2 2课时基本不等式应用2020 2021学年高一数学新配套课件人教版必修第一册

2.2

基本不等式成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.学习目标1自主学习基本不等式x＋y2≥

xy。②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值4

.(3)讨论等号成立的条件是否满足.求最值应注意：x，y是

正数

.①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2

P

；1S2思考1

利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？答案

利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.x思考

2

x＋1的最小值是

2

吗？1答案

只有当

x>0

时，才有

x＋x≥x2

x·1＝2，即x1＋x的最小值是2；1当x<0

时，x＋x没有最小值，1x

1

x此时x＋＝－(－x)＋－≤－2

1

x(－x)－

＝－2，1即当x<0

时，x＋x的最大值是－2.1.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是

50

.解析

∵m2＋n2≥2mn，∴mn≤m2＋n22＝50.当且仅当m＝n＝±52时，等号成立.小试牛刀x－2y2.不等式(x－2y)＋

1

≥2

成立的前提条件为

x>2y.解析

因为不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以x－2y>0，即x>2y.2经典例题题型一 利用基本不等式求最值12例

1

(1)若

x<0，求

x

＋3x的最大值；解

因为x<0，12x12

x

所以

＋3x＝－－

＋(－3x)≤－2－12

x

·(－3x)＝－12，x当且仅当－12

3x，即

x＝－2

时，等号成立，＝－所以12x

＋3x

的最大值为－12.8

1(2)已知x>0，y>0，且满足x＋y＝1.求x＋2y

的最小值.8

1解

因为

x>0，y>0，x＋y＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)·

x8

1y＋

＝8＋16y

xx

y＋

＋2＝10＋16y

xx

y＋

≥10＋216＝18当且仅当16y x，即

x＝12，y＝3

时等号成立，x

＝y所以x＋2y的最小值为18.解

因为x>0，y>0，由x＋8y＝xy，两边同时除以xy，8

1

所以

x＋2y＝

＋可得x＋y＝1，8

1x

y(x＋2y)＝10＋

＋x

16yy

x≥10＋2x

16yy

x·

＝18，当且仅当8

1x＋y＝1，x

y16y＝

x

，即x＝12，y＝3时，等号成立，所以当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18.变式训练已知x>0，y>0，且满足x＋8y＝xy.求x＋2y的最小值.总结：基本不等式求最值的两种常用方法拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件.常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.例2

某村计划建造一个室内面积为800

m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1

m宽的通道，沿前侧内墙保留3

m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？题型二 基本不等式的实际应用解

设矩形的一边长为

x

m，则另一边长为

x800

m，因此种植蔬菜的区域宽为(x－4)m，长为800x－2m.x－4>0，由800

x

－2>0，得4<x<400，所以其面积S＝(x－4)·800x

－2＝808－2x＋3

200x≤808－2

2x·3

200x＝808－160＝648(m2).x当且仅当

2x＝3

200

x＝40

时，等号成立.，即因此当矩形温室的两边长分别为40m,20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648

m2.跟踪训练2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗

A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.

(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数；解

由题意，得k＋9＝10，即k＝1，m生产m

千克该产品需要的时间是x

，m2

9所以y＝

x

(kx

＋9)＝mx＋x，1≤x≤10.(2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？解

由(1)知，生产1

000千克该产品消耗的A材料为

9

xy＝1

000x＋

≥1

000×29＝6

000(千克)，9当且仅当x＝x，即x＝3

时，等号成立，故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6

000千克.总结：利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.

(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.题型三 基本不等式的综合应用x例

3

已知

4x＋a(x>0，a>0)在

x＝3

时取得最小值，则

a

的值为36.a解析

4x＋x≥2x4x·a＝4

a，a当且仅当4x＝x，即a＝4x2＝36

时，等号成立，∴a＝36.2

1≥

m跟踪训练

已知

a>0，b>0，若不等式a＋b

2a＋b

立，则

m

的最大值恒成等于A.10

B.9√C.8

D.7解析

因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，2

1

m

b所以要使a＋b≥2a＋恒成立，只需m≤(2a＋b)

a2

1b＋

恒成立，

2

1a

b2a

2bb

a而(2a＋b)

＋

＝4＋

＋

＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.总结：求参数的值或取值范围的一般方法

(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题.(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围.3当堂达标1.设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是√A.400解析B.100

C.40

D.202x＋y∵

xy≤

(x>0，y>0)，∴xy≤

x＋y22＝

40

2

2＝400.当且仅当x＝y＝20时，等号成立.2.设x>0，则3－3x1－x的最大值是A.3C.－11B.3－2

2√D.3－2

3解析

∵x>0，∴3x＋x≥2x3x·1＝2

3，当且仅当x＝

33

时，等号成立，

1x∴－3x＋

≤－23，x则

3－3x－1≤3－2

3..3.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是210解析

a＋b≥2

ab＝2

10，当且仅当a＝b＝

10时，等号成立.14.已知0<x<0.5，则y＝x(1－2x)的最大值为

8

.1当且仅当2x＝1－2x，即x＝4时，等号成立.解析

由题意知1－2x>0，12则y＝x(1－2x)＝

·2x·(1－2x)≤2

212x＋1－2x

182＝

，8

1x

y解

因为

x>0，y>0，所以

＋

＝(x＋2y)x＋8

1y＝8＋16yx

16y

xx

＋y＋2＝10＋x

＋y≥10＋216＝18，x

2

1当且仅当16y

，x＋2y＝1，即

x＝

，