CFD有限差分方法重要概念课件

ComputationalFluidDynamics计算流体力学（CFD）第四讲：有限差分方法——关于一些重要概念CFD

涉及的几个方面:

1、计算机技术2、流体力学知识（空气动力学）3、偏微分方程数值求解技术

计算网格技术＋差分离散格式差分解广泛应用的是有限差分法、有限体积法。在离散的网格单元上对流体力学控制方程的偏导数项进行差分近似，形成差分方程，求解差分方程得到数值解。CFD

课程涵盖的主要内容：流动空间的离散化（网格生成）流动控制方程的差分近似（差分方程）差分方程的求解技术差分方程毕竟不是原微分方程，所以必须对差分解所涉及的方方面面进行理论上的把握有关差分格式及差分方程的一些重要概念如果偏微分方程的解存在且唯一，且解连续地依赖于给定的初始条件和边界条件，则问题是适定的。在试图得到一个数值解之前，检查问题是否适定非常重要。因为不正确或是不准确的边界条件及初始条件有时也会取得数值解。适定性问题差分方程与原微分方程相比是有所不同的。在一定的离散格式下，差分方程总对应有一个截断误差

R。如果以

h

表示空间方向步长、t

表示时间方向步长。离散精度分为：一阶精度：O(h)、O(t)二阶精度：O(h2)、O(t2)关于差分方程的精度关于差分方程的相容性—截断误差

差分方程与微分方程的差别是截断误差R。我们希望，必要时通过缩小空间步长

h

和时间步长

t，使得这一误差应可缩小至尽可能小。当h0

和

t0

时，若

R0，则差分方程趋于微分方程，表示这两个方程是一致的，这时称该差分方程与微分方程是相容的。检查相容性是为了保证某一格式的差分方程确是该微分方程的近似方程。前面我们说了差分格式及其精度要求，在数值求解过程中差分方程若能保持格式精度，哪怕只有一阶，其误差毕竟是有限的。但是有些精度分析起来很高的格式，计算出来的结果却是完全错误的。差分解的收敛性与稳定性

CFD

理论中，只保证相容性与格式精度是不够的。差分解中还有一些规律在起作用：?关于差分解的收敛性差分方程的截断误差

R（是由微分方程差分方程时带来的误差）若令U是精确满足原微分方程的解，没有误差。将微分方程离散成差分方程后，方程就有了截断误差

R，因此数值解也不再是U，而是U+∆=V。

∆

是方程离散求解过程中带来的，称为解的离散误差。∆

虽由截断误差

R

造成，但它只是解的误差，而

R

却是差分方程的误差，二者并不相同。我们定义V

为差分方程的精确解，即在没有舍入误差时精确的满足差分方程的解。V

和

U

的差别仅仅反映截断误差的影响，而没有舍入误差的影响。这时，称差分方程的精确解V收敛于微分方程的解U，称此差分格式为收敛的格式。

V与U的差别是

∆，我们希望，必要时，通过缩小网格尺寸h与时间步长t，不仅截断误差R，而且离散误差∆都应缩小至尽可能的小，在求解区域内任一离散节点上，当h0和t0时，若∆0，则VU，表示这两种解的确是相符合的。

R

是当地离散点上用差分方程代替微分方程的截断误差，只由当地网格点上的泰勒级数确定；而离散误差∆不仅与

R

有关，而且是计算过程中时空误差一步步的积累，这就是我们将截断误差与舍入误差区分开来考察的原因。

R0并不意味着∆

也0。相容的格式也可能不收敛，因此任何格式在检查了相容性之后，必须再检查收敛性。数值计算时，除了计算机的舍入误差（字长有限的原因）外，初始条件或方程中某些常数项也有可能给的不尽精确。舍入误差和这些误差在计算过程中可能一步步积累与传递，误差的传递，有时可能变大有时可能变小。某一步舍入误差放大或缩小的问题，称为差分解的数值稳定性问题。关于差分解的稳定性—舍入误差稳定性这一问题最初是用来描述物理现象的：

物理上的稳定现象物理上的不稳定现象

求解差分方程时，某一计算步的舍入误差对其后各步的影响若逐步缩小或保持有界，则称数值解是稳定的，也称该差分格式是稳定的；若逐步放大，则称数值解不稳定的，也称该格式不稳定的。这种稳定性是数值误差的缩小或放大，故称为数值稳定性问题。稳定的格式只是说明，一旦某步有了舍入误差，它对其后各步的影响将逐步缩小或保持有界。实际上，每步还会产生自己当地新的舍入误差。总舍入误差一般比当地的舍入误差大。积累的结果总是使总舍入误差更大。稳定的格式，应能估计误差的最坏的可能组合。

不稳定的格式会使某一步的舍入误差逐步放大，因而不能使用。

收敛性与稳定性是两个不同的概念，分别属于方程离散过程中和上机计算过程中的两个不同环节。只有既收敛又稳定的格式才能得到有用的结果。有的格式的稳定性很容易检验，而收敛性却很难判断。另一些格式则收敛性容易检验而稳定性很难判断。这直接妨碍了对差分格式的全面判断。关于收敛性与稳定性的关系在实践中，收敛性与稳定性往往联系在一起。在定理所述条件下，只需证明稳定，便知它是收敛的；只需证明收敛，便知它是稳定的。避开了既需独立证明稳定，又需独立证明收敛的困难。LAX

等价定理：对适定的线性初值问题来说，如果差分方程与微分相容，则稳定是收敛的充分必要条件。

LAX

等价定理只适用于线性问题，对于非线性问题，则尚未找到相应规律。任何差分格式，应尽量证明了它的收敛性与稳定性之后，再去使用。判断收敛性的方法：1、直接检验法2、数值试验法3、收敛性可借

LAX

等价定理来间接判断判断稳定性的方法：1、直观试验法2、vonNeumann

的傅立叶谐波分析法3、稳定性分析的矩阵方法一个差分格式是否具有收敛性有它本身深刻的物理根源，即差分格式的“信息依赖域”是否正确。流体力学流动方程复杂，稳定条件常常很难判断。可以试着分析它的信息依赖域，先判断它的收敛性，再借助LAX

等价定理来间接判断稳定性。若一个差分方程里只有一个未知数，可以很明显地求出解来，则称为显式差分格式。若一个差分方程里有两个或两个以上的未知数，就不能十分明显地求出解来，而需求解联立方程，则称为隐式差分格式。

关于显式格式与隐式格式

CFL条件：

双曲型方程显式差分格式收敛的必要条件：差分方程的依赖域必须包括相应微分方程的依赖域（从而把特征线也包括在内）。

这条规律还没有严格的证明，但它通常都符合实际，所以很有实用意义。CFL

条件只是收敛的必要条件而不是充分条件。满足CFL

条件只保证差分格式有了正确的信息依赖域。考虑到流体力学方程求解费时，一个好的差分格式应具有高的运算效率，尽量节省计算机时，快速地收敛到所需的解。设计差分格式的基本要求：准、稳、快Modeling(governingequations)ConvectionPiezometricpressuregradientViscoustermsLocalaccelerationContinuityequationEquationofs