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文档简介
§6解析函数的高阶导数内容简介本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。0001两边在积分号下对z0求导得Cf
(
z
)
dz
(
z
˛
D
)对积分公式
f
(
z
)
=2pi z
-
zCdz20(
z
-
z
)1
f
(
z
)f
'
(
z
)
=2piCdz
3000f
(
z)2!f
"(
z
)
=2pi
(
z
-
z
)00dz
(n
=
1,2,)(z
-
z
)f
(z)n!f
(z
)
=C(
n)n+12pi形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。00C(
n)(z
-
z
)f (z
)
=n+1它的n阶导数为解析函数f
(z)的导数仍为解析函数,dz
(n
=
1,2,)n!
f
(z)2pi定理Dzf
(
z
)f
(
z
+
Dz)
-"
z
˛
D f
'(
z
)
=
lim00Dz
fi
00
0其中C为在f
(z)的解析区域D内围绕z0的"
-
正向简单闭曲线,
而且它的内部
D.证明
用数学归纳法和导数定义。先证n
=1的情形.Cdz-
Dz00f
(
z)2pi z
-
z1f
(
z
+
Dz)
=00f
(
z
)
dz1f
(
z
)
=2pi
C
z
-
z由柯西积分公式DzC
z
-
z0
-
Dz
C
z
-
z0f
(z0
+
Dz)
-
f
(z0
)
=
1
[
f
(z)
dz
-
f
(z)
dz]2piDz=
1
f
(z)
dz2pi
C
(z
-
z0
-
Dz)(z
-
z0
)令为I=Cdzdz
+0020-
Dz
)(
z
-
z
)2Dzf
(
z
)11
f
(
z
)2pi
C
(
z
-
z2pi
(
z
-
z
)z
-
z
-
D
z z
-
zdzI
=2
ds0000D
z f
(
z
)1-
D
z
)(
z
-
z
)2D
zf
(
z
)1£
2p
C2p
C
(
z
-
z20则$M
,¶
f
(z)£
M
,d
=min
z
-zz˛C取Dz
<
1
d
,则有
f
(z)在C上解析，\f
(z)在C上连续100000<
21
£
1z
-
z
dz
-
z
‡
d
,2
z
-
z
-
Dz
dz
-
z
-
Dz
‡
z
-
z
-
Dz
>
d
,20000=CDzfi
0dz
（*）f
(z)f
(z
+
Dz)
-
f
(z
)
1f
'(z
)
=
limDz
2pi
(z
-
z
)I
=0,从而有(L
—C
的长度）ML显然，limD
z
fi
0pd
3\
I
<
D
z再利用(*)式及推导(*)的方法可证n
=2的情形.Dz0=
2!
f
'(
z0
+
Dz
)
-
f
'(
z0
)=
limDz
fi
0f
''(
z
)2pi
C
(
z
-
z0
)f(z
)
dz
依次类推，用数学归纳法可得3Cdzn+100(
n
)f
(
z
)n!f
(
z
)
=2pi
(
z
-
z
)定理表明
f
(
z)在z平面上
D内解析
f
(
z)在D内具有各阶导数
,即在D内解析
-
-无穷次可导
.一个解析函数的导数仍为解析函数。e
z1)C
(
z
-
1)5
dz
2)C
(1
+
z
2
)2
dzC
:
z
=
r
>
1cos
pz求下列积分值例1C124!5p
52pi(-p
4
)
=
-
i=
cospz
dz
=
2pi
(cospz)(4)z
=1(z
-
1)
（5
-
1）!1)cospz在全平面处处解析解C1
,C2不相交且在C的内部C2
:
z
+
i
=
r2
,e
z2)
(z
2
+
1)2
在z
=
–i处不解析.取C1
:
z
-
i
=
r121222\
C2
dz(1
+
z
)2
dz
+
C(1
+
z
)ez
ez2
dz
=
Cez2122=
Cdz(z
+
i)(z
+
i)2ezdz
+
C(z
-
i)(z
+
i)2(1
+
z
)ezezezz
=-iz
=i(2
-
1)!
(z
-
i
)=
(2
-
1)!
(z
+
i
)(
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