数字信号处理上课原稿第一章习题课

第一章离散时间信号与系统习题课1.1

离散时间信号—序列常用典型序列及波形：单位脉冲序列，单位阶跃序列，单位矩形序列，斜变序列，正弦序列等。周期序列：序列的周期序列的基本运算：相加，相乘，时延，折叠，尺度变换。注意：时刻对齐习题1：判断下列4个信号中哪些是相同的信号A.B.C.D.2x(n)

=

d(n

-

m)m=-2x(n)

=

u(n

+

2)

-

u(n

-

3)x(n)

=

u(2

-

n)

-

u(-3

-

n)x(n)

=

g5

(n)A、B、C、D是同一信号习题2：判断下列信号是否是周期序列，若是周期序列，试写出其周期。A.B.C.D.cos(pn)

+

sin(30n)53j

4p

nj

2p

ne

-

ex(n)

=

cos(

2

pn

-

p

)3

481j

(

n-p

)x(n)

=

e1.2

离散时间系统的时域分析系统的概念：y(n)=T[x(n)]讨论1：什么是系统？请举例。一种映射：傅里叶变换一个硬件：cpu一台设备：大型声呐系统一个组织：大学研究系统的意义？？？¥系统的性质：线性、时不变性、因果性、稳定性线性时不变系统的一个重要特性:输入与输出序列之间是线性卷积关系y(n)

=

x(m)h(n

-

m)

=

x(n)

*h(n)m=-¥描述线性时不变系统的表达式有：

差分方程、单位抽样相应、系统函数讨论2：为什么要讨论系统的线性、稳定性、因果性及时不变性？如果系统不满足上述特性将会怎样？习题3.判断下列系统的线性和时不变性时不变性：线性：T[a

x1

(n)

+

b

x2

(n)]

=

a

y1

(n)

+

b

y2

(n)T

[x(n)]

=

y(n)T

[x(n

-

k

)]

=

y(n

-

k

)（1）y(n)

=

x(n

-

n0

)y1

(n)

=

T

[x1

(n)]

=

x1

(n

-

n0

)y2

(n)

=

T

[x2

(n)]

=

x2

(n

-

n0

)T

[ax1

(n)

+

bx2

(n)]

=

ax1

(n

-

n0

)

+

bx2

(n

-

n0

)=

aT

[x1(n)]

+

bT

[x2

(n)]

=

ay1(n)

+

by2

(n)是线性系统T

[x(n

-

n1

)]

=

x(n

-

n1

-

n0

)y(n

-

n1

)

=

x(n

-

n1

-

n0

)

=

T

[x(n

-

n1

)]是时不变系统（2）

y(n)

=

x(-n)y1

(n)

=

T

[x1(n)]

=

x1(-n)y2

(n)

=

T

[x2

(n)]

=

x2

(-n)T

[ax1

(n)

+

bx2

(n)]

=

ax1

(-n)

+

bx2

(-n)=

aT

[x1

(n)]

+

bT

[x2

(n)]

=

ay1

(n)

+

by2

(n)是线性系统设x1(n)

=

x(n

-

n0

)T

[x(n

-

n0

)]

=

T

[x1(n)]

=

x1(-n)

=

x(-n

-

n0

)y(n

-

n0

)

=

x[-(n

-

n0

)]

=

x(-n

+

n0

)

„

T

[x(n

-

n0

)]是时变系统习题4.

线性卷积的计算设x(n)和h(n)两序列的长度分别是M和N，线性卷积后的序列长度为(M+N-1)。设信号x(n)={1,2,3,4},n

=0,1,2,3通过系统h(n)={3,2,1},n

=0,1,2求系统的输出y(n)=x(n)*

h(n)线性卷积的计算：翻转、移位、相乘、相加y(n)

=

{3,8,14,20,11,4}›1.3

模拟信号的采样¥理想时域采样信号xˆa

(t)

=

xa

(t)

Pd

(t)Pd

(t)=

d(t

-

nT

)n=-¥理想取样信号的频谱¥k

=-¥aaX

(

jW

-

jkW

S

)1Xˆ

(

jW

)

=Txˆa(t)

«

Xˆ

a

(

jW

)习题5.理想抽样系统，抽样频率W

s

=

6p现有两个输入xa1(t)=cos(2pt),xa

2

(t)=cos(5pt)2a1=

2p

(rad

/

s)

<

W

s2a

2=

5p

(rad

/

s)

>

W

s问输出信号有无失真，为什么？解：无失真信号的最高频率为W

s

/2

=3p

(rad

/s)对于xa1(t)，频谱中最高频率W因此，ya1

(t)无失真对于xa

2

(t)，频谱中最高频率W因此，ya

2

(t)有失真习题6.设有一个频谱分析用的信号处理器，采样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求分辨力£

10Hz

，如果采用的时间间隔为0.1ms，试确定：1.最小记录长度2.所允许处理信号的最高频率3.在一个记录中的最小点数解：=

0.1

·103

=

1000T

0.1(3)

