新教材人教A版5.4.2正弦函数余弦函数的性质(一)课件（37张）

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)必备知识·自主学习(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的_____，那么这个最小_____就叫做f(x)的最小正周期.(3)本质：随着自变量的取值周期性出现相同的函数值.(4)应用：函数的周期性是函数重要性质，是高考的常见考查知识点，在生活中也有很多的应用.正数正数【思考】周期函数都有最小正周期吗？提示：周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f(x)=c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y=sinxy=cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期________奇偶性___函数___函数2π2π奇偶【思考】正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)若，则是函数y=sinx的一个周期. ()(2)若存在正数T，使f(x+T)=-f(x)，则函数f(x)的周期为2T. ()(3)函数y=是奇函数. ()提示：(1)×.因为对任意x，sin与sinx并不一定相等.(2)√.f(x+2T)=f[(x+T)+T]=-f(x+T)=-[-f(x)]=f(x)，所以f(x)的周期为2T.(3)×.函数y=的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z}，不关于原点对称，故非奇非偶.2.函数f(x)=sin2x为 ()【解析】选A.f(x)=sin2x的定义域为R，f(-x)=sin2(-x)=-sin2x=-f(x)，所以f(x)是奇函数.3.(教材二次开发：例题改编)函数f(x)=cos的最小正周期是_____.

【解析】令u=，则cos=cosu是周期函数，且最小正周期为2π.所以cos(u+2π)=cosu，所以f(x)=的最小正周期为4π.答案：4π关键能力·合作学习类型一求函数的周期(数学运算)【题组训练】

1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)f(x)=-1，则f(x)的周期为()2.函数f(x)=sin的周期为 ()3.函数f(x)=|cosx|的周期为_______.

【解析】1.选B.因为f(x+2)f(x)=-1，所以函数f(x)是周期函数，4是一个周期.所以周期为π.3.y=|cosx|的图象如图(实线部分)所示，

由图象可知，y=|cosx|的周期为π.答案：π【解题策略】求三角函数周期方法(1)定义法：找一个非零常数T，使得定义域内的每一个x，都有f(x+T)=f(x)，那么这个函数的周期为T.(2)公式法：将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式，再利用T=求得；(3)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期.【补偿训练】下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是()

【解析】选D.对于D，x∈(-1，1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数.类型二三角函数奇偶性的判断(逻辑推理)【典例】1.函数y=sin的图象 ()C.关于原点对称 D.关于直线对称2.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx)；(2)f(x)=【思路导引】1.依据f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)推导函数的奇偶性，再根据奇偶函数的性质判断即可.2.先求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，函数为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，则用定义判断函数的奇偶性.【解析】1.选B.因为y=sin=cosx，又因为cos(-x)=cosx，为偶函数，所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于y轴对称.2.(1)由得-1<sinx<1，解得定义域为

所以f(x)的定义域关于原点对称.又因为f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx)，所以f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)]=lg(1+sinx)-lg(1-sinx)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)因为1+sinx≠0，所以sinx≠-1，所以x∈R且x≠2kπ-，k∈Z.因为定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.【解题策略】函数奇偶性的判断方法(1)判断函数奇偶性应把握两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(-x)的关系.(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.【跟踪训练】1.函数f(x)=cos是 ()【解析】选A.因为f(x)=cos=cos=sin，所以f(-x)=sin=-sin=-f(x).所以f(x)是奇函数.2.若函数f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ等于 ()【解析】选C.因为f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，所以φ=+kπ，k∈Z.又因为0≤φ≤π，所以φ=.类型三三角函数周期性、奇偶性的综合应用(数学运算、逻辑推理)角度1三角函数周期性、奇偶性的判断

【典例】下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是 ()A.y=cos|2x| B.y=|sin2x|C.y=sin D.y=cos【思路导引】根据函数的图象判断选项A，B中函数的奇偶性，化简选项C，D中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性.【解析】选D.y=cos|2x|是偶函数，y=|sin2x|是偶函数，y=sin=cos2x是偶函数，y=cos=-sin2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T=π.【变式探究】设函数f(x)=sin，x∈R，则f(x)是 ()C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数【解析】选B.因为sin=-sin=-cos2x，所以f(x)=-cos2x.又f(-x)=-cos(-2x)=-cos2x=f(x)，所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.角度2三角函数周期性、奇偶性的应用

【典例】定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)=sinx，则f= ()A.- B. C.- D.【思路导引】先依据函数的周期为π化简f；再依据f(x)是奇函数及当x∈时f(x)=sinx求值.【解析】选C.因为f(x)的最小正周期为π，所以f=f=f=f=f，因为f(x)为奇函数，所以f=-f，又因为当x∈时，f(x)=sinx，所以f=-f=-sin=-.【解题策略】利用周期性、奇偶性求函数值利用周期函数的性质求函数值时，先把函数加减正数个周期，把函数化简，再结合函数的奇偶性求解.【题组训练】1.若函数y=f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)=3，则f(5)=_______.

2.若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f=1，则f=_______.

【解析】1.由已知得f(x+3)=f(x)，f(-x)=-f(x)，所以f(5)=f(2)=f(-1)=-f(1)=-3.答案：-32.f=答案：1【补偿训练】定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f=1，则f的值为()【解析】选B.f=f=f=-f=-1.课堂检测·素养达标1.函数f(x)=sin，x∈R的最小正周期为 ()【解析】选D.T==4π.2.(教材二次开发：练习改编)函数y=cos(x∈R)是 ()【解析】选A.y=cos=-sinx，所以此函数为奇函数.3.函数y=4sin(2x+π)的图象关于 ()C.y轴对称 D.直线x=对称【解析】选B.y=4sin(2x+π)=-4sin2x，所以原函数为奇函数，所以原函数图象关于原点对称.4.函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)=3，则f