广东省佛山市南海九江中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析

广东省佛山市南海九江中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，，，，点在斜边上，以为棱把它折成直二面角，折叠后的最小值为A．

B．

C．

D．参考答案：B2.集合，则A∪B=（

）A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.[－2,+∞)参考答案：D【分析】根据题意先求出集合A和集合B，再求A∪B【详解】由|x﹣1|≤3得到﹣2≤x≤4，即A＝[﹣2，4]，由2x+1≥4＝22得到x≥1，即B＝[1，+∞），则A∪B＝[﹣2，+∞），故选：D．【点睛】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答3.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：==，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．故选：B．4.甲，乙，丙三人报考志愿，有A、B、C三所高校可供选择，每人限报一所，则每所一学校都有人报考的概率为(

)A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据题意，分别求每人报考一所学校的不同选法总数和每一所学校都有人报考的选法数，根据概率公式，计算即可求解.【详解】由题意，每人报考一所学校，不同的选法总数是（种）如果每一所学校都有人报考，不同的选法总数是（种）所以如果每一所学校都有人报考的概率为故选：D【点睛】本题考查利用计数原理计算概率，属于基础题.5.在△ABC中，a=4，A=30°，B=60°，则b等于（）A．4

B．6 C．

D．9参考答案：A考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理进行求解即可．解答：解：∵a=4，A=30°，B=60°，∴由正弦定理得得b====，故选：A点评：本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理是解决本题的关键6.已知函数，则f(x)的图象在点处的切线方程为A. B. C. D.参考答案：B【分析】先由题求出f（x）的导函数，可得出在点（0，f（0））的斜率，再根据切线公式可得结果.【详解】∵f（x）=，∴f′（x）=，∴f′（0）=-1，f（0）=1，即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为-1，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1，即x+y-1=0．故选：B．【点睛】本题考查了曲线的切线方程，求导和熟悉公式是解题的关键，属于基础题.7.在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．B． C． D．参考答案：D【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则A（0，0），B（1，0），C（﹣1，），O（0，），M（0，），=（1，﹣），=（﹣1，）=﹣1﹣=﹣．故选：D．8.设全集是自然数集，，，则右图中的阴影部分表示的集合是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C9.不等式成立的充分不必要条件是(

)A.

B.

C.或

D.或

参考答案：A10.对于函数，若存在区间，使得,则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”.给出下列4个函数：①；②；③；④.其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（

）①②③

②③

①③

②③④参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|－1＜x＜1}，集合C={x|mx+1＞0}，若，则实数m的取值范围是______________.参考答案：由题意，，

∵集合，

①②m时，成立；

③综上所述，故答案为．

12.函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）.1

当时，y的取值范围是

;2

果对任意(b<0)，都有，那么b的最大值是

.参考答案：；13.若x，y满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：314.

设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

.参考答案：4略15.(几何证明选讲）如图所示，圆的内接三角形ABC的角平分线BD与AC交于点D，与圆交于点E,连结AE，已知ED=3,BD=6,则线段AE的长＝

.

