辽宁省铁岭市四合中学高三数学理上学期摸底试题含解析

辽宁省铁岭市四合中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，，则下列结论中正确的是（

）A．函数的最小正周期为

B．函数的最大值为1C．将函数的图象向右平移单位后得的图象D．将函数的图象向左平移单位后得的图象 参考答案：C略2.下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是A．y＝

B．y＝

C．y＝

D．y＝tanx参考答案：B3.定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），f（x）=．若关于x的方程f（x）﹣ax=0有5个不同实根，则正实数a的取值范围是（）A．(,) B．(,) C．(16－6,) D．(,8－2)参考答案：D【分析】由题意可得函数f（x）是以4为周期的周期函数，做出函数y=f（x）与函数y=ax的图象，由图象可得方程y=﹣（x﹣4）2+1=ax在（3，5）上有2个实数根，解得0＜a＜8﹣2．再由方程f（x）=ax在（5，6）内无解可得6a＞1．由此求得正实数a的取值范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）是以4为周期的周期函数，做出函数y=f（x）与函数y=ax的图象，由图象可得方程y=﹣（x﹣4）2+1=ax即x2+（a﹣8）x+15=0在（3，5）上有2个实数根，由解得0＜a＜8﹣2．再由方程f（x）=ax在（5，6）内无解可得6a＞1，a＞．综上可得＜a＜8﹣2，故选D．4.设函数的导函数为,且,则(

)A.0

B.2

C.－4

D.－2参考答案：C因为，所以f′(x)=2x+2f′(1)，所以f′(1)=2+2f′(1)，所以f′(1)=－2，所以f′(x)=2x－4，所以f′(0)=－4，故选C.

5.复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是A. B.z的共轭复数为C.z的实部与虚部之和为1 D.z在复平面内的对应点位于第一象限参考答案：D分析：利用复数的四则运算，求得，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．详解：由题意，则，的共轭复数为，复数的实部与虚部之和为2，在复平面内对应点位于第一象限，故选D．点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为．6.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C因为，所以将向右平移个单位得到，其图像关于y轴对称，所以的最小正值是．考点：三角函数图像的特点．7.已知命题P：?x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p是(

) A．?x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．?x∈R，x2+2x+2≤0 C．?x∈R，x2+2x+2＞0 D．?x∈R，x2+2x+2≥0参考答案：C考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答： 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题P：?x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p是：?x∈R，x2+2x+2＞0．故选：C．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．8.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．3024 B．1007 C．2015 D．2016参考答案：A【考点】程序框图．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+（2016+1）=6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S值是3024．故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是模拟程序运行的过程，得出程序运行后输出的算式的特征，是基础题目．9.在中，，三边长a，b，c成等差数列，且，则b的值是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D10.（5分）已知x，y满足（x﹣1）2+y2=16，则x2+y2的最小值为（）A．3B．5C．9D．25参考答案：C考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由圆的方程可得其参数方程，从而可表示x2+y2，即可求得最小值．解答：解：∵（x﹣1）2+y2=16，∴可令x=1+4cosα，y=4sinα，∴x2+y2=（1+4cosα）2+（4sinα）2=17+8cosα，∴cosα=﹣1时，x2+y2的最小值为9．故选C．点评：本题考查圆的方程，考查圆的参数方程，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（几何证明选讲）如图，是圆O的内接三角形，圆O的半径，，，是圆的切线，则_______．参考答案：12.函数的反函数________________．参考答案：13.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD=2DC，若=m+n（m，n∈R），则=参考答案：﹣3【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用．【分析】根据向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算便可由得到，这便可得到m=，从而可以求出．【解答】解：BD=2DC；∴；∴；∴；又；∴；∴．故答案为：﹣3．【点评】考查向量数乘、减法的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．14.已知数列{an}满足an=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，（n∈N*），则f（4）﹣f（3）的值为．参考答案：139略15.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图17－3)．根据频率分布直方图，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．参考答案：60016.已知则_________.参考答案：-217.已知圆锥曲线C：，则当时，该曲线的离心率的取值范围是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，，E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求三棱锥E-ABC的体积．参考答案：（I）见解析；（II）见解析；（III）【分析】（I）连结交于，连结，利用中位线可证明，即可说明平面；（II）由平面平面，底面为矩形可得：，根据勾股定理可得：，由此证明平面；（III）取的中点，连结，可证明平面，由于为中点，则过点作平面的高等于，所以，即可求出三棱锥的体积【详解】（I）连结交于，连结．因为底面是矩形，所以为中点．又因为为中点，所以．因为平面，平面，所以平面．（II）

因为底面为矩形，所以．又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面．因为平面，所以．因为，所以，即．因为，，平面，所以平面．（III））取的中点，连结，因为，是的中点，所以，且，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，因为为中点，所以．所以三棱锥C的体积为．19.从甲、乙两部分中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示．（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并比较两组数据的分散程度（只需给出结论）；（Ⅱ）甲组数据频率分别直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅲ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；茎叶图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由茎叶图能求出甲、乙两组数据的中位数，由茎叶图得到甲组数据比乙组数据更集中．（Ⅱ）由茎叶图分别示求出甲组数据在[60，70）、[70，80）、[80，90）和[90，100）间的频数，再由频率分布直方图能求出a，b，c．（Ⅲ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求出基本事件总数，列举出所取两数之差的绝对值大于20包含的基本事件个数，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图得甲两组数据的中位数为：=78.5，乙两组数据的中位数为：=78.5，由茎叶图得到甲组数据比乙组数据更集中．（Ⅱ）由茎叶图得甲组数据在[60，70）间的频率为1，在[70，80）间的频数为5，在[80，90）和[90，100）间的频数都是2，∴由频率分布直方图得a=×=0.01，b==0.01，c==0.02．（Ⅲ）从甲、乙两组数据中各任取一个，基本事件总数n=10×10=100，所取两数之差的绝对值大于20包含的基本事件有：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（68，91），（68，91），（68，96），（68，96），（69，91），（69，96），（73，96），（75，96），共16个，∴所取两数之差的绝对值大于20的概率p=．【点评】本题考查茎叶图和频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．20.在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.参考答案：(1).(2).分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.详解：（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.21.（本题满分12分）气象部门提供了某地区历年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：日最高气温t（℃）℃℃℃℃℃℃天数612气象部门提供的历史资料显示，六月份的日最高气温不高于℃的频率为．某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t（单位：℃）对西瓜的销售影响如下表：日最高气温t（℃）℃℃℃℃℃℃日销售额（千元）2568（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若把频率看成概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差.参考答案：解：（Ⅰ）由已知得：，∴，∴

，.

………………5分（Ⅱ）结合（Ⅰ）有某水果商六月份西瓜销售额的分布列为：25680.20.40.30.18分∴

；

……10分.

……12分22.已知椭圆的左，右焦点分别为F1、F2，直线与椭圆C相交于P、Q两点；当直线l经过椭圆C的下顶点A和右焦点F2时，的周长为，且l与椭圆C的另一个交点的横坐标为.（1）求椭圆C的方程；（2）点M为内一点，O为坐标原点，满足，若点M恰好在圆上，求实数m的取值范围.参考答案：（1）；（2）或【分析】（1）由椭圆的定义可知，焦点三角形的周长为，从而求出.写出直线的方程，与椭圆方程联立，根据交点横坐标为，求出和，从而写出椭圆的方程；（