湖南省衡阳市县滨江中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析

湖南省衡阳市县滨江中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，若，则△ABC是(

)A.等边三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形参考答案：D2.已知是定义在上的奇函数，则的值为（

）．A． B． C． D．参考答案：B∵是定义在上的奇函数，∴，即，且，∴．故选．3.已知集合，则的值域为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先求出集合，化简=，令，得由二次函数的性质即可得值域.【详解】由，得，，令，，，所以得，在上递增，在上递减，，所以，即的值域为故选：A【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题4.复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：A5.已知角的终边过点，且，则的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C6.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A7.若，函数在处有极值，则ab的最大值是（

）A．9

B．6

C．3

D．2参考答案：A求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件，利用基本不等式求出ab的最值解：由题意，求导函数f′（x）=12x2-2ax-2b，∵在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号,以ab的最大值等于9,答案为A

8.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D，所以对应点在第四象限，答案选D.9.已知偶函数在R上的任一取值都有导数，则且则曲线在处的切线的斜率为

（▲）

A.-1

B.-2

C.1

D.2参考答案：A略10.若点P是函数上任意一点，则点P到直线的最小距离为

（

）A．

B．

C．

D．3参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为________________.

参考答案：略12.在△中，角所对的边分别为，已知，，．则=

参考答案：略13.实数x，y满足，若2x﹣y≥m恒成立，则实数m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣]【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，由2x﹣y≥m恒成立，即求2x﹣y的最小值，设z=2x﹣y，利用其几何意义求最小值【解答】解：x，y满足的平面区域如图：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，当经过图中的A时z最小，由，得A（）．所以z的最小值为2×﹣=﹣所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]；故答案为：（﹣∞，﹣]．14.已知，则

.参考答案：略15.设P为双曲线右支上的任意一点，O为坐标原点，过点P作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点，则平行四边形PAOB的面积为．参考答案：15【考点】双曲线的简单性质．【分析】方法一：设P的参数方程，求得直线PA的方程，将y=x代入，求得A和B点坐标，根据平行四边形PAOB的面积即公式可求得平行四边形PAOB的面积；方法二：设P点坐标，求得PA方程，将y=x代入即可求得A点坐标，利用点到直线的距离公式，d=，则S=2S△OPA=|OA|?d，即可求得平行四边形PAOB的面积．【解答】解：方法一：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，不妨设P为双曲线右支上一点，其坐标为P（6secφ，5tanφ），则直线PA的方程为y﹣5tanφ=﹣（x﹣6secφ），将y=x代入，解得点A的横坐标为xA=3（secφ+tanφ）．同理可得，点B的横坐标为xB=3（secφ﹣tanφ）．

设∠AOF=α，则tanα=．∴平行四边形PAOB的面积为S□PAOB=|OA|?|OB|?sin2α=??sin2α=?sin2α=?tanα=18×=15，平行四边形PAOB的面积15，方法二：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，P（x0，y0）直线PA的方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），直线OB的方程为y=x，，解得xA=（6y0+5x0）．又P到渐近线OA的距离d==，又tan∠xOA=∴cos∠xOA=，∴平行四边形OQPR的面积S=2S△OPA=|OA|?d==×丨6y0+5x0丨×=×900=15，故答案为：15．16.若，则的大小关系是______参考答案：试题分析：又考点：指数函数、对数函数的性质17.若长方体的长、宽、高分别为1、2、3，则该长方体的外接球的表面积为 .参考答案：14π三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲：已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）原不等式等价于或

解得：.即不等式的解集为．

……5分（Ⅱ）不等式等价于，因为，所以的最小值为4，于是，即，所以或．19.已知平面向量a＝(1，2sinθ)，b＝(5cosθ，3)．（1）若a∥b，求sin2θ的值；（2）若a⊥b，求tan(θ＋)的值．参考答案：解：（1）因为a∥b，所以1×3－2sinθ×5cosθ＝0，

…………3分即5sin2θ－3＝0，所以sin2θ＝．

…6分（2）因为a⊥b，所以1×5cosθ＋2sinθ×3＝0．

…8分所以tanθ＝－．

…10分所以tan(θ＋)＝＝．

…14分20.已知．（1）求不等式的解集；（2）设m、n、p为正实数，且，求证：．参考答案：(1)(2)见证明【分析】（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）先求得，结合，利用基本不等式可得结果.【详解】（1）①时，，由，∴，∴，即，②时，，由，∴，∴，即，③时，，由，∴，∴，可知无解，综上，不等式的解集为；（2）∵，∴，∴，且为正实数∴，∵，，，∴，∴又为正实数，∴可以解得．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．21.点为抛物线上一定点，斜率为的直线与抛物线交于两点.（Ⅰ）求弦中点的纵坐标;（Ⅱ）点是线段上任意一点（异于端点），过作的平行线交抛物线于两点，求证：为定值.参考答案：解答：（Ⅰ）（*）所以，.（Ⅱ）设，直线：，联立方程组，所以，，同理.由（*）可知：，所以，即所以，即22.已知矩阵，在平面直角坐标系xOy中，直线在矩阵A对应的变