2022-2023学年吉林省四平市伊通实验中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年吉林省四平市伊通实验中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设命题：曲线在点处的切线方程是：；命题:是任意实数，若，则，则（

）

A.“或”为真

B.“且”为真

C.假真

D.，均为假命题参考答案：A，所以切线斜率为，切线方程为，即，所以为真。当时，，此时，所以命题为假。所以“或”为真，选A.2.设函数f（x）=在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f（x）的值不小于常数e的概率是（）A． B．1﹣ C． D．参考答案：B【考点】CF：几何概型．【分析】1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，以长度为测度，即可求出概率．【解答】解：由题意，0≤x＜1，f（x）＜e，1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，∵f（x）的值不小于常数e，∴1≤x≤e，∴所求概率为=1﹣，故选B．【点评】本题考查概率的计算，考查分段函数，确定以长度为测度是关键．3.函数的图像是

（

）参考答案：B4.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.三棱锥的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为

（

）A．

B． C．

D．参考答案：B略6.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于()．A．1

B.

C．2

D．3参考答案：C7.下列条约中，对英国打击最大，对美国最为有利的是（

）

A.四国条约

B．五国海军条约

C.九国条约

D.凡尔赛和约参考答案：

B8.某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是（）A．4 B． C． D．12参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】画出图形，说明几何体的形状，然后利用三视图的数据求解即可．【解答】解：由三视图可知几何体的图形如图．是三棱柱截去两个四棱锥的几何体，原三棱柱的高为：4，底面是等腰直角三角形，直角边长为2．截去的四棱锥如图：几何体的体积为：﹣=．故选：B．9.已知方程﹣=1表示双曲线，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，∞） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣2）参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用方程表示双曲线，列出不等式求解即可．【解答】解：方程﹣=1表示双曲线，可得（2+m）（m+1）＞0，解得m∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）．故选：C．10.在中，，则是A.等边三角形

B.等腰非等边的锐角三角形C.非等腰的直角三角形

D.等腰直角三角形参考答案：D由得,因为，所以必有且，所以且,所以,即是等腰直角三角形，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的值域为______.参考答案：[－1,2]【分析】利用降次公式和辅助角公式化简函数，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】由，当时，，则，所以.【点睛】本小题主要考查降次公式、辅助角公式的应用，考查三角函数求值域的方法，属于基础题.12.在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为

参考答案：13.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营前年的总利润（单位：万元）与之间的关系为.当每辆客车运营的年平均利润最大时，的值为

.参考答案：14.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于__________.参考答案：【知识点】双曲线【试题解析】双曲线的一个顶点为（0，2），一条渐近线为：y=2x．

所以顶点到其渐近线的距离为：。

故答案为：15.已知函数，则函数的值为____________.参考答案：16.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为x．参考答案：【考点】数列的应用．【分析】第1关收税金：x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金．【解答】解：第1关收税金：x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金：x，即x．故答案为：．【点评】本题考查了数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.设f′（x）为f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，如果f（x）同时满足下列条件：①存在x0，使f″（x0）=0；②存在?＞0，使f′（x）在区间（x0﹣?，x0）单调递增，在区问（x0，x0+?）单调递减．则称x0为f（x）的“上趋拐点”；如果f（x））同时满足下列条件：①存在x0，使f″（x0）=0；②存在?＞0，使f′（x）在区间（x0﹣?，x0）单调递减，在区间（x0，x0+?）单调递增．则称x0为f（x）的“下趋拐点”．给出以下命题，其中正确的是

