示集合A．（3）已知方程组，分别用描述法、列举法表示该集合.（4）已知集合B={(x，y)|2x+y-5=0，x∈N，y∈N}，用列举法表示该集合.（5）用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点集.【答案】（1）{2}；（2）{2，4，8，16}；（3）{(x，y)|x=1，y=2}，{(1，2)}；（4）{(0，5)，(1，3)，(2，1)}；（5）{(x，y)|xy=0}.【分析】分别求出各集合的元素或元素特点，即可表示出.【详解】（1），，解得，的解为，用列举法表示集合为；（2），则可取的值有1，2，4，8，16，的可能值有7，6，4，0，，，，，；（3）方程组的解为，用描述法表示该集合为，列举法表示该集合为；（4）当时，；当时，；当时，，用列举法表示该集合为；（5）坐标轴上的点满足或，即，则该集合可表示为.【点睛】本题考查集合的表示方法，属于基础