2022年福建省福州市长庆中学高三数学理下学期摸底试题含解析

2022年福建省福州市长庆中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象大致为参考答案：A本题考查三角函数的图像和奇函数的图像性质。首先由为奇函数，得的图象关于原点对称，排除C、D，又由时，知，所以选A.2.已知数列{}对任意的有成立，若，则等于（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：A3.函数的图象为，①图象关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象，以上三个论断中，正确论断的个数是

（

）A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：C略4.已知函数，则A．在（0,2）单调递增 B．在（0,2）单调递减C．y=的图像关于直线x=1对称 D．y=的图像关于点（1,0）对称参考答案：C5.如图是一名篮球运动员在最近6场比赛中所得分数的茎叶图，则下列关于该运动员所得分数的说法错误的是（）A．中位数为14 B．众数为13 C．平均数为15 D．方差为19参考答案：D【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据茎叶图中的数据，求出这组数据的中位数、众数、平均数和方差即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，该组数据的中位数是=14，A正确；众数是13，B正确；平均数是=×（8+13+13+15+20+21）=15，C正确；平方差是s2=×[（8﹣15）2+（13﹣15）2×2+（15﹣15）2+（20﹣15）2+（21﹣15）2]≈19.7，D错误．故选：D．6.在直角坐标系xOy中，P，Q为单位圆O上不同的两点，P的横坐标为，若，则Q的横坐标是（

）A.－1

B．或

C．

D．或参考答案：B根据三角函数的定义，，先检验，显然不符合题意，排除D；再检验，符合题意，排除C；最后检验，符合题意，故选:B7.已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，1） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．[1，2）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】由f（0）=ln1=0，可得：x=0是函数y=f（x）﹣kx的一个零点；当x＜0时，由f（x）=kx，得﹣x2+x=kx，解得x=﹣k，由x=﹣k＜0，可得：k＞；当x＞0时，函数f（x）=ex﹣1，由f'（x）∈（1，+∞），进而可得k＞1；综合讨论结果，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（0）=ln1=0，∴x=0是函数y=f（x）﹣kx的一个零点，当x＜0时，由f（x）=kx，得﹣x2+x=kx，即﹣x+=k，解得x=﹣k，由x=﹣k＜0，解得k＞，当x＞0时，函数f（x）=ex﹣1，f'（x）=ex∈（1，+∞），∴要使函数y=f（x）﹣kx在x＞0时有一个零点，则k＞1，∴k＞1，即实数k的取值范围是（1，+∞），故选：B．8.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意的x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2010)＋f(2011)的值为

A．－2

B．－1

C．1

D．2参考答案：C∵f(x)是偶函数，∴f(－2010)＝f(2010)．∵当x≥0时，f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为2的周期函数，∴f(－2010)＋f(2011)＝f(2010)＋f(2011)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝0＋1＝1．源9.已知向量a=(—2，4)，b=(—1，m).若a//b，则实数m的值为(A)-(B)-2 (C)2 (D)参考答案：C略10.下列函数中,在上为增函数的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B

解析：，B中的恒成立二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等差数列中，首项公差若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________．参考答案：200【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.【试题分析】等差数列中的连续10项为，遗漏的项为且则，化简得，所以，，则连续10项的和为,故答案为200.12.若数列{an}的通项公式是an=，前n项和为Sn，则Sn的值为

．参考答案：12【考点】极限及其运算．【分析】利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：∵数列{an}的通项公式是an=，前n项和为Sn，∴Sn=4+8+=12．故答案为：12．13.已知集合，则

参考答案：14.已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，且，则

.参考答案：615.设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则=________．参考答案：略16.已知函数的图象与函数y=kx+2的图象没有交点，则实数k的取值范围是．参考答案：[﹣，0]略17.设f(x)在R上是奇函数，且，当时，，则____________.参考答案：【分析】由，结合f(x)是奇函数，求出f(x)周期，根据时，，即可求得.【详解】，，即是定义是上的奇函数，①故，即②故f(x)周期为4又当时，故故答案为：.【点睛】本题考查函数周期性的应用，重点在于得出函数的周期，难点在于对所求式子的化简，属中档题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：

轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．(Ⅰ)求z的值；(Ⅱ)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(Ⅲ)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分x的值如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，设样本平均数为，求≤0.5的概率．参考答案：(Ⅰ)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得，所以n＝2000.则z＝2000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(2分)(Ⅱ)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意，得a＝2.(4分)因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．故P(E)＝，即所求概率为.(8分)(Ⅲ)样本平均数×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0共6个，所以P(D)＝，即所求概率为.(12分)19.在直角坐标系，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为．（1）求的参数方程；（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标．参考答案：（1）（为参数，）（2）

可得的参数方程为（为参数，）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设，由（1）知是以为圆心，1为半么的上半圆．因为在点处的切线与垂直，所以直线与的斜率相同，．故的直角坐标为，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线与圆相切20.设数列的前和为,满足，且.(1)求的值;(2)求数列的通项公式;参考答案：

21.（本小题满分13分）

如图，平面四边形的四个顶点都在球的表面上， 为球的直径，为球面上一点，且平面 ，，点为的中点.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.参考答案：解：(1)证明：且，…………2分 则平行且等于，即四边形为平行四边形，所以.

…………6分 (2)以为原点，方向为轴，以平面内过点且垂直于方向为轴 以方向为轴，建立如图所示坐标系. 则，，， ，，…………8分 由，， 可求得平面PBC的法向量为 由，， 可求得平面PAD的法向量为 则， 因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

…………13分22.某电视台组织部分记者，用“10分制”随机调查某社区居民的幸福指数，现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分（以小数点的前一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福指数不低于9分，则称该人的幸福指数为“极幸福”；若幸福指数不高于8分，则称该人的幸福指数为“不够幸福”．现从这16人中幸福指数为“极幸福”和“不够幸福”的人中任意选取2人，（i）请列出所有选出的结果；（ii）求选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由茎叶图能求出众数和中位数．（2）（i）现从这16人中幸福指数为“极幸福”和“不够幸福”的人中任意选取2人，幸福指数为“不够幸福”的两人设为A，B，幸福指数为“极幸福”的4人设为a，b，c，d，利用列举法能求出所有结果．（ii）利用列兴举法求出选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的基本事件个数，由此能求出选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的概率．【解答】解：（1）由茎叶图得众数是：8.6，中位数是：=8.75．（2）（i）现从这16人中幸福指数为“极幸福”和“不够幸福”的人中任意选取2人