黑龙江省哈尔滨市现代中学高三数学理下学期摸底试题含解析

黑龙江省哈尔滨市现代中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若恒成立，则的取值范围是（

）（A）

（B）

(C)

(D)参考答案：【知识点】函数恒成立问题.E8【答案解析】C解析：当x＞0时，ln（x+1）＞0恒成立则此时a≤0当x≤0时，﹣x2+2x的取值为（﹣∞，0]，|f（x）|=x2﹣2xx2﹣2x≥ax﹣1（x≤0）x=0时，左边＞右边，a取任意值都成立．x＜0时，有a≥x+﹣2即a≥﹣4综上，a的取值为[﹣4，0]．故选C．【思路点拨】分x的范围进行讨论，当x＞0时，|f（x）|恒大于0，只要a≤0不等式|f（x）|≥ax﹣1恒成立；x=0时对于任意实数a不等式|f（x）|≥ax﹣1恒成立；x＜0时，把不等式|f（x）|≥ax﹣1取绝对值整理后分离参数a，然后利用基本不等式求解a的范围，最后取交集即可得到答案．2.已知集合，，则集合（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C试题分析：，，故选C.考点：集合的交集运算.3.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是s，则s的值为（

）A．24 B．60 C．96 D．120参考答案：D略4.若变量满足约束条件，则的取值范围是A．[3，+∞)

B．[－8,3]

C．(－∞,9]

D．[－8,9]参考答案：D5.在等腰梯形中，分别是底边的中点，把四边形沿直线折

起后，点，设所成的角分别为（均不为零）.

若，则点的轨迹为（

）

A.直线

B.圆

C.椭圆

D.抛物线参考答案：B6.关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(0,1)单调递减；③f(x)在有2个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是（

）A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③参考答案：A【分析】利用偶函数的定义可判断出命题①的正误；去绝对值，利用余弦函数的单调性可判断出命题②的正误；求出函数在区间上的零点个数，并利用偶函数的性质可判断出命题③的正误；由取最大值知，然后去绝对值，即可判断出命题④的正误.【详解】对于命题①，函数的定义域为，且，则函数为偶函数，命题①为真命题；对于命题②，当时，，则，此时，函数在区间上单调递减，命题②正确；对于命题③，当时，，则，当时，，则，由偶函数的性质可知，当时，，则函数在上有无数个零点，命题③错误；对于命题④，若函数取最大值时，，则，，当时，函数取最大值，命题④正确.因此，正确的命题序号为①②④.故选：A.【点睛】本题考查与余弦函数基本性质相关的命题真假的判断，解题时要结合自变量的取值范围去绝对值，结合余弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.7.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得b=a，再由离心率公式及a，b，c的关系，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，由一条渐近线为y=﹣x，可得=，即b=a，即有e====．故选A．8.设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为(

).A.

B.

C.

D.参考答案：B略9.设全集为实数集，，，则图1中阴影部分所表示的集合是A．

B．C．

D．参考答案：D，由集合运算得结果知阴影部分为,所以，选D.10.集合A={x|－2≤x≤2}，B={y|y=，0≤x≤4}，则下列关系正确的是

A．AB

B．BA

C．AB

D．AB=R参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a∈（0，]，则点f（a）=（cosx﹣sin2x）dx取最大值时，则a=．参考答案：【考点】定积分．【分析】先根据定积分的定义表示出∫0a（cosx﹣sin2x）dx，然后利用三角函数中辅助角公式进行化简，即可求出最值，从而求出此时的a的值．【解答】解：∫0a（cosx﹣sin2x）dx=（sinx+cos2x）|0a=sina+cos2a﹣（sin0+cos0）=sina+（1﹣2sin2a）﹣=﹣sin2a+sinα=﹣（sina﹣）2+，当a=时，∫0a（cosx﹣sin2x）dx取最大值．故答案为：12.第十届中国艺术节在山东济南胜利闭幕，山东省京剧院的京剧《瑞蚨祥》获得“第十四届文华奖﹣﹣文华大奖”，评委给她的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为．参考答案：【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】根据数据的平均数求出x的值，再利用方差的定义求出方差．【解答】解：由题意知去掉一个最高分99和一个最低分87后，所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．∴这组数据的平均数是=×（87+94+90+91+90+90+x+91）=91，解得x=4；∴这组数据的方差是：s2=×[（87﹣91）2+（94﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（90﹣91）2+（94﹣91）2+（91﹣91）2]=．故答案为：．13.随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则_______________

