广东省揭阳市仙庵中学高三数学理测试题含解析

广东省揭阳市仙庵中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合M＝｛|｝，N＝｛｝，则MN＝

（

）

A．?

B．{|31}

C．｛|>1｝

D．{|31或<0}

参考答案：C略2.在中，角的对边分别为，满足，则角C的值为 （A） （B） （C） （D）参考答案：C考点：余弦定理正弦定理由正弦定理有：

所以由得：即

所以由余弦定理有：

故答案为：C3.已知函数y=sin4x-cos4x是一个（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数参考答案：B,故选B.4.命题：，命题：，则下列命题为真命题的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】命题及其关系A2【答案解析】D

命题：为假命题，命题：假命题，所以为真命题,故选D。【思路点拨】根据命题间的关系判断真假。5.给定圆:及抛物线：过圆心作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为如果线段的长按此顺序构成一个等差数列,则直线的斜率为（

）A．

B．

C． D．参考答案：C6.在正项等比数列中，已知，，，则

A.11

B.12

C.14

D.16参考答案：C由与可得，，因此，所以，故选C.7.执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，求出s=时n的值是11，得到n=12时，s＞，输出n的值为12．【解答】解：第一次循环，s=，n=2，第二次循环，s=+，n=3，第三次循环，s=++，n=4，…，第m次循环，s=+++…+=（1﹣）=，解得：m=10，n=m+1=11，第m+1次循环，s＞，n=12，输出n=12；故选：C．8.若集合，，则（

）A．{1,2}

B．[1,2]

C．(1,2)

D．参考答案：A9.若函数y=f(x)的大致图像如图所示，则f(x)的解析式可以为（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】通过奇偶性分析排除B，D两个选项，通过极限思想取值选出选项.【详解】对四个选项解析式分析发现B，D两个均为偶函数，图象关于y轴对称，与题不符，故排除；极限思想分析，，A错误；，C符合题意.故选：C【点睛】此题考查函数图象与解析式的关系，是对函数基本性质的综合应用，解题中需要注意观察函数定义域，单调性，奇偶性，周期性，特殊值等性质，对图像进行辨析，考查综合能力.10.，当时，有，则应满足的关系一定是A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知样本，，，，的平均数为1，方差为2，则，，，，的平均数和方差分别是________.参考答案：4,2【分析】根据平均数和方差的性质直接求解即可.【详解】由平均数的性质知：每个数加上同一个数，平均数也加上同一个数

由方差的性质知：每个数加上同一个数，方差不变

本题正确结果：，【点睛】本题考查平均数和方差的性质应用，属于基础题.12.函数y=sin2x的最小正周期是

．参考答案：π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，可得结论．【解答】解：函数y=sin2x的最小正周期是=π，故答案为：π．13.（5分）直线3x+4y﹣15=0被圆x2+y2=25截得的弦AB的长为．参考答案：8x2+y2=25的圆心坐标为（0，0）半径为：5，所以圆心到直线的距离为：d=，所以|AB|==4，所以|AB|=8故答案为：814.经过点A(－5,2)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程

是________．参考答案：2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0略15.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm的概率为．参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：计算题；概率与统计．分析：结合频率分步直方图分析可得，棉花纤维的长度小于20mm的有三组，计算可得每一组包含的棉花纤维的数目，将其相加即可得长度小于20mm的棉花纤维的数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，棉花纤维的长度小于20mm的有三组，[5，10）这一组的频率为5×0.01=0.05，有100×0.05=5根棉花纤维在这一组，[10，15）这一组的频率为5×0.01=0.05，有100×0.05=5根棉花纤维在这一组，[15，20）这一组的频率为5×0.04=0.2，有100×0.2=20根棉花纤维在这一组，则长度小于20mm的有5+5+20=30根，则从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，其长度小于20mm的概率为=；故答案为．点评：本题考查频率分步直方图的应用，涉及古典概型的计算；关键是16.有下列命题:①若，则一定有;

②将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像③命题“若，则或”得否命题是“若，则”④方程表示圆的充要条件是．

⑤对于命题：,使得，则：，均有其中假命题的序号是

参考答案：①③④略17.二项式展开式的第三项系数为，则．参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A1沿CC1折起如图2所示，连接B1C，B1A，B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，证明C1C⊥平面OAB1；（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角C﹣AB1﹣A1B的余弦值．【解答】证明：（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，∴△ACC1，△B1CC1，为正三角形，则AO⊥CC1，OB1⊥C1C，又∵AO∩OB1=O，∴C1C⊥平面OAB1，∵AB1?平面OAB1∴AB1⊥CC1；（2）∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，∴AC=2，OA=，OB1=，若AB1=，则OA2+OB12=AB12，则三角形AOB1为直角三角形，则AO⊥OB1，以O为原点，以0C，0B1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0，），则=（﹣2，0，0），则==（﹣2，0，0），=（0，，﹣），=（﹣1，0，﹣），设平面AB1C的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则y=1，x=﹣，则=（﹣，1，1），设平面A1B1A的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则x=0，y=1，即=（0，1，1），则cos＜，＞===由于二面角C﹣AB1﹣A1是钝二面角，∴二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值是﹣．19.已知椭圆（）的离心率为，且经过点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，试问在x轴上是否存在定点Q使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.参考答案：(1)(2)见解析【分析】（1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.【详解】(1)由题意可得，，又，解得，.所以，椭圆的方程为(2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.设，，定点.(依题意则由韦达定理可得，，.

直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数.

所以，，即得.又，，所以，，整理得，.从而可得，，即，所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立.特别地，当直线为轴时，也符合题意.综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.20.通常把大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称为可入肺颗粒物)称为PM2.5.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，空气质量与PM2.5的关系如下表：空气质量一级二级超标日均值(微克/立方米)35以下35～7575以上某城市环保局从该市城区2013年冬季每天的PM2.5监测数据中随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．（Ⅰ）从这10天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ)从这10天的数据中任取三天的数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：解：（Ⅰ）记“至少有一天空气质量达到一级”为事件,则为“没有一天达到一级”

（Ⅱ）由题知

则分布列为

则略21.设关于的一元二次方程(1)若是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率。(2)若是从区间

任取的一个数，b是从区间任的一个数，求上述方程有实根的概率。参考答案：(1)p=

；(2)p=

略22.如图，在长方体中，是棱的中点，点在棱上，且（为实数）。

（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小；（2）试问：直线与直线能否垂直？请说明理由。参考答案