新教材人教A版4.2.1指数函数的概念课件（29张）

4.2指数函数4.2.1指数函数的概念【情境探究】问题1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x次以后,得到的细胞个数y与x之间的关系是什么?必备知识生成提示:分裂次数与细胞个数:分裂次数123…x细胞个数22×2=222×2×2=23…2×2×…×2=2x所以y=2x(x∈N*).问题2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩余的这种物质是原来的84%,那么经过x年后剩余量y与x的关系是什么?提示:12;……x.问题3.你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗?提示:共同点:变量x与y构成的函数关系式是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数;不同点:底数的取值不同.【知识生成】函数________叫做指数函数,其中______________,定义域为______,值域为____________.

前面我们学习过的一次函数与二次函数,它们的图象是连续不间断的,而正整数指数函数的图象在第一象限内是一群_________的点.

y=axa>0且a≠1R(0,+∞)孤立关键能力探究探究点一正整数指数函数的应用【典例1】雾霾对人的身体健康的危害日益严重,患呼吸道疾病的人数明显增多,据不完全统计,某地从2014年到2019年间平均每年上升2%,若按这个增长率进行研究,设从2014年开始经过x(x∈N*35≈1.1)(1)试计算出2014年患呼吸道疾病的人数.(2)写出x,y之间的关系式,并计算2022年患呼吸道疾病的人数.【思维导引】利用正整数指数型函数模型,列出关系式,计算.【解析】(1)设2014年患病人数为a万人,则a(1+2%)55≈11.5≈1.1,所以a≈10(万人),所以2014年患呼吸道疾病的人数约10万人.(2)2015年患病的人数为10(1+2%),2016年患病的人数为10(1+2%)+10(1+2%)×2%=10(1+2%)2,2017年患病的人数为10(1+2%)2+10(1+2%)2×2%=10(1+2%)3.……x年后患病的人数为10(1+2%)x.故y=10(1+2%)xx(x∈N*),853=11.66(万人).所以2022年患呼吸道疾病的人数约为11.66万人.【类题通法】在实际问题中,对于平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值或总产量y,可以用公式y=N(1+p)x表示.【定向训练】日本福岛核电站爆炸中释放的碘-131不断衰变,每经过8天(周期)剩留的这种物质是原来的50%,写出这种物质的剩留量y随时间x(周期)变化的函数解析式.【解析】设这种物质最初的质量是1,经过x个周期,剩留量是y.1;2;……x(x∈N*).【补偿训练】某地区重视环境保护,绿色植被面积呈上升趋势,经调查,从2004年到2015年这12年间每两年上升2%,2014年和2015年种植植被815万m2.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去,那么从2016年到2019年种植绿色植被面积约为(四舍五入) ()2 B.1679万m2C.1173万m2 D.12494万m2【解析】选B.2016～2017年为815×(1+2%),2018～2019年为815×(1+2%)×(1+2%).共为815×(1+2%)+815×(1+2%)(1+2%)≈1679(万m2).探究点二指数函数的概念【典例2】下列函数中,哪些是指数函数?①y=10x;②y=10x+1;③y=10x+1;④y=2·10x;⑤y=(-10)x;⑥y=(10+a)x(a>-10,且a≠-9);⑦y=x10.【思维导引】函数为指数函数,那么它只能是y=ax(a>0,a≠1,x∈R)这样的形式.【解析】①y=10x符合定义,是指数函数;②y=10x+1是由y=10x和y=10这两个函数相乘得到的函数,不是指数函数;③y=10x+1是由y=10x和y=1这两个函数相加得到的函数,不是指数函数;④y=2·10x是由y=2和y=10x这两个函数相乘得到的函数,不是指数函数;⑤y=(-10)x的底数是负数,不符合指数函数的定义,不是指数函数;⑥由于a>-10,且a≠-9,所以10+a>0,且10+a≠1,即底数是符合要求的常数,故y=(10+a)x(a>-10,且a≠-9)是指数函数;⑦y=x10的底数不是常数,故不是指数函数.综上,①⑥是指数函数.【类题通法】在指数函数的定义表达式y=ax中,参数a必须大于0,且不等于1,ax前的系数必须是1,自变量x必须在指数的位置上,否则,就不是指数函数.【定向训练】指出下列函数哪些是指数函数:(1)y=3x.(2)y=x2.(3)y=-3x.(4)y=(-3)x.【解析】(1)为指数函数.(2)中底数不是常数,故不是指数函数.(3)是-1与指数函数3x的乘积,故不是指数函数.(4)中底数-3<0,故不是指数函数.探究点三求指数函数的解析式【典例3】函数y=(a2-a-1)·ax是指数函数,求a的值.【思维导引】根据指数函数的定义求解.【解析】依题意应有解得a=2(a=-1舍去).所以a的值是2.【类题通法】已知某函数是指数函数求参数值的两个步骤(1)列:根据底数大于0且不等于1,ax的系数是1且指数位置自变量x的系数是1,列出方程(组)或不等式(组).(2)解:解所列方程(组)或不等式(组),求出参数的值.【定向训练】若函数f(x)=ax是指数函数,则f的值为 ()【解析】选B.形如y=ax(a>0,a≠1)的函数为指数函数,所以函数f(x)=ax是指数函数须有a-3=1,解得:a=8,所以f(x)=8x,所以【补偿训练】若函数y=(a-2)2ax是指数函数,则 ()A.a=1或a=3 B.a=1C.a=3 D.a>0且a≠1【解析】选C.令(a-2)2=1,得a=3或a=1,当a=1时不符合题意舍去,故a=3.【误区警示】解答本题易出现选A的错误,出现这种错误的原因是忽略了指数函数的底数a需满足a>0且a≠1.指数函数的概念核心知识方法总结易错提醒核心素养指数函数的定义指数型函数模型指数型函数模型公式：原有量为N，每次的增长（衰减）率为p，经过x次增长（衰减），该量增长到y，则y=N(1±p）x（xN）指数函数的底数大于0且不等于1指数型函数的实际应用中，忽视自变量的取值范围数学抽象：通过具体实例引入指数函数的定义，培养数学抽象的核心素养数学建模：通过指数型函数的实际应用，培养数学建模的核心素养课堂素养达标1.下列函数中指数函数的个数是 ()①y=2x;②y=x5;③y=2x+1;④y=xx;⑤y=(6a-3)x

【解析】选C.只有①⑤是指数函数;②底数不是常数,故不是指数函数;③y=2x+1=2×2x,是2与指数函数y=2x的乘积;④中底数x不是常数,不符合指数函数的定义,所以指数函数的个数是2.2.函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数,则有 ()A.a=1或a=2 B.a=1C.a=2 D.a>0且a