江西省赣州市洞头中学2022年高三数学理期末试题含解析

江西省赣州市洞头中学2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，直线y=x﹣2与圆x2+y2﹣4x+3=0及抛物线y2=8x依次交于A、B、C、D四点，则|AB|+|CD|=（）A．13 B．14 C．15 D．16参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆的方程为（x﹣2）2+y2=1，抛物线y2=8x的焦点为（2，0），直线y=x﹣2过（2，0）点，则|AB|+|CD|=|AD|﹣2，联立直线y=x﹣2与y2=8x可得x2﹣12x+4=0，由此能够推导出|AB|+|CD|=16﹣2=14．【解答】解：由x2+y2﹣4x+3=0，得（x﹣2）2+y2=1，∵抛物线y2=8x的焦点为（2，0），∴直线y=x﹣2过（2，0）点，则|AB|+|CD|=|AD|﹣2，联立直线y=x﹣2与y2=8x，可得x2﹣12x+4=0，设A（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=12，则有|AD|=（x1+x2）+4=16，故|AB|+|CD|=16﹣2=14．故选：B．2.“”是“”的（

）A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B略3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C．13 D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱台，其中两个侧面和底面垂直，上下底为直角三角形．利用勾股定理求出斜高．【解答】解由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示，则CC′⊥平面ABC，上下底均为等腰直角三角形，AC⊥BC，AC=BC=1，A′C′=B′C′=C′C=2，∴AB=，A′B′=2．∴棱台的上底面积为=，下底面积为=2，梯形ACC′A′的面积为（1+2）×2=3，梯形BCC′B′的面积为=3，过A作AD⊥A′C′于D，过D作DE⊥A′B′，则AD=CC′=2，DE为△A′B′C′斜边高的，∴DE=，∴AE==．∴梯形ABB′A′的面积为（）×=．∴几何体的表面积S==13．故选：C．【点评】本题考查了棱台的结构特征和三视图，面积计算，属于中档题．4.已知函数若,则

(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：C或解得

所以,故.故选C.5.等差数列的前n项和满足，则其公差d等于A．2

B．4

C．±2

D．±4参考答案：A6.右图中，，，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分。当p=8．5时，等于

A．11

B．10

C．8

D．7参考答案：C本题考查了对程序框图的识图能力，难度中等。

由程序框图可知，所以，所以，故选C7.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图均是腰长为6的等腰直角三角形．则它的体积为

．参考答案：72略8.函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为()A．

4

B.

C．2

D．3参考答案：C9.某公司为了解该公司800名员工参加运动的情况，对公司员工半年来的运动时间进行统计得到如图所示的频率分布直方图，则运动时间超过100小时的员工有（）A．360人 B．480人 C．600人 D．240人参考答案：B【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，计算对应的频率和频数即可．【解答】解：根据频率分布直方图，运动时间超过100小时的频率是（0.016+0.008）×25=0.6，所求的频数为800×0.6=480（人）．故选：B．【点评】本题考查了利用频率分布直方图计算频率和频数的应用问题，是基础题．10.已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是

A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点M（a，b）与N关于轴对称，点P与点N关于轴对称，点Q与点P关于直线对称，则点Q的坐标为

．参考答案：略12.如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S。则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。①当时，S为四边形②当时，S为等腰梯形③当时，S与的交点R满足④当时，S为六边形⑤当时，S的面积为参考答案：①②③⑤13.已知实数a,b满足等式下列五个关系式

①0<b<a

②a<b<0

③0<a<b

④b<a<0

⑤a=b其中不可能成立的关系式有_______________．参考答案：答案：③④14.若实数满足（其中是自然底数），则的最小值为_____________;参考答案：15.某产品的广告费用x（单位：万元）的统计数据如下表：广告费用x（单位：万元）2345利润y（单位：万元）26●4954根据上表可得线性回归方程=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为

．参考答案：49考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：设●为a，求出=3.5，=（129+a），代入=9.4x+9.1，可得（129+a）=9.4×3.5+9.1，即可求得a的值．解答： 解：设●为a，则由题意，=3.5，=（129+a），代入=9.4x+9.1，可得（129+a）=9.4×3.5+9.1，∴a=49故答案为：49．点评：本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用回归方程恒过样本中心点是关键．16.定义在上的偶函数满足，且在[－1，0]上为增函数，下面是关于的判断：①是周期函数；②的图象关于直线x=1对称；③在[0，1]上是增函数；④在[1，2]是减函数；⑤

其中正确的判断是

（把你认为正确的判断都填上）。参考答案：①②⑤17.与曲线共焦点并且与曲线共渐近线的双曲线方程为．参考答案：考点： 双曲线的标准方程．分析： 先求出椭圆的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，然后设双曲线的标准方程为，则根据此时双曲线的渐近线方程为y=±x，且有c2=a2+b2，可解得a、b，故双曲线方程得之．解答： 解：由题意知椭圆焦点在y轴上，且c==5，双曲线的渐近线方程为y=±x，设欲求双曲线方程为，则，解得a=4，b=3，所以欲求双曲线方程为．故答案为．点评： 本题主要考查焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程与性质，同时考查椭圆的标准方程及简单性质三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC,点D是AB的中点(1)求证：BC1∥平面CA1D(2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B(3)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1-A1DC的体积参考答案：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE因为四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点又D是AB的中点，DE∥BC1，又DE面CA1D，BC1面CA1D，BC1∥面CA1证明（2）AC=BC，D是AB的中点，AB⊥CD，又AA1⊥面ABC，CD面ABC，AA1⊥CD，AA1∩AB=A，CD⊥面AA1B1B，CD面CA1D，平面CA1D⊥平面AA1B1B解：,则（2）知CD⊥面ABB1B，所以高就是CD=，BD=1，BB1=，所以A1D=B1D=A1B1=2,

,19.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是的中点．(1)求证：；(2)在面内求一点，使面，并证明你的结论．参考答案：∵四边形ABCD为正方形，∴DA⊥DC。又PD⊥底面ABCD,以D为原点，DA、DC、DP分别为轴建立如图的空间直角坐标系。设DA=2，则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),F(1,1,1),P(0,0,2),E(2,1,0).(1)

∴

∴

∴.(2)设G点坐标为，则，∵,∴∴解得∴G点坐标为，即当G为DA中点时，FG⊥面PCB.20.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2.（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（II）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 参考答案：（Ⅰ）解：如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（Ⅲ）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC-–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.

21.（本小题满分12分）已知椭圆C：经过点，离心率，直线的方程为.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线与l相交于点M，记PA,PB,PM的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。参考答案：（1）由点在椭圆上得，

①

②由①②得，故椭圆的方程为……..4分（2）假设存在常数，使得.由题意可设

③代入椭圆方程并整理得设，则有

④……………6分在方程③中，令得，，从而.又因为共线，则有，即有所以=⑤将④代入⑤得，又，所以故存在常数符合题意……………12分22.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（I）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为．求关于的一元二次方程有实根的概率；（II）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n．若以作为点P的坐标，求点P落在区域内的概率．参考答案：（1）基本事件（a，b）有：（1,2）

（1,3）

（1,4）

（2,1）

（2,3）

（2,4）

（3,1）

（3,2）

（3,4）

（4,1）

（4,2）

（4,3）共12种。∵有实根，∴△=4a2-4b2≥0，即a2≥b2。记“有实根”为事件A，则A包含的事件有：（2,1）

（3,1）

（3,2