2022-2023学年山东省聊城市东昌府区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在实数，，，，中，有理数有()

A.个B.个C.个D.个

2.下列语句正确是()

A.无限小数是无理数B.无理数是无限小数

C.实数分为正实数和负实数D.两个无理数的和还是无理数

3.实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是()

A.B.C.D.

4.最简二次根式与可以合并，则的值是()

A.B.C.D.

5.下列语句正确的有个()

的平方根是；一对相反数的立方根之和为；

平方根等于本身的数有和；与是同类二次根式．

A.B.C.D.

6.如图，已知某广场菱形花坛的周长是米，，则花坛对角线的长等于米．()

A.

B.

C.

D.

7.如图：在中，，，点，分别是，的中点，连接，，如果，那么的周长是()

A.B.C.D.

8.若不等式组无解，则实数的取值范围是()

A.B.C.D.

9.若不等式组的解为，则下列各式正确的是()

A.B.C.D.

10.某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打折．()

A.B.C.D.

11.如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处若，，则的长为()

A.

B.

C.

D.

12.如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、若，，则下列结论，其中正确结论的个数是()

，；

≌；

四边形是菱形；

；：．

A.个B.个C.个D.个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.计算的结果是______．

14.关于的一元一次不等式组恰有一个整数解，则的取值范围是______．

15.实数、在数轴上的位置如图所示，化简______．

16.若方程组的解满足，则取值范围是______．

17.若，为实数，，则的平方根是______．

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

18.解不等式组并求出它的正整数解：．

四、解答题（本大题共7小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分

计算：

．

．

．

．

20.本小题分

如图，中，，分别是，的中点，，过点作，交的延长线于点求证：四边形是菱形．

21.本小题分

已知．

求的值；

求的平方根．

22.本小题分

已知：如图，，分别是与它的邻补角的平分线，，垂足为点，，垂足为点，分别交边，于点和．

求证：

四边形是矩形；

．

23.本小题分

解不等式组，并求出它的整数解，再化简代数式，从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．

24.本小题分

疫情防控期间，学校准备购买甲、乙两种洗手液，已知购买瓶甲种洗手液和瓶乙种洗手液共需元；购买瓶甲种洗手液和瓶乙种洗手液共需元．

求甲、乙两种洗手液每瓶各需多少元？

如果学校要购买甲、乙两种洗手液共瓶，且总费用不超过元，求至少要购买甲种洗手液多少瓶？

25.本小题分

如图，在正方形中，是对角线上的一点，点在的延长线上，且，交于．

证明：；

求的度数；

如图，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：在实数，，，，中，有理数有，，，共有个，

故选：．

根据有理数的意义，即可解答．

本题考查了实数，熟练掌握有理数的意义是解题的关键．

2.【答案】

【解析】解：无限不循环小数是无理数，此选项说法错误；

B.无理数是无限小数，此选项说法正确；

C.实数分为正实数、负实数和零，此选项说法错误；

D.两个无理数的和也可能是有理数，此选项说法错误；

故选：．

根据实数的意义逐一判断可得答案．

本题考查了实数，利用实数的意义是解题关键．

3.【答案】

【解析】解：由数轴可得：，，，

，，，，

故选：．

先根据数轴判定，，的范围，再进行判定即可．

本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是根据数轴判定，，的范围．

4.【答案】

【解析】解：由题意得：，

解得：，

故选：．

利用最简二次根式定义求出的值即可．

此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

5.【答案】

【解析】解：，的平方根是，正确；

一对相反数的立方根之和为，正确；

平方根等于本身的数是，错误；

与是同类二次根式，正确．

故选：．

根据同类二次根式的概念，平方根的概念以及立方根的概念对各个说法进行判断即可．

本题考查的是同类二次根式的概念，平方根的概念以及立方根的概念，掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式、一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根是解题的关键．

6.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，它的两条对角线交于点，，

，于点，，，

，，

是等边三角形，

菱形的周长是米，

米，

米，

米，

米，

米，

花坛对角线的长等于米，

故选：．

由四边形是菱形，，得于点，，，则，，所以是等边三角形，因为菱形的周长是米，所以米，则米，米，由勾股定理求得米，则米，于是得到问题的答案．

此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：，分别是，的中点，

，，

，

，

，

，

，

的周长，

故选：．

根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，根据线直角三角形斜边中线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．

本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质质、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

