多学科角度的金融市场09课件

多学科视角的金融市场北京大学政府管理学院刘霖第九讲复杂性理论一、复杂系统复杂性理论以复杂系统为研究对象。1、复杂系统的概念复杂系统由许多元素构成，这些元素对由它们自己所创建的模式具有适应性和应激性。由于元素的反应，模式发生变化；由于模式的变化，元素重新做出反应。除非达到平衡态或渐近态，复杂系统就一直处于不断演化过程中。经济系统就是复杂系统，而且比自然界中的复杂系统多了一层复杂性：经济元素（人）通过思考其一系列行动可能导致的结果，有策略、有远见地对环境做出反应。考虑这个问题：某社区有一家著名的酒吧，100个人每周必须独立地决定周末是否去酒吧消遣。酒吧在每个周末过后都公布顾客人数。现在的规则是，如果某人预期去酒吧的人达到60个，他就不去，以免拥挤；如果预期去酒吧的人数少于60个，他就去。那么，每周末实际去酒吧的人数会怎么变化呢？这就是一个缩微的复杂系统。有人利用计算机进行模拟，得到连续100个周末酒吧的人数变化情况如下图所示。该图显示周末出席人数围绕60波动，但任一周末的人数是无法预测的。2、复杂系统的特点（1）、秩序与混乱同在复杂系统往往兼具秩序与混乱：从局部来看呈现随机性，从整体来看存在秩序（通常是统计学秩序）。注意，在复杂系统中，秩序与混乱是合为一体的，而不是一个周期性现象叠加噪声。（2）、非线性机制复杂系统本质上具有非线性机制。对于许多复杂系统，往往可以用非线性动力学方程来刻画。复杂系统比简单系统具有更强的生命力。因为它们对于环境的变化以不可预测的方式做出反应，因而可以更有效地竞争。3、混沌与分形混沌理论与分形是复杂理论的两个具体分支。二、分形考虑下面的问题：英国的海岸线有多长？英国的海岸线地图当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。如果尺子小到无限，测得的长度也是无限！结论：你测量的海岸线长度取决于尺子的大小。海岸线的长度是无限的！1、分形的定义一个分形是一个对象，它的部分以某种方式与整体相关。或者说，分形是自相似的。分形形状在空间方面显示自相似性，比如树、海岸线。分形时间序列则在时间方面显示自相似性，即在不同的时间标度上具有类似的统计特征，比如股票价格。试观察股票价格的K线图、收益率序列。2、分形的产生仅仅利用简单的规则，往往就可以创造复杂的分形。（1）、谢尔平斯基三角形画法为：①、从一个实心的等边三角形开始；②、从中央去掉一个等边三角形；③、从剩下的三角形中去掉三角形；④、无限次重复去掉三角形。现在，请你画一个等边三角形ABC：从中随机地选择一点P作为起始点，然后掷骰子，如果掷出1点或2点，就向A移动一半的距离；如果掷出3点或4点，就向B移动一半的距离；如果掷出5点或6点，就向C移动一半的距离。反复掷骰子，你就能得到谢尔平斯基三角形。注意：掷骰子的信息是随机的，在骰子掷出来以前，预测系统的方向是不可能的。但是，系统处理信息的规则是确定的，结果的分布域是有限的，但具体状态的数目是无限的。可见随机性与秩序并存。（2）、科克曲线对于一条给定的线段，将中间三分之一段换为等边三角形的两边，不断重复上述过程。科克曲线的长度也是无限的。3、分形的刻画在欧几里得几何中，我们有维数的概念。点---0维；线---1维；面---2维；体---3维。在分形几何中，Mandelbrot提出了分形维数的概念。将长度为1的线段分为n等分，每段长为r，则n•r=1将面积为1的正方形n等分，每一个小正方形的边长为r，则n•r2=1将体积为1的正方体n等分，每一个小正方体的边长为r，则n•r3=1可见：

D就是该几何体的维数。对上式两边取对数得分形维数：

就科克曲线来说，在第n步时，其等长折线段总数为4n，每段的长度为1/3n，则科克曲线的分形维数为：分形维数是描述复杂系统的最基本参数，它度量系统填充空间的能力，刻划系统的无序性。有人计算，英国海岸线的分形维数为1.25，而挪威海岸线的分形维数为1.52，可见，挪威海岸线更加参差不齐。显然，分形维数可以用来度量变异性。在刻画股票的变异性时，人们常常用标准差这一指标。实际上，由于股票收益率并不服从正态分布，用标准差衡量变异性是不合适的。或许应该用分形维数来刻画。描述的对象层次性自相似性特征长度表达方式维数人类创造的简单的标准物体（连续、可导、规则、光滑）常无有用数学公式0及正整数1或2或3大自然创造的复杂的真实物体（不连续、不可导、不规则、粗糙）有无用迭代语言一般是分数4、分形几何学与欧氏几何学的差异分形几何学欧氏几何学5、R/S分析R/S分析由Hurst提出。H.E.Hurst（1900-1978）是一个水文工作者，他长期工作于尼罗河地区。对于水库控制问题的关注促使他在1940年代就全面研究了有偏随机游走，后来称为分数布朗运动。R/S分析的基本思想是，通过比较被研究序列与独立序列在不同尺度上通过的距离，判别序列是否独立。R/S分析属于非参数方法，它对于被研究的系统所要求的假设很少，具有稳健性强。对于观测数为N的时间序列，Hurst建立了如下关系：其中R表示极差，S表示标准差。

H称为Hurst指数，对于独立序列有H=0.5。若H>0.5，则为趋势增强型序列；若H<0.5，则为均值回复型时间序列。H与分形维数D之间存在对应关系：

H=2-D对上式两边取对数，得因此，可用回归方法来估计H。利用1990-2005期间的上证指数进行R/S分析，得到以下结果：当n<300时当n>300时由此可见：

指数时间序列在300个交易日内不是独立的，存在趋势增强现象；超过300个交易日以后，记忆丧失。三、混沌统计学研究无序中的有序，而混沌则研究有序中的无序。一个确定性的系统可以产生看似随机性的现象，这就是混沌。烟头燃烧产生的烟雾会自动分解。分解时刻是否可以预测？考虑逻辑斯蒂方程：其中a是参数，取值范围是（0，4］，x的取值为（0，1］。在Excel中，我们很容易通过迭代方法来观察逻辑斯蒂方程的解如何随参数a而变化的情况。（参见示例）以参数a为横坐标、以x的稳态值为纵坐标作图，可以看出开始是周期加倍分岔，然后是混沌，混沌区中又有周期