（只写出正确结论的序号）①0为f（x）=x3的“下趋拐点”；②f（x）=x2+ex在定义域内存在“上趋拐点”；③f（x）=ex﹣ax2在（1，+∞）上存在“下趋拐点”，则a的取值范围为（，+∞）；④f（x）=eaxx2（a≠0），x0是f（x）的“下趋拐点”，则x0＞1的必要条件是0＜a＜1．参考答案：①③④考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；阅读型；导数的综合应用；简易逻辑．分析：①求导f′（x）=3x2，f″（x）=6x；令f″（x）=6x=0解得x=0；再判断单调性从而可得0为f（x）=x3的“下趋拐点”；②求导f′（x）=2x+ex，f″（x）=2+ex；易知f′（x）=2x+ex在R上是增函数，故f（x）=x2+ex在定义域内不存在“上趋拐点”；③求导f′（x）=ex﹣2ax，f″（x）=ex﹣2a，可判断f″（x）=ex﹣2a在定义域上是增函数，从而问题转化为f″（1）=e﹣2a＜0，从而解得；④求导f′（x）=eax﹣x，f″（x）=a?eax﹣1；从而可得a?﹣1=0，即x0=；从而可得＞1，从而解得．解答： 解：①f（x）=x3，f′（x）=3x2，f″（x）=6x；令f″（x）=6x=0解得，x=0；取?=1，则易知f′（x）=3x2在区间（﹣1，0）单调递减，在区间（0，1）单调递增．故0为f（x）=x3的“下趋拐点”，故①正确；②f（x）=x2+ex，f′（x）=2x+ex，f″（x）=2+ex；易知f′（x）=2x+ex在R上是增函数，故f（x）=x2+ex在定义域内不存在“上趋拐点”，故②是假命题；③f（x）=ex﹣ax2，f′（x）=ex﹣2ax，f″（x）=ex﹣2a；易知f″（x）=ex﹣2a在定义域上是增函数，故f（x）=ex﹣ax2在（1，+∞）上存在“下趋拐点”可化为f″（1）=e﹣2a＜0，解得，a＞；故③正确；④f（x）=eaxx2，f′（x）=eax﹣x，f″（x）=a?eax﹣1；∵x0是f（x）的“下趋拐点”，∴a?﹣1=0，∴x0=；∴＞1，∴0＜a＜1；故④正确；故答案为：①③④．点评：本题考查了导数的综合应用及学生对新定义的理解与掌握，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题14分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.

（1）求该椭圆的方程；

（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.参考答案：解：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，…2分

∴

①

…3分又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，

∴

得上交点为，∴

②…4分由①代入②得，解得或（舍去），从而

…6分∴

该椭圆的方程为

…7分（2）∵倾斜角为的直线过点，∴直线的方程为，即，…8分由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，…9分

则得

…10分解得，即

…11分又满足，故点在抛物线上。

…13分所以抛物线上存在一点，使得与关于直线对称。…14分略19.已知等差数列{an}，满足a2=2，a4=4．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则，解得，∴an=a1+（n﹣1）d=n，故an=n．（2），故==．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知a=,.(Ⅰ)若b=，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2,求边b的长。参考答案：(Ⅰ)（Ⅱ）4解析：（I）由正弦定理，得，解得..………2分由于为三角形内角，，则，

………………4分所以，

...………5分（II）依题意，，即，整理得.…………7分又，所以.

………10分另解：由于,所以，解得,

……………7分由于，所以，

....………8分由，所以.由勾股定理，解得.

.………10分.

略21.（12分）已知函数（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）在[1，3]上的最大值和最小值；（Ⅱ）当时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）+3≥0恒成立，求a的取值范围．参考答案：（1）当a=0时，，若f'（x）≥0，则x＜2，若f'（x）＜0，则x＞2．所以当x=2时，函数取得即极大值即最大值f（2）=，因为f（1）=0，f（3）=＞0，所以最小组为0．（2）求导，得，令f'（x）=0，则（ax+1）（2﹣x）=0，当a≠0时，方程二根为和2．因为，所以，由f'（x）＜0得，x或x＜2，此时函数单调递减，由f'（x）＞0，得，此时函数单调递增．（3）由f（x）+3≥0得ax2≥1﹣x﹣3ex，当x=0时，f（x）+3≥0恒成立．当x≠0时，若f（x）+3≥0恒成立，即恒成立，令，只需求其最大值即可．由，得x=2或x=﹣ln3．当﹣ln3＜x＜0或0＜x＜2时，g'（x）＞0，当x＜﹣ln3或x＞2时，g'（x）