师说数学必修第一册教版课件

5．5

三角函数模型的简单应用成套的课件成套的教案成套的试题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸新知初探课前预习题型探究课堂解透新知初探课前预习最新课程标准会用三角函数解决简单的实际问题．体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．学科核心素养会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(数学建模、数学运算)了解y＝A

sin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振

幅、周期、相位、初相．(直观想象)

3．利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型．(数学建模、逻辑推理)要点一 三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是

建立数学模型

，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．要点二 三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．状元随笔 解答三角函数应用题应注意四点三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器．“散点图”来获得相应的函数模型．(基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型．(

√

)在研究具体问题时，我们常常利用搜集到的数据，作出相应的√

)(3)函数y＝|cos

x|的图象是以2π为周期的波浪形曲线．(

×

)2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流ଶ量满足函数F(t)＝50＋4sin

୲

(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(

)A．[0，5]C．[10，15]B．[5，10]D．[15，20]答案：Cଶ

ଶ

ଶ解析：由2kπ－஠

≤୲≤2kπ＋஠，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π].故选C.3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：1

2଺

ଷs

＝5sin

2t൅

஠

，s＝5cos

2t

−

஠

.ଷ1

2则在时间t＝ଶ஠时，s

与s

的大小关系是(

)B．s1＜s2D．不能确定A．s1＞s2C．s1＝s2答案：Cଷ1

2

1

2解析：当t＝ଶ஠时，s

＝－5，s

＝－5，所以s

＝s

.故选C.ଵ4．简谐振动y＝ଶsin஠4x

൅

଺ଶ，4x＋஠的频率和相位分别是

஠

଺

．ଶ解析：简谐振动y＝ଵsin4x൅

஠

的周期是T＝ଶ஠＝஠，相位是4x＋஠，频率f＝ଵ＝଺

ସ

ଶ

଺

୘஠ଶ.题型探究课堂解透题型1

三角函数模型在物理中的应用例1

已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I＝A

sin

(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)．(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示，试根据图象写出I＝A

sin(ωt＋φ)的解析式；(2)为了使I＝A

sin

(ωt＋φ)

A＞0，ω＞0，

φ

＜

஠

中t在任意一段

ଵଶ

ଵ଴଴秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－A，那么正整数ω的最小值是多少？解析：(1)由题意知，A＝300.T＝

ଵ

−

−ଵଵ

ଶ஠ଷ଴଴

＝ହ଴，∴ω＝

୘

＝100π.଺଴∵

−ଵଷ଴଴ன

ଷ଴଴，0 是该函数图象的第一个零点，∴－஦＝－

ଵ

.ଷ଴଴

ଷ

ଶ∴φ＝

ன

＝஠，符合|φ|<஠，ଷ∴I＝300sin

100πt

+

஠

(t≥0)．(2)问题等价于T≤

ଵ

，即ଶ஠

≤ଵ଴଴

ன

ଵ଴଴ଵ

，∴ω≥200π.∴正整数ω的最小值为629.ସ跟踪训练1

已知简谐运动的函数关系式为f(x)＝2sin

ሺగ

x

+

φሻሺ|φ|＜గሻ，其图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和φ分别是多ଶ少？解析：∵该简谐运动的函数关系式为f(x)＝2sin

ሺ஠

x

+

φሻ〗ሺ|φ|

൏

గሻ，∴最小正ସ

ଶಘర周期T＝ଶ஠＝8.ଶ又函数的图象过点(0，1)，∴将点(0，1)代入函数解析式，得2sin

φ＝1，即sin

φ＝ଵ.஠

஠又|φ|<ଶ，∴φ＝଺.题型2

三角函数模型在生活中的应用例2

如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数解析式．

(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解析：(1)由已知可设y＝40.5－40cos

ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，଺∴6ω＝π，即ω＝஠.஠∴所求的函数关系式为y＝40.5－40cos

