河南省郑州市扶轮外国语学校高三数学理期末试题含解析

河南省郑州市扶轮外国语学校高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.平面向量与的夹角为，，，则A．9

B．

C．

D．7参考答案：B,,所以，所以，选B.2.正项等比数列{an}中，，则的值为（

）A．100

B．10000

C．1000

D．10参考答案：B略3.已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是(

) A．1﹣ B． C．1﹣ D．参考答案：A考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；概率与统计．分析：作出图形，以长度为测度，即可求出概率．解答： 解：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣=1﹣．故选：A．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，正确确定CD是关键．4.

已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当

时，的表达式为

A．

B．

C．

D．

参考答案：C略5.已知数列满足，，则当时,为

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C6.已知全集，集合，，那么等于A．{0,1,2}

B．{1,2}

C．{0,1}

D．{2}参考答案：7.已知正四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的球面上，，则球O的表面积为（

）A.2π B.4π C.8π D.16π参考答案：C【分析】连结AC，BD，交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，OA＝OB＝OC＝OD，OP，从而球O的半径r，由此能求出球O的表面积．【详解】解：∵正四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA＝AB＝2，∴连结AC，BD，交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，OA＝OB＝OC＝OD，OP，∴O是球心，球O的半径r，∴球O表面积为S＝4πr2＝8π．故选：C．【点睛】本题考查正四棱锥的外接球的表面积的求法，考查正四棱锥的结构特征、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.已知，则

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略9.已知一个平面，为空间中的任意一条直线，那么在平面内一定存在直线b使得（

）A.//b

B.与b相交

C.与b是异面直线

D.⊥b参考答案：D略10.已知，β表示两个不同的平面，l为内的一条直线，则“//β是“l//β”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），则它的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件列出关系式求解即可．【解答】解：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），可得2b﹣a=0，即4c2﹣4a2=a2，可得4c2=5a2e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．12.已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为．参考答案：4π考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=×2R，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．解答：解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=×2R，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=R2，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，∴VP﹣ABC=×R××R2=，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．故答案为：点评：本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．13.

设数列中，，则通项

_______。参考答案：14.函数,的最小正周期为

参考答案：15.定义在上的函数满足，则等于

.

参考答案：-316.已知圆C：x2+y2+2x+4y+4=0，直线l：sinθx+cosθy-4=0，则直线，与圆C的位置关系为

。参考答案：相离17.设满足条件，则目标函数的最小值为

．参考答案：可行域如图，直线过点A时z取最小值

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.(Ⅰ)求二面角的的余弦值；（Ⅱ）求点到面的距离.参考答案：(Ⅰ)∵∴．在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）由题意有，设，则由直线与直线所成的解为，得，即，解得∴，设平面的一个法向量为，则，取，得，平面的法向量取为设与所成的角为，则．显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．………………5分（Ⅱ），，，，．设平面的一个法向量，则，取，得，则点到平面的距离．………………10分19.（本题满分12分）已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上恒成立，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，任意的，证明：参考答案：（1）当时，，函数在上为增函数；当时，令，可得，令，可得，所以函数在上为增函数，在上为减函数------------------（5分）（2）方法1：由（1）可知，当时，不恒成立；当时，，要使恒成立，即令，，可得时，为减函数，时，为增函数，所以，所以.m的取值范围是-------（10分）方法2：即在上恒成立，当x=1时，成立。当x>1时，在上恒成立，令，则，令则，在为减函数，在为减函数，m1同理当x<1时，在上恒成立，得m1m=1

（3）因为，不妨令，则由（2）知，可得，，得所以-------------------------------（12分）20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.（I）求；（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.参考答案：（Ⅰ）由已知得M(0,t)，P().又N为M关于点P的对称点，故N()，ON的方程为，代入y2=2px整理得px2-2t2x=0，解得x1=0，，因此H().所以N为OH的中点，即.（Ⅱ）直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下：直线MH的方程为，即.代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0，解得y1=y2=2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.

21.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.参考答案：（1）当时，，所以.当时，满足上式.所以数列的通项公式为.（2）.，又，两式相减得，，所以.22.（2015?南昌校级二模）已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．参考答案：【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）运用函数的零点分区间，讨论当x≥3时，当x≤2时，当2＜x＜3时，化简不等式解得，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣2|，当x≥3时，f（x）≤﹣，即为（x﹣3）﹣（x﹣2）≤﹣，即﹣1成立，则有x≥3；当x≤2时，f（x）≤﹣即为（3﹣x）﹣