高考数全国卷1(完整试题+答案+解析)

PAGE6-绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置．参考公式：样本数据的标准差其中为样本平均数球的面积公式第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（是虚数单位）的虚部是(B)A．B．C．D．2.已知是实数集，，则(D)A． B． C.D．3.现有个数，其平均数是，且这个数的平方和是，那么这个数组的标准差是(B)A．B．C．D．4.设为等比数列的前项和，，则(A)A．B．C．D．155.已知函数，若存在，使得恒成立，则的值是(D)A．B．C．D．6.已知、表示直线，表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 (B)（1）（2）（3）则∥（4） A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（2）、（3） D．（2）、（4）7.已知平面上不共线的四点，若等于(B)A．B．C．D．8.已知三角形的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是(D)A．B．C．D．9.函数的零点所在的区间是(B)A．B．C．D．10.过直线上一点引圆的切线，则切线长的最小值为(C)A．B．C．D．11(C)∴，∴在中∠…………8分∵∠∴,…………10分∴,∴函数的取值范围为…………1218．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，公差成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和.解：（Ⅰ）依题意得…………2分解得，…………4分．……………6分(Ⅱ)，…………7分……9分∴…………12分19.（本小题满分12分）ABCDEF已知四棱锥，其中，，，∥，为的中点.ABCDEF（Ⅰ）求证：∥面；（Ⅱ）求证：面；（=3\*ROMANIII）求四棱锥的体积.解：（Ⅰ）取AC中点G,连结FG、BG，∵F,G分别是AD,AC的中点ABCDEFG∴FGABCDEFG∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG．……………2分∴∥面……………4分（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC又∵DC⊥面ABC,BG面ABC∴DC⊥BG∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC,DC，∴BG⊥面ADC．…………6分∵EF∥BG∴EF⊥面ADC∵EF面ADE，∴面ADE⊥面ADC．…………8分（Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E－ABC和E－ADC．．………12分另法：取的中点为，连结，则，又平面,∴,∴平面，∴为的高，．20.（本小题满分12分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度与腐蚀时间之间对应的一组数据：时间（秒）51015203040深度（微米）61010131617现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得关于的线性回归方程，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A包含的基本事件有10种．…………3分所以．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是．………6分(Ⅱ)当时，……9分当时，所以，该研究所得到的回归方程是可靠的．…………12分21.（本小题满分12分）已知函数在点的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设，求证：在上恒成立.解：（Ⅰ）将代入切线方程得∴，化简得．…………2分．…………4分解得：∴．…………6分（Ⅱ）由已知得在上恒成立化简得即在上恒成立．…………8分设，∵∴，即．…………10分∴在上单调递增，∴在上恒成立．…………12分22.（本小题满分14分）实轴长为的椭圆的中心在原点，其焦点在轴上.抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，两曲线在第一象限内相交于点,且，△的面积为.（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；BxyAF1F2Co（Ⅱ）过点作直线分别与抛物线和椭圆交于,若BxyAF1F2Co解（1）设椭圆方程为，由题意知…………2分解得，∴．∴椭圆的方程为…………4分∵，∴,代入椭圆的方程得，将点A坐标代入得抛物线方程为．…………6分（2）设直线的方程为，由得，化简得…………………