参考答案：16.已知函数，若,且，则的最小值是

参考答案：－16略17.设x，y满足约束条件，则z=x+3y+m的最大值为4，则m的值为．参考答案：﹣4【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合z=x+3y+m的最大值为4，建立解关系即可求解m的值．【解答】解：由z=x+3y+m得﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线﹣由图象可知当直线﹣经过点A时，直线﹣的截距最大，此时z也最大，由，解得，即A（2，2），将A代入目标函数z=x+3y+m，得2+3×2+m=4．解得m=﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）设函数f（x）=lnx﹣ax，（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，e]内的最大值；（Ⅱ）当a=﹣1时，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．参考答案：【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）对a分类讨论，利用导数的运算法则研究函数的单调性即可得出；（2）方程2mf（x）=x2有唯一实数解，即x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，利用导数可得其最小值为g（x2）．则，即2lnx2+x2﹣1=0．设h（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），再利用导数研究其单调性即可得出．④解：（1）．令f'（x）=0得．∵时，f'（x）＞0，时，f'（x）＜0，∴f（x）在递增，在递减．①当即a≥1时，f（x）在[1，e]上递减，∴x=1时f（x）取最大值f（1）=﹣a．②当即时，f（x）在递增，在递减，∴时，f（x）取最大值．③当即时，f（x）在（1，e）递增，∴x=e时f（x）取最大值f（e）=1﹣ae．（2）∵方程2mf（x）=x2有唯一实数解，即x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，则．令g'（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．∵m＞0，x＞0，∴（舍去），．当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上单调递增．∴g（x）最小值为g（x2）．则，即∴2mlnx2+mx2﹣m=0即2lnx2+x2﹣1=0．设h（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），恒成立，故h（x）在（0，+∞）单调递增，h（x）=0至多有一解．又h（1）=0，∴x2=1，即，解得．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了问题的转化能力，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19.已知函数f（x）=x3+|ax﹣3|﹣2，a＞0．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）当a∈（0，5）时，对于任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）+f（x2）=0，求实数a的值．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）讨论当x≥时，去掉绝对值，求出导数；当x＜时，去掉绝对值，求出导数，讨论当0＜a≤1时，当1＜a≤3时，当a＞3时，由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间；（2）由题意可得f（0）+f（1）=0，求得a的值，去掉绝对值，画出f（x）在[0，1]的图象，即可得到结论．【解答】解：（1）当x≥时，f（x）=x3+ax﹣5，由a＞0，f′（x）=3x2+a＞0，可得f（x）在[，+∞）递增；当x＜时，f（x）=x3﹣ax+1，由a＞0，f′（x）=3x2﹣a，由f′（x）＞0，可得x＞或x＜﹣；由f′（x）＜0，可得﹣＜x＜．当0＜a≤1时，≤，f（x）在（，），（﹣∞，﹣）递增；在（﹣，）递减；当a＞1时，＞，f（x）在（﹣∞，﹣）递增；在（﹣，）递减；综上可得，当0＜a≤1时，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），减区间为（﹣，）；当1＜a≤3时，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣），[，+∞），减区间为（﹣，）；当a＞3时，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣），[，+∞），减区间为（﹣，）；（2）当a∈（0，5）时，对于任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）+f（x2）=0，由f（0）=1，结合图象可得f（1）=1+|a﹣3|﹣2=﹣1，解得a=3．当a=3时，f（x）=x3+|3x﹣3|﹣2，当x∈[0，1]时，f（x）=x3﹣3x+1，f′（x）=3x2﹣3≤0，f（x）递减，则f（x）∈[﹣1，0]，且与x轴有一个交点，故a=3成立．20.己知函数，其中a>0(I)求函数的单调区间；(II)若直线x-y-l=0是曲线y=的切线，求实数a的值；(In)设，求g(x)在区间上的最大值（其中e为自然对数的底数）参考答案：解：（Ⅰ），（），

在区间和上，；在区间上，.所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是.（Ⅱ）设切点坐标为，则

解得，.

（Ⅲ），则，

解，得，当，即时，在区间上，为递增函数，所以最大值为.

当，即时，在区间上，为递减函数，所以最大值为.

当，即时，的最大值为和中较大者；，解得，所以，时，最大值为，时，最大值为.

综上所述，当时，最大值为，当时，的最大值为.

略21.（12分）已知数列{an}的前n项和，Sn=．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，若对?n∈N*，t≤4Tn恒成立，求实数t的最大值．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）分类讨论：n=1时，a1=S1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1；（2）利用裂项相消法求和，然后根据t≤4Tn恒成立来求t的最大值．【解答】解：∵数列{an}的前n项和，，∴a1=S1=1，n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=﹣=3n﹣2，n=1时，上式成立，∴an=3n﹣2．（2）由an=3n﹣2，可得=．因为，所以Tn+1＞Tn，所以数列{Tn}是递增数列．所以，所以实数t的最大值是1．【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求数列的通项公式，及数列的裂项求和方法的应用及恒成立与最值求解的应用．22.某高校共有10000人，其中男生7500人，女生2500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集200位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．调查部分结果如下2×2列联表：

男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时35

每周平均体育运动时间超过4小时

30

总计

200

（1）完成上述每周平均体育运动时间与性别的2×2列联表，并判新是否有95%把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”；（2）已知在被调查的男生中，有5名数学系的学生，其中有2名学生每周平均体育运动时间超过4小时，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰有1人“每周平均体育运动时间超过4小时”的概率．附．，其中．P（）0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879

参考答案：(1)见解析；(2)【分析】（1）根据题目中的数据填写列联表，计算观测值，并由临界值表比较可得结论；（2）由列举法以及古典概型概率公式可得答案.【详解】（1）收集女生人数为，男生人数为，即应收集50为女生，150位男生的样本数据，

男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时352055每周平均体育运动时间超过4小时11530145总计15050200

∴，所