高一数学辅导讲义专题01 平面向量的概念及线性运算(课时训练)解析版

专题01平面向量的概念及线性运算

A组基础巩固

1．2020·上海高二月考）给出下列说法：①AB和BA的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；

（

③向量就是有向线段；④00；⑤ABCD.其中正确说法的个数是（

A．0

B．1

C．2

D．3

）

【答案】B

【解析】

①正确，AB与BA是方向相反、模相等的两个向量;

②错误，方向不同包括共线反向的向量；

③错误，向量用有向线段表示，但二者并不等同；

④错误，0是一个向量，而0为一个数，应为|0|0；

⑤错误，向量不能比较大小.

只有①正确，故选B.

2．2020·上海市七宝中学高二月考）下列结论中正确的个数为（

（

）

①若a、b都是单位向量，则ab；

②物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；

③方向为南偏西60的向量与方向为北偏东60的向量是共线向量；

④直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.

A．1

【答案】B

B．2

C．3

D．4

【解析】①若a、b都是单位向量，则ab1，方问不一定相同，故①不正确；

②物理学中的作用力与反作用力是一对大小相等，方向相反的向量，因而它们是一对共线向量，故②正

确；

③方向为南偏西60的向量与方向为北偏东60的向量在一条直线上，是共线向量，故③正确；

④直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量，故④不正确.

故选：B.

3.（2018·全国高考真题（理）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB

）

（

）

A．4AB

3

1AC

4

B．4AB

1

3AC

4

C．4

3AB1AC

4

【答案】A

【解析】

根据向量的运算法则，可得

D．4

1AB3AC

4

BE1BA1BD1BA1BC1BA1BAAC

2

2

2

4

2

4

所以

EB3AB1AC，故选A.

4

4

4.（2020·广东高三学业考试）下列说法正确的是（

1BA1BA1AC3BA1AC，

2

4

4

4

4

）

A．AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线

B．长度相等的向量叫做相等向量

C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段

D．共线向量是在一条直线上的向量

【答案】C

【解析】对于A，若AB∥CD，则AB，CD的方向相同或相反，AB所在的直线与CD所在的直线平行

或在同一直线上，故A错误；

对于B，长度相等且方向相同的向量为相等向量，故B错误；

对于D，方向相同或相反的向量叫共线向量，故共线向量不一定在同一条直线上，故D错误．

故选：C．

5.（2020·绵阳中学高一期末模拟）

（多选题）已知D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，

则下列等式成立的是（）

A．FDDAFA

C．DEDAEC

【答案】ACD

B．FDDEEF0

D．DADEDF

【解析】由加法的三角形法则可得，FDDAFA，FDDEEF0，DEDAEC，

DADEDF，故选ACD．

6.（2020·南山中学高一期末模拟）

（多选题）四式能化简为AD的是（

）

A．MBADBM

B．ADMBBCCM

C．ABCDBC

【答案】BCD

【解析】

D．OCOACD

(ADMB)(BCCM)AD(BCCMMB)AD，

(ABCD)BCABBCCDAD，OCOACDACCDAD，故B、C、D都能化简为

AD，只有A项MBADBM2MBAD，化简结果不是，故选BCD.

7．2019·山东高一期末）在△ABC中，点D是BC边上的靠近C的三等分点，则AD（）

（

A．3

1AB2AC

3

B．3

2AB1AC

3

C．3AB3AC

【答案】A

【解析】

2

1

D．3AB3AC

1

2

如图有向量运算可以知道：ADABBDAB

故选：D.

2BCAB2(ACAB)1AB2AC

,选择A

3

3

3

3

8．2020·江西高一期中）给出下列结论：

（

①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；

②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；

③数轴上向量AB的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同

方向，则这个实数取正数，反之取负数；

④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.

其中正确结论的个数是(

A．1

B．2

)

C．3

D．4

【答案】D

【解析】

①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确；

②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与

它对应，②正确；

③数轴用一个实数来表示向量AB，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确；

④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确.

故选：D.

9．2019·江西高一期中）已知e1，e2不共线，若(ke1e2)(e1ke2)，试确定k的值．

（

【答案】k1

【解析】

∵e1，2不共线；

e

∴e1ke20；

又(ke1e2)(e1ke2)；

∴存在实数，使ke1e2e1ke2；

k

即，解得k1.

1k

10．2020·浙江高一月考）设a,b是不共线的两个非零向量.

（

（1）若OA2ab，OB3ab，OCa3b，求证：A，B，C三点共线；

（2）若8akb与ka2b共线，求实数k的值；

（3）若ABab，BC2a3b，CD2akb，且A，C，D三点共线，求实数k的值.

【答案】1）证明见解析；2）4.（3）

（

（

k4.

3

【解析】

证明：1）ABOBOAa2b，ACOCOAa2b，所以ACAB.