଺t(t≥0)．(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，଺

0

଺

0ଶ由60.5＝40.5－40cos

஠t

，得cos

஠t

＝－ଵ，଺

0

଺

0ଷ

ଷ00∴஠t

＝ଶ஠或஠t

＝ସ஠，解得t

＝4或t

＝8，∴t＝8时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．方法归纳解三角函数应用问题的基本步骤已知函数模型，利用题目中提供的数据和有关性质解决问题，其关键是求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决．未知函数模型，把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．跟踪训练2

如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A

sin

(ωx＋φ)＋b(ω＞0)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；

(2)写出这段曲线的函数解析式．解析：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象．∴A＝ଵ×(50－30)＝10，b＝ଵ(50＋30)＝40.ଶ

ଶଶ

ன∵ଵ

×

ଶ஠＝14－8，∴ω＝஠.଺∴y＝10sin଺஠

x

+

φ

＋40，஠将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝଺.∴所求函数解析式为y＝10sin ஠

x+

஠

＋40，x∈[8，14].଺

଺题型3

利用已知数据建立拟合函数模型例3

某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据．经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝A

sin

ωt＋b的图象．试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式．一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?t/小时03691215182124y/米10.013.09.97.010.013.09.97.010.0解析：(1)由已知数据，描出曲线如图：由表格画出曲线图，由图可求A，b，由周期T可求ω，即求y＝A

sin

ωt＋b.易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，୘

଺

଺∴ω＝ଶ஠＝஠，∴y＝3sin

஠t＋10.(0≤t≤24)(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，଺

଺

ଶ由y≥11.5，得3sin

஠t＋10≥11.5，∴sin

஠t≥ଵ.①଺∵0≤t≤24，∴0≤஠t≤4π.②଺

଺

଺

଺

଺

଺由①②得஠

≤஠t≤ହ஠或ଵଷ஠

≤஠t≤ଵ଻஠.化简得1≤t≤5或13≤t≤17.∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时．方法归纳在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤根据原始数据，绘出散点图；通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；

(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．跟踪训练3

已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(x)的图象可近似地看成是函数y＝A

cos

ωt＋b的图象．根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？଺解析：(1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝஠.又t＝0时，y＝1.5，ଶ所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅A为ଵ，函数解ଶ

଺析式为y＝ଵcos

஠t＋1(0≤t≤24)．(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，ଶ

଺

଺

ଶ

଺

ଶ所以y＝ଵcos

஠t＋1>1，cos

஠t>0，2kπ－஠<஠t<2kπ＋஠(k∈Z)，即12k－3<t<12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9<t<15.课堂十分钟1．(多选)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(

)A．该质点的运动周期为0.7

sB．该质点的振幅为5C．该质点在0.1s和0.5

s时运动速度为零

D．该质点的运动周期为0.8

s

E．该质点在0.3

s和0.7

s时运动速度为零答案：BCD解析：由题图可知，振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，故A错，D正确；该质点的振幅为5，B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确，E错．综上，BCD正确．故选BCD.2．如图为一半径为3的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有()A．ω＝ଵହ，A＝3

B．ω＝ଶ஠，A＝3ଶ஠

ଵହC．ω＝ଶ஠，A＝5

D．ω＝ଵହ，A＝5ଵହ

ଶ஠答案：B解析：易知水轮的角速度ω＝ଶ஠×ସ＝

ଶ

π，଺଴

ଵହଵହ∴y＝3sin

(ωx＋φ)＋2＝3sin

ଶ஠

x

+

φ

＋2，ଵହ则A＝3，ω＝ଶ஠.故选B.3．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上海浪高度：y(米)可看作时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋B的图象，下表是某日各时的浪高数据：t/时03691215182124y/米21.511.521.50.991.52则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是(

)A．y＝ଵcos

஠t＋1

B．y＝ଵcos

஠t＋ଷ

ଶ

଺

ଶ

଺