8.【答案】

【解析】解：，

由得，，

由得，，

不等式组无解，

，

解得：．

故选：．

分别求出各不等式的解集，再与已知不等式组无解相比较即可得出的取值范围．

本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

9.【答案】

【解析】解：不等式组的解为，

，

故选：．

根据不等式组的解集同大取较大，可得答案．

本题考查了不等式的解集，解答此题要根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

10.【答案】

【解析】解：设至多打折，

由题意得，，

解得：．

答：至多打折．

故选：．

设至多打折，用标价折扣进价得出利润，根据利润率不低于，列不等式求解．

本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于，列不等式求解．

11.【答案】

【解析】解：四边形为矩形，

，，

矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，

，，

在中，，

，

设，则，

在中，，

，

解得，

，

故选：．

先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到的长．

本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用．解题时，常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．

12.【答案】

【解析】解：连接，

四边形是矩形，

，、互相平分，

为中点，

也过点，

，

，，

是等边三角形，

，，

在与中

，

≌，

与关于直线对称，

，；

正确，

，

，

≌，

，

，

，

，

，

≌，

，

，

四边形是菱形，

正确，

≌≌，

≌B错误．

错误，

≌，

，

，

：：，

，

，，

，

：：，

故错误；

故选：．

根据已知得出≌，可求得与关于直线对称，进而求得，；

因为≌≌，故不会全等于．

先证得，再证得，进而证得，因为、互相平分，即可证得四边形是菱形；

可通过面积转化进行解答．

本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．

13.【答案】

【解析】解：原式

．

故答案为：．

直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．

此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．

14.【答案】

【解析】解：不等式组，

解得：，

不等式组恰有一个整数解，即，

．

故答案为：．

表示出不等式组的解集，由不等式组恰有一个整数解，确定出的范围即可．

此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．

15.【答案】

【解析】解：，，，

，

，

．

故本题答案为：．

由数轴可知，，，根据二次根式的性质，化简计算．

本题考查了二次根式的性质与化简．关键是根据数轴判断被开方数中底数的符号．

16.【答案】

【解析】解：，

，得

，

，

，

，

解得，，

故答案为：．

根据题目中的方程组的特点，可以得到的值，然后根据，即可求得的取值范围．

本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围．

17.【答案】

【解析】解：与同时成立，

故只有，即，

又，

，，

，

故的平方根是．

故答案：．

要求的平方根，一要先求出，的值，要求、的值就要根据：与同时成立，根号里的数一定是依此来求、的值．

根据与同时成立，得到的值是解答本题的关键．

18.【答案】解：解得：，

解得：，

则不等式组的解集是：．

则正整数解是：，

【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．

本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若较小的数、较大的数，那么解集为介于两数之间．

19.【答案】解：原式

；

原式

；

原式

；

原式

．

【解析】先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值和乘方，再计算加减即可；

根据立方根、算术平方根和实数的运算法则计算即可；

根据立方根、算术平方根和实数的运算法则计算即可；

根据立方根、算术平方根和实数的运算法则计算即可．

本题考查实数的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

20.【答案】证明：、分别是、的中点，

，，

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

四边形是菱形．

【解析】先证四边形是平行四边形．再证，即可得出结论．

此题主要考查菱形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

21.【答案】解：根据题意得：，

解得：；

，

解得：．

则，

则平方根是：．

【解析】根据被开方数是非负数，即可求得的值；

根据的结果即可求得的值，然后利用平方根的定义求解．

本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

22.【答案】

证明：，分别是与它的邻补角的平分线，

，．

，

．

，为垂足，，为垂足，

，

四边形为矩形；

四边形为矩形，

，

，

，

，

∽，

是的中点，

为的中位线，

．

【解析】由、是角平分线可得是，进而由条件中的两个垂直可得两个直角，可得四边形是矩形；

由矩形的性质可得进而利用角平分线的性质可得，可得，进而可得∽，那么．

综合考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质；用到的知识点为：有个角是直角的四边形是矩形；矩形的对角线平分且相等；相似三角形的对应边成比例．

23.【答案】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

则不等式组的解集为，

所以不等式组的整数解为、、，

原式

，

且，

，

则原式．

【解析】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组的解法，正确进行分式的混合运算是解题关键．

先解不等式组求得的整数解，再根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，最后选取使分式有意义的的值代入计算可得．

24.【答案】解：设甲种洗手液每瓶元，乙种洗手液每瓶元，

依题意，得：，

解得：，

答：甲种洗手液每瓶元，乙种洗手液每瓶元；

设购进甲种洗手液瓶，则购进乙种洗手液瓶，

依题意，得：，

解得：，

为整数，

至少为，

答：至少购买甲种洗衣液瓶．

【解析】设甲种洗手液每瓶元，乙种洗手液每瓶元，由题意：购买瓶甲种洗手液和瓶乙种洗手液共需元；购买瓶甲种洗手液和瓶乙种洗手液共需元．列出方程组，解方程组即可；

设购进甲种洗手液瓶，则购进乙种洗手液瓶，由题意：总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．

本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程的应用，解题的关键：找准等量关系，正确列出二元一次