（

又因为A为公共点，所以A，B，C三点共线.

（2）设8akb

ka2b，R，则8k，

k2，

k4，

解得2或

k4，

2，

所以实数k的值为4.

（3）ACABBCab2a3b3a2b，

因为A，C，D三点共线，所以AC与CD共线.

从而存在实数使ACCD，即3a2b2akb，

3，

32，

得

解得

2所以k4

2k.

k

4.

3.

3

B组能力提升

11.（2020秋•高阳县校级月考）给出如下命题：

①向量AB的长度与向量BA的长度相等；

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．

其中正确的命题个数是(

)

A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可．

【答案】解：对于①，向量AB与向量BA，长度相等，方向相反，①正确；

对于②，向量a与b平行时，a或b为零向量时，不满足条件，②错误；

对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，是正确的；

对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，④错误；

对于⑤，向量AB与CD是共线向量，点A，B，C，D不一定在同一条直线上，⑤错误．

综上，正确的命题是①③．

故选：B．

【点睛】本题考查了向量相等、向量平行与向量共线的有关基本概念的判断问题，是综合题目．

12.（2019秋•苏州期末）设e1、e2是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的

是(

)

A．e1e2和e1e2

B．e12e2和e22e1

C．3e12e2和4e26e1

D．e2和e1e2

【分析】由e1、e2是两不共线的向量，知e1e2和e1e2不共线，3e12e2和4e26e1共线，e2和e1e2不共

线，再由共线的向量不能作为平面向量的一组基底，能求出结果．

【答案】解：在A中，

e1,e2是两不共线的向量，

e1e2和e1e2不共线，

e1e2和e1e2能作为平面向量的一组基底．

在B中，

e1,e2是两不共线的向量，

e12e2和e22e1不共线，

e12e2和e22e1能作为平面向量的一组基底．

在C中，

e1,e2是两不共线的向量，

3e12e2和4e26e1共线，

3e12e2和4e26e1不能作为平面向量的一组基底

在D中，

e1,e2是两不共线的向量，

e2和e1e2不共线，

e2和e1e2能作为平面向量的一组基底．

故选：C．

【点睛】本题考查平行向量的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，正确解题的关键是知道共线的向

量不能作为平面向量的一组基底．

13．2020·浙江高一月考）

（

（多选题）已知向量a(2，1)，b(1，﹣1)，c(m﹣2，﹣n)，其中m，n

均为正数，且(ab)∥c，下列说法正确的是（

A．a与b的夹角为钝角

B．向量a在b方向上的投影为5

5

）

C．2m+n=4

D．mn的最大值为2

【答案】CD

对于A，向量a(2，1)，b(1，﹣1)，则ab2110，则a,b的夹角为锐角，错误；

ab2

对于B，向量a(2，1)，b(1，﹣1)，则向量a在b方向上的投影为b

2，错误；

对于C，向量a(2，1)，b(1，﹣1)，则ab(1，2)，若(ab)∥c，则(﹣n)=2(m﹣2)，变形可得

2m+n=4，正确；

对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn

最大值为2，正确；

故选：CD.

1mn12mn2

2(2•)2(2)=2，即mn的

14．

（多选题）已知ABC的面积为3，在ABC所在的平面内有两点P，Q，满足PA2PC0，

QA2QB，记APQ的面积为S，则下列说法正确的是（

）

A．PB//CQ

B．BP

1BA2BC

3

3

C．PAPC0

【答案】BD

D．S4

由PA2PC0，QA2QB，

可知点P为AC的三等分点，点Q为AB延长线的点，

且B为AQ的中点，如图所示：

对于A，点P为AC的三等分点，点B为AQ的中点，

所以PB与CQ不平行，故A错误；

对于B，BPBAAPBA

2ACBA2BCBA1BA2BC

,

3

3

3

3

故B正确；

对于C，PAPCPAPCcosPAPC0，故C错误；

对于D，设ABC的高为h，S

ABC

1ABh3，即ABh6，

2

则APQ的面积S

APQ

1AQ2h12AB2h264，故D正确；

2

3

2

3

3

故选：BD

15．设向量e1，e2，是不共线的非零向量，且向量ae12e2，be13e2．

（1）证明：a,b可以作为一组基底；

（2）以a,b为基底，求向量c3e1e2的分解式；

（3）若4e13e2ab，求，的值．

【答案】1）见解析；2）c2ab；3），的值分别为3和1

（

（

（

【解析】

（1）证明：若a,b共线，则存在唯一的实数，使得a

b，

1,

1,

即e12e2e13e2．由e1，e2不共线，得

322,

3

∴不存在，故a,b不共线，可以作为一组基底．

（2）设cmanb(m,nR)，则3e1e2me12e2ne13e2

(mn)e(2m3n)e．

1

2

mn3,

m2,

∵e1，e2