云南省昆明市汤丹学区汤丹中学高三数学理联考试题含解析

云南省昆明市汤丹学区汤丹中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“，成立”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】由基本不等式可得，“，”等价于，再由充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】时，，“，”等价于，而可推出，不能推出，所以“”是“，”成立的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.2.等比数列的各项均为正数,且,则A.10

B.12

C.8

D.参考答案：A知识点：等比数列解析：等比数列的各项均为正数,所以由得：所以故答案为：A3.命题‘‘若a，b，c成等比数列，则”的逆否命题是(A)若a，b，c成等比数列，则(B)若a，b，c不成等比数列，则(C)若，则a，b，c成等比数列(D)若，则a，b，c不成等比数列参考答案：D略4.设Sn是等差数列{an}的前n项和，，已知Sn=336，则n的值为Ａ．18

Ｂ．19

Ｃ．20

Ｄ．21参考答案：D5.函数的定义域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z的共轭复数(

) A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i参考答案：B考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则其共轭复数可求．解答： 解：由（1﹣i）z=2i，得=，∴．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7.（5分）（2015?钦州模拟）某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有150个、120个、190个、140个销售点．为了调查产品的质量，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙城市有20个特大型销售点，要从中抽取8个调查，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次为（）A．分层抽样法、系统抽样法B．分层抽样法、简单随机抽样法C．系统抽样法、分层抽样法D．简单随机抽样法、分层抽样法参考答案：B【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：分别根据分层抽样，系统抽样和简单抽样的定义进行判断即可．解：①由于四个城市销售点是数量不同，可能存在差异比使用较明显，故①应用分层抽样．②由于丙成立销售点比较比较少，可以使用简单随机抽样即可．故选：B．【点评】：本题主要考查随机抽样的应用，利用三种抽样的定义是解决本题的关键，比较基础．8.复数的值是（

）A．

B．

C．

D．1参考答案：D，所以，选D.9.函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式是 （

） A． B． C．D．参考答案：D10.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量=(m,n),=(3,6),则向量与共线的概率为（

）A． B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等差数列{an}中，，前11项和，数列{bn}满足，则数列{bn}的前11项和

．参考答案：由于是等差数列，所以，所以，，所以，填。

12.已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为100π，PA⊥面，则该三棱锥体积的最大值为____。参考答案：【分析】根据球的表面积计算出球的半径.利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，根据正弦定理求得的长，再根据圆内三角形面积的最大值求得三角形面积的最大值，由此求得三棱锥体积的最大值.【详解】画出图像如下图所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.设球的半径为，三角形外接圆的半径为，则，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形为等边三角形，其高为.由于为定值，而三角形的高等于时，三角形的面积取得最大值，由于为定值，故三棱锥的体积最大值为.【点睛】本小题主要考查外接球有关计算，考查三棱锥体积的最大值的计算，属于中档题.13.

某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为__________参考答案：答案：

14.下图展示了一个由区间（0,1）到实数集R的映射过程：区间（0,1）中的实数m对应数轴上的点m，如图①：将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图②：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0,1），如图③，图③中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作。下列说法中正确命题的序号是_______.（填出所有正确命题的序号）①

②是奇函数

③在定义域上单调递增④是图像关于点对称。参考答案：③④略15.已知函数f（x）=，若存在实数b，使得函数g（x）=f（x）﹣b有两个不同的零点，则a的取值范围是．参考答案：2＜a＜4【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围．【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增，要使函数f（x）在[0，+∞）不单调，即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，可得2＜a＜4．故答案为：2＜a＜4．【点评】本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合的数学思想，属于中档题．16.已知复数z满足（i是虚数单位），则__________．参考答案：略17.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是，表面积是． 参考答案：,+1+.【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何． 【分析】由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．据此可计算出表面积和体积． 【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥， 其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2， 边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高． 于是此几何体的体积V=S△ABCPO=×2×1×=， 几何体的表面积S=S△PAC+S△ABC+2S△PAB=××2+×2×1+2×××=+1+． 故答案为：，+1+． 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的右焦点为，M点的坐标为，O为坐标原点，是等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）经过点作直线AB交椭圆C于A、B两点，求面积的最大值；（Ⅲ）是否存在直线l交椭圆于P、Q两点，使点F为的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）由是等腰直角三角形，可得，故椭圆的方程为.

（Ⅱ）由构成三角形，所以不垂直轴.设过点的直线的方程为，的横坐标分别为，联立直线与椭圆的方程，消元可得，首先，有.同时，所以，

令，则，，令，则，（当且仅当时取等号）。又面积，所以面积的最大值为.

（Ⅲ）假设存在直线交椭圆于两点，且使点为的垂心，设，因为，，所以．

于是设直线的方程为，联立椭圆方程，消元可得．由，得，同时，且,由题意应有,其中，所以，,．解得或．

当时，不存在，故舍去．当时，所求直线存在，且直线的方程.

19.设，．（1）求证：．（2）求证：．参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）由基本不等式可得到,，，，三个式子相加可得到结论;（2）由,再结合基本不等式证明,进而可得到结论.【详解】证明：（1）因为,所以，，，当且仅当,即时,等号成立.三个式子相加得,,故．（2）由题意,,当且仅当时,等号成立.所以.因为．所以，即．【点睛】本题考查了不等式的证明,考查了基本不等式的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于中档题.20.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数．（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量．（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）有分层抽样可知各层抽取的比例相等，先计算出甲厂抽取的比例，按此比例计算乙厂生产的产品总数即可．（2）先计算抽取的5件样品中优等品的概率，再由此概率估计乙厂生产的优等品的数量即可．（3）ξ的所有可能取值为0，1，2．由古典概型分别求概率，再求期望即可，此分布列为超几何分布．【解答】解：（1）甲厂抽取的比例=，因为乙厂抽出5件，故乙厂生产的产品总数35件．（2）x≥175，y≥75的有两件，比例为，因为乙厂生产的产品总数35件，故乙厂生产的优等品的数量为35×=14件．（3）乙厂抽出的上述5件产品中有2件为优等品，任取两件的取法有C52=10种ξ的所有可能取值为0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∴ξ的分布列为：ξ012P故Eξ=．【点评】本题考查分层抽样、样本估计总体、离散型随机变量的分布列和期望等知识，考查利用所学知识解决问题的能力．21.（本小题满分12分）已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩拉样统计，先将800人按001,002，…,800进行编号。（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽取取100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20＋18＋4＝42人，若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a，b的值。（3）在地理成绩为及格的学生中，已知，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率。参考答案：（1）785,667,199,（2）,（3）试题分析：（1）因为从第8行第7列的数开始向右读，每三个数依次为785,916,955,667,199,,其中编号在001,002，…,800中依次为785,667,199.（2）因为数学成绩优秀率为30%，所以数学成绩优秀人数为30，因此又总人数为100，因此，即.（3）因为总人数为100，因此.又，所以满足条件的有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14组，在地理成绩为及格的学生中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少满足有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组.所求概率为.试题解析：解：（1）依题意，最先检测的3个人的编号依次为785,667,199；

…………3分22.已知抛物线（），点在G的焦点F的右侧，且M到G的准线的距离是M到F距离的3倍，经过点M