N

‡

T0又因为N必须为2的整数幂所以一个记录中的最少点数为N

=210

=1024即最小记录长度为0.1s所以即允许处理信号的最高频率为5kHz100

0

0

0（1）因为

T

=

1/

F

,

F

£

10Hz

，所以

T

‡

1

s（2）因为fs=

1

=

1T

0.1·103

=10kHz

而fs>

2

fhh

s2f

<

1

f

=

5kHz习题7.设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定：y(n)

-

1

y(n

-1)

=

x(n)

+

1

x(n

-1)2

2设系统是因果系统，试求系统的单位抽样相应。解：2

21

11

12

2

2

2

2

1

2=

1n-1h(n)

=

d(n)

+

1

d(n

-1)

+

1

h(n

-1)

=

1

h(3)

=

d(3)

+

d(2)

+

h(2)

=

2

2

2h(2)=

d(2)

+

1

d(1)

+

1

h(1)

=

12

2

2h(1)

=

d(1)

+

1

d(0)

+

1

h(0)

=

+h(0)

=

d(0)

+

1

d(-1)

+

1

h(-1)

=

12

2因此，单位抽样响应为

2

u(n

-1)n-1h(n)

=

d(n)

+

1

代入差分方程由于系统具有因果性，故系统的单位抽样响应为因果序列，则迭代可得将x(n)=d(n),y(n)=h(n)2

2h(n)

=

d(n)

+

1

d(n

-1)

+

1

h(n

-1)即h(n)=0,n

<01.4

拉氏变换、傅氏变换与Z变换¥¥|z|=1n=-¥|

h(

n

)z

-n

|

<

¥|

h(

n

)|=

n=-¥r

£|

z

|£

¥

,

r

<

1稳定因果系统的收敛域为:H(z)在|z|=1的单位圆上收敛,即收敛域包括单位圆因果系统的系统函数H(z)具有包括∞点的收敛域系统的因果性与稳定性的Z变换表示因果系统：时域：h(n)=0,n

<0,右边序列Z域：稳定系统：时域：¥n

=

-¥h

(

n

)

<

¥Z域：*稳定因果系统要求系统函数的所有极点都必须在单位圆内<|

z

|

£

¥Rx

-习题8.线性非时变系统差分方程为：2y(n

-1)

-

5

y(n)

+

y(n

+1)

=

x(n)该系统是否稳定？是否因果？求系统单位取样响应h(n)的3种可能选择方案。解)12=-

521

z+

z

(z

-

2)(

z

-X

(z)

z-1H

(z)

=

Y

(z)

=2

1

z

-z=

-3

z

-

22

z-2

z

-

1

z3

z

-

2zH

(z)

=

2

（1）

z

>2

，系统因果、非稳定。h(n)

=

2

[2n

-

2-n

]u(n)3（2）1/2

<z

<2，系统非因果、稳定。h(n)

=

-

2

[2n

u(-n

-1)

-

(1/

2)n

u(n)]3（3）

z

<1/2

，系统非因果、非稳定。3h(n)

=

-

2

[2n

-

2-n

]u(-n

-1)znz

-

az

-

a,

z

<

a-

a

u(-n

-1)

z

,

z

>

aanu(n)习题9.一个因果的线性非时变系统的系统函数为其中a为实数。（1）a值在哪些范围内才能使系统稳定？（2）假设0<a<1，画出零—极点图，并用阴影表示收敛域。（3）证明这个系统是全通系统，即其频率响应的幅度为一常数。1

-

a-1z-1H

(z)

=1

-

az-1解知道，系统只有一个z

-

az-

a-11

-

a-1z-11.由

H

(z)

=

1

-

az-1

=极点z

=a因为系统是因果的，所以收敛域为

a

<

z

£

¥为使系统稳定，必须要求收敛域包含单位圆，即

a

<

12.极点为

z

=

a

，零点为

z

=

a-1

，收敛域为a<

z

£

¥3.jwH

(e

)

=1

-

ae-

jw1

-

a-1e-

jw]*][)

|

=

[jw

21

-

a-1e-

jw1

-

ae-

jw

1

-

ae-

jw1

-

a-1e-

jw|

H

(e====

a-21

-

2a

cos

w

+

a21

-

2a

cos

w

+

a21

-

2a-1

cos

w

+

a-21

-

a(e-

jw

+

e

jw

)

+

a2a-2

(1

-

2a

cos

w

+

a2

)1

-

a-1

(e-

jw

+

e

jw

)

+

a-21

-

a-1e-

jw

1

-

a-1e

jw=

[

][

]1

-

ae-

jw

1

-

ae

jw因此，得到H

(e

jw

)=a-1即系统的幅度特性为一常数，该系统是一全通系统。习题10.已知线性因果网络用下面差分方程描述y(n)

=

0.9

y(n

-1)

+

x(n)

+

0.9x(n

-1)（1）求网络的系统函数H

(z)（2）写出网络频率响应函数H

(e

jw

)的表达式。并定性画出