最短路径问题课件人教版八年级数学上册

最短路径问题（第一课时）最值问题

最多

最少

最长

最短

最胖

最瘦“最短路径问题”复习1

如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？

为什么？路线②最短两点之间，线段最短点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？复习2

PC最短垂线段最短如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短．（1）作点C关于AB的对称点C′；连接AB，交直线l于点C（2）连接AB′交直线l于点C；由两点之间，线段最短：连接AC′，BC′，B′C′（3）则点P即所求的点.区分哪些是定点，哪些是动点，哪条直线是对称轴如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？PC最短（1）作点C关于AB的对称点C′；思考：如何证明这条路径最短？③用符号语言证明结论．（1）作点C关于AB的对称点C′；②利用轴对称转移线段，将问题转化为研究过的引例：即两点之间，线段最短的问题．将问题转化为我们研究过的问题呢？由两点之间，线段最短：②利用等边三角形的轴对称性找到合适的对称点．（3）则点P即所求的点.（2）连接AB′交直线l于点C；如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短．引例作法：连接AB，交直线l于点C点C即为所求.依据：两点之间，线段最短.C’如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边

l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？图形语言如图，在直线

l上求作一点C，使CA+CB最短．文字语言符号语言例如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.例如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.例C思考：A、B在直线l同侧A、B在直线l异侧能否通过图形的变化（轴对称、平移等），将问题转化为我们研究过的问题呢？如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.C例C如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.问题转化为：在直线l上求作一点C，使CA+CB’最短.例如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′交直线l于点C；（3）则点C即为所求的点.例如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.例C′思考：如何证明这条路径最短？在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′证明：

需证明：CA+CB＜C′A+C′B如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.例C′思考：如何证明这条路径最短？在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′证明：

需证明：CA+CB＜C′A+C′B由两点之间，线段最短：

AB′

<AC′

+

C′B′，

如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.例C′思考：如何证明这条路径最短？在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′证明：

需证明：CA+CB＜C′A+C′B由两点之间，线段最短：

AB′

<AC′

+

C′B′，

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边

l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？例在AB上求作一点P，使得PC+PD最短．（3）则点C即为所求的点.有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．垂线段最短最短路径问题（第一课时）需证明：CA+CB＜C′A+C′B连接AC′，BC′，B′C′AB′<AC′+C′B′，如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为__________.如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为__________.思考：如何证明这条路径最短？②利用轴对称转移线段，将问题转化为研究过的引例：即两点之间，线段最短的问题．②利用等边三角形的轴对称性找到合适的对称点．有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．B和E，作哪个点的对称点更好？如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.连接AC′，BC′，B′C′AB′<AC′+C′B′，在直线l上求作一点C，如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.例①将实际问题抽象成数学问题，用数学语言表达．总结：②利用轴对称转移线段，将问题转化为研究过的引例：即两点之间，线段最短的问题．③用符号语言证明结论．有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．在AB上求作一点P，使得PC+PD最短．

练习在AB上求作一点P，使得PC+PD最短．

作法：（1）作点C关于AB的对称点C′；（2）连接DC′交AB于点P；（3）则点P即为所求的点.C′有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．练习作法：（1）作点D关于AB的对称点D′；（2）连接CD′交AB于点P；（3）则点P即所求的点.P如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短．（1）作点C关于AB的对称点C′；如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为__________.最短路径问题（第一课时）需证明：CA+CB＜C′A+C′B连接AB，交直线l于点C如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.思考：如何证明这条路径最短？PC最短如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．需证明：CA+CB＜C′A+C′B思考：如何证明这条路径最短？思考：如何证明这条路径最短？②利用等边三角形的轴对称性找到合适的对称点．如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．连接AB，交直线l于点C（2）连接AB′交直线l于点C；如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为__________.例例如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为__________.方法：利用轴对称转移线段，将问题转化为研究过两点之间，线段最短的问题.问题：B和E，作哪个点的对称点更好？例如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为__________.如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为__________.

例如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为__________.例

总结：①分析题目中的定点和动点，转化为我们熟悉的最短路径问题．②利用等边三角形的轴对称性找到合适的对称点．

如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为__________.例课堂小结①最短路径问题如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短．①最短路径问题依据：两点之间，线段最短关键：利用轴对称实现线段的转移②需要注意的细节区分哪些是定点，哪些是动点，哪条直线是对称轴利用图形的轴对称性，会简化过程．课堂小结能否通过图形的变化（轴对称、平移等），如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.需证明：CA+CB＜C′A+C′B利用轴对称转移线段，将问题转化为研究过两点之间，线段最短的问题.最短路径问题（第一课时）如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.③用符号语言证明结论．如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.区分哪些是定点，哪些是动点，哪条直线是对称轴最短路径问题（第一课时）如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为__________.如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，