参考答案：略14.已知命题p:R,使则是

.参考答案：15.已知数列{an}的首项a1=m，其前n项和为Sn，且满足Sn+Sn+1=3n2+2n，若对?n∈N+，an＜an+1恒成立，则m的取值范围是

．参考答案：（﹣2，）【考点】8E：数列的求和．【分析】Sn+Sn+1=3n2+2n，n=1时，2a1+a2=5，解得a2．n≥2时，利用递推关系可得：an+1+an=6n﹣1，于是an+1﹣an﹣1=6，因此数列{an}的奇数项与偶数项分别成等差数列，对n分类讨论即可得出【解答】解：∵Sn+Sn+1=3n2+2n，∴n=1时，2a1+a2=5，解得a2=5﹣2m．n≥2时，Sn﹣1+Sn=3（n﹣1）2+2（n﹣1），∴an+1+an=6n﹣1，∴an+an﹣1=6n﹣7，∴an+1﹣an﹣1=6，∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等差数列，a2k=5﹣2m+6（k﹣1）=6k﹣1﹣2m，a2k﹣1=m+6（k﹣1）=6k+m﹣6．∵对?n∈N*，an＜an+1恒成立，∴n=2k﹣1时，6k+m﹣6＜6k﹣1﹣2m，解得m＜．n=2k时，6k﹣1﹣2m＜6（k+1）+m﹣6，解得：m＞﹣2．综上可得m的取值范围是：﹣2＜m＜．故答案为：（﹣2，）．16.已知，均为锐角，，，则_____．参考答案：【分析】先求得的值，然后求得的值，进而求得的值.【详解】由于为锐角，且，故，.由，解得，由于为锐角，故.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.17.设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tanα的值是．参考答案：﹣【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】依题意，利用二倍角的正弦可得cosα=﹣，又α∈（，π），可求得α的值，继而可得tanα的值．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，∴cosα=﹣，又α∈（，π），∴α=，∴tanα=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系与二倍角的正弦，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选．（1）求甲得分的数学期望；（2）求甲、乙两人同时入选的概率．参考答案：19.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，点D在线段BB1上，且BD=，A1C∩AC1=E．（Ⅰ）求证：直线DE与平面ABC不平行；（Ⅱ）设平面ADC1与平面ABC所成的锐二面角为θ，若cosθ=，求AA1的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面ADC1∩平面ABC=l，求直线l与DE所成的角的余弦值．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出=（﹣2，3，），平面ABC的法向量为，可得，即可证明直线DE与平面ABC不平行；（Ⅱ）求出平面ADC1的法向量，利用平面ADC1与平面ABC所成的锐二面角为θ，cosθ=，建立方程，即可求得结论．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求出直线l与DE的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，设AA1=h，则．（Ⅰ）证明：由AA1⊥平面ABC可知为平面ABC的一个法向量．∵=（﹣2，3，），∴．∴直线DE与平面ABC不平行．（Ⅱ）设平面ADC1的法向量为，则，取z=﹣6，则x=y=h，故．∴，解得．∴．（Ⅲ）在平面BCC1B1内，分别延长CB、C1D，交于点F，连结AF，则直线AF为平面ADC1与平面ABC的交线．∵BD∥CC1，，∴．∴，∴．由（Ⅱ）知，，故，∴．∴直线l与DE所成的角的余弦值为．20.已知函数，曲线在点处的切线平行于轴．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）证明：当时，．（为自然对数的底数）参考答案：（1）因为．依题意得，即，解得．所以，显然在上单调递增且，故当时，；当，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）证明：①当时，由（1）知，当，取得最小值．又的最大值为，故．②当时，设，所以．令．则，当时，，，所以．当时，，，所以．所以当时，，故在上单调递增，又，所以当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，所以，即．21.(12分)如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求多面体的体积.参考答案：解析：（1）连结，则是的中点，在△中，，且平面，平面，∴∥平面

（2）因为平面，平面,,又⊥，所以，⊥平面，∴四边形是矩形,且侧面⊥平面

取的中点,,且平面.所以，多面体的体积22.(本小题满分12分)

如图,过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点．

（1）设点P满足（为实数），证明：；（2