2022年湖南省常德市尧河中学高三数学理期末试卷含解析

2022年湖南省常德市尧河中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是（

）

参考答案：A2.规定，若，则函数的值域A．

B．

C．

D．参考答案：A3.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S—ABC的体积为

A．

B．

C．

D．参考答案：4.（5分）（2015?陕西校级二模）圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+y2=5B．x2+（y﹣2）2=5C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5D．（x+1）2+（y+1）2=5参考答案：D【考点】：圆的标准方程．【专题】：直线与圆．【分析】：根据已知圆的圆心求出关于直线x﹣3y﹣5=0对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果．解；由圆（x+2）2+y2=5可知，圆心（﹣2，0），半径r=．设点（﹣2，0）关于直线x﹣y+1=0对称的点为（x，y），则，解得．∴所求圆的圆心为（﹣1，﹣1）．又∵半径r=．∴圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=5．故选：D．【点评】：本题考查点关于直线对称问题，圆的标准方程等知识，属于中档题．5.已知全集，集合，则（

）A.(1,2) B.(1,2] C.(1,3) D.(－∞,2]参考答案：B【分析】化简集合A,B,根据补集，交集的运算求解即可.【详解】由可得，可得，所以集合,，所以，故选B.6.8名奥运志愿者，其中男生6人、女生2人.现从中按性别分层随机抽4人去“鸟巢”和“水立方”实地培训，每处2人，其中女生不能去“鸟巢”.则不同的选派方法有

A.40种

B.80种

C.120种

D.240种参考答案：答案：C7.已知命题：函数的最小正周期为；命题：若函数为偶函数，则关于对称.则下列命题是真命题的是（

）

A. B.

C.

D.参考答案：D略8.设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是(

) A． B． C． D．参考答案：D考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，区域D：表示矩形，面积为3．到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，求出阴影部分的面积，即可求得本题的概率．解答： 解：区域D：表示矩形，面积为3．到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，则图中的阴影面积为+=∴所求概率为P=故选：D．点评：本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离小于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．9.记,，则这三个数的大小关系是．

．

．

．参考答案：由比较法不难得出，构造函数，知此函数在区间上为减函数，从而得到即10.如图，点列{An}、{Bn}分别在锐角两边（不在锐角顶点），且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*（P≠Q表示点P与Q不重合），若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（）A．{dn}是等差数列 B．{Sn}是等差数列C．{d}是等差数列 D．{S}是等差数列参考答案：B【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不确定，判断C，D不正确，设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1，由Sn=d?hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，进而得到数列{Sn}为等差数列【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不确定，则{dn}不一定是等差数列，{dn2}不一定是等差数列，设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，由三角形的相似可得==，==，两式相加可得，==2，即有hn+hn+2=2hn+1，由Sn=d?hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，则数列{Sn}为等差数列．故选：B．【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，则这个几何体的体积是

．参考答案：24【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图想象出空间几何体，代入数据求体积即可．【解答】解：由三视图可知，这个几何体是由一个三棱柱截去了一个三棱锥，其中三棱柱的体积V1=×3×4×5=30，三棱锥的体积V2=3×4×3=6．故这个几何体的体积V=30﹣6=24故答案为24．【点评】本题考查了学生的空间想象力，属于基础题．12.直线截得的弦AB的长为

。参考答案：8试题分析：由题意可得：圆心到直线的距离，所以被圆截得弦长为。考点：圆的性质.13.观察下列等式照此规律，第n个等式为

.参考答案：略14.对于连续函数和,函数在闭区间［］上的最大值为与在闭区间［］上的“绝对差”，记为则=

参考答案：略15.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点（其中M点在第一象限），若，则直线l的斜率为

．参考答案：设倾斜角为，则

16.若函数，则等于

参考答案：17.有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__________。参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C的方程为y2=4x（x＞0），曲线E是以F1（﹣1，0）、F2（1，0）为焦点的椭圆，点P为曲线C与曲线E在第一象限的交点，且．（1）求曲线E的标准方程；（2）直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）依题意，c=1，，利用抛物线的定义可得，由此能求出曲线E的标准方程．（2）设直线l与椭圆E交点A（x1，y1），B（x2，y2），A，B的中点F2的坐标为（x0，y0），设直线方程为y=kx+m（k≠0，m≠0）与联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由△＞0，得4k2﹣m2+3＞0，由韦达定理得AB的中点（，），代入曲线C的方程为y2=4x（x＞0），得9m=﹣16k（3+4k2），由此能求出直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：（1）依题意，c=1，，利用抛物线的定义得，∴P点的坐标为…，又由椭圆定义得．…∴b2=a2﹣c2=3，所以曲线E的标准方程为．…（2）设直线l与椭圆E交点A（x1，y1），B（x2，y2），A，B的中点M的坐标为（x0，y0），设直线方程为y=kx+m（k≠0，m≠0）与联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由△＞0，得4k2﹣m2+3＞0，①…由韦达定理得x1+x2=﹣，，∴x0=，，将中点（，）代入曲线C的方程为y2=4x（x＞0），整理，得9m=﹣16k（3+4k2），②…将②代入①得162k2（3+4k2）＜81令∵x∈（1，eb）t=4k2（t＞0），则64t2+192t﹣81＜0，∴，∴．…19.(本小题满分13分)已知函数．(Ⅰ)求函数的最小正周期及最小值；(Ⅱ)若，且，求的值．参考答案：．

………4分(Ⅰ)函数的最小正周期为，

函数的最小值为．

………6分(Ⅱ)由得．所以．

………8分又因为，所以，

………10分所以或．所以或．

………13分20.某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πx

Asin（ωx+φ）05

﹣50（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可得解．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）050﹣50且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．21.(本小题满分14分)设上的两点，已知向量，,若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线过椭圆的焦点（0，c），（c为半焦距），求直线的斜率的值；（Ⅲ）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）

椭圆的方程为

………………3分（Ⅱ）由题意，设的方程为

由已知得：

……7分(Ⅲ)（1）当直线AB斜率不存在时，即,由

………………8分又在椭圆上，所以所以三角形的面积为定值.

……9分（2）当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b

……10分

………12分

所以三角形的面积为定值.

………14分

略22.国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同．某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD如图所示，其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图象）．每队有3人“成功”获一等奖，2人“成功”获二等奖，1人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．（Ⅰ）求某队员投掷一次“成功”的概率；（Ⅱ）设X为某队获奖等次，求随机变量X的分布列及其期望．参考答案：【考点】定积分在求面积中的应用；几何