广东省揭阳市葵梅中学2022-2023学年高二数学理下学期摸底试题含解析

广东省揭阳市葵梅中学2022-2023学年高二数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点满足=

(++),则点一定为三角形ABC的

(

)A．AB边中线的中点

B．AB边中线的三等分点(非重心）C．重心

D．AB边的中点参考答案：B2.等差数列中，，，则此数列的前20项和等于（）A.160 B.180 C.200 D.220参考答案：B略3.已知等差数列满足，则有

（

）A．

B． C． D．参考答案：D4.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离都等于a海里，灯塔A在观测站C北偏东75°的方向上，灯塔B在观测站C的东南方向，则灯搭A和B之间的距离为（）A．a海里 B．a海里 C．a海里 D．2a海里参考答案：A【考点】解三角形的实际应用．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】由方位角可得∠BCA=60°，判断出△ABC是等边三角形．【解答】解：∵∠NCA=75°，∠BCE=45°，∴∠BCA=60°，∵AC=BC=a，∴△ABC是等边三角形，∴AB=a．故选：A．【点评】本题考查了解三角形的应用，属于基础题．5.如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()参考答案：A略6.在△ABC中，如果sinA＝2sinCcosB，那么这个三角形是（

）

A.锐角三角形

B．直角三角形

C．等边三角形

D．等腰三角形参考答案：D7.若直线过圆的圆心,则(

)

A．1

B．1

C．3

D．3参考答案：B略8.若函数f（x）的定义域是[-1，1]，则函数

的定义域是A.

B.（0，2]

C.[2，+∞）

D.参考答案：A首先对数真数一定大于0，

中

与f（x）中的x取值一样，从而求出x的范围．

解答：因为f（x）的定义域是[-1，1]，所以，

，又

，

所以，

根据

的单调性知，

所以函数

的定义域为

故选A．

9.点是曲线上任意一点,则点到直线的距离的最小值是（）（A）

１

（B）

（C）

２

（D）

参考答案：B略10.设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（2，4） B．（1，3） C．（1，4） D．（2，3）参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，相减得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2＜y0＜2，∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4≤12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得，，，并在点C测的旗杆顶的仰角为60°，则旗杆高AB为

。参考答案：略12.已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点（填写序号)

①（2，2）

②（1.5，0）

③（1.5，4）

④(1,

2)

参考答案：③;13.用数学归纳法证明不等式：时，第一步应验证n=

时，不等式成立。参考答案：8

略14.已知是虚数单位,则复数的共轭复数是_____________参考答案：15.在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积为

。参考答案：由可得且四边形ABCD是平行四边形，再由可知D在的角平分线上，且以及上单位边长为边的平行四边形的一条对角线长（如图）是，因此，所以。该题由考查向量相等的概念和求摸以及几何意义，由考查向量的加法的几何意义，该题还考查正弦定理面积公式以及转化能力，是难题。

16.200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为辆． 参考答案：76【考点】频率分布直方图． 【专题】计算题． 【分析】先根据“频率=×组距”求出时速不低于60km/h的汽车的频率，然后根据“频数=频率×样本容量”进行求解． 【解答】解：时速不低于60km/h的汽车的频率为（0.028+0.01）×10=0.38 ∴时速不低于60km/h的汽车数量为200×0.38=76 故答案为：76 【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，频数=频率×样本容量，属于基础题． 17.各边长为1的正四面体，内切球表面积为，外接球体积为

．参考答案：【考点】球的体积和表面积．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】画出图形，确定两个球的关系，通过正四面体的体积，求出两个球的半径的比值，即可求棱长为1的正四面体的外接球体积、内切球的表面积．【解答】解：设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O．设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高．设正四面体PABC底面面积为S．将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．每个正三棱锥体积V1=?S?r而正四面体PABC体积V2=?S?（R+r）根据前面的分析，4?V1=V2，所以，4??S?r=?S?（R+r），所以，R=3r，因为棱长为1，所以AD=，所以PD=，所以R=，r=所以棱长为1的正四面体的外接球体积为π?（）2=、内切球的表面积为4π?（）2=，故答案为：，【点评】本题是中档题，考查正四面体的内切球与外接球的表面积，找出两个球的球心重合，半径的关系是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中-ABC中，ABAC，AB=AC=2，=4，点D是BC的中点(I)求异面直线与所成角的余弦值(II)求平面与所成二面角的正弦值．参考答案：(1)以为单位正交基底建立空间直角坐标系,-------------1分则,,,,∴,--------------------------------3分∴∴异面直线与所成角的余弦值为-----------------------6分(2)是平面的的一个法向量----------------7分设平面的法向量为,∵,由∴

取,得,∴平面的法向量为-------------------------------------------9分设平面与所成二面角为.∴,得.∴平面与所成二面角的正弦值为.---------------------------------------12分19.（本题满分10分）已知命题P：；命题：若命题为假命题，且为真命题，求实数的取值范围参考答案：解：命题P：由在可得……2分命题：即方程有实数解

得或……4分为假命题，且为真命题①…7分②取值范围……10分

略20.试比较3－与（n为正整数）的大小，并予以证明．参考答案：见解析【分析】利用作差法可得3－－＝，确定3－与的大小关系等价于比较与2n＋1的大小，利用数学归纳法证明即可.【详解】证明：3－－＝，于是确定3－与的大小关系等价于比较与2n＋1的大小．由2＜2×1＋1，＜2×2＋1，＞2×3＋1，＞2×4＋1，＞2×5＋1，可猜想当n≥3时，＞2n＋1，证明如下：ⅰ当n＝3时，由上可知显然成立．ⅱ假设当n＝k时，＞2k＋1成立．那么，当n＝k＋1时，＝2×＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时猜想也成立，综合ⅰ和ⅱ，对一切n≥3的正整数，都有＞2n＋1．所以当n＝1，2时，3－＜；当n≥3时，3－＞（n为正整数）．【点睛】本题考查大小的比较，考查作差法、考查数学归纳法，考查转化思想，属于中档题.21..已知复数.（1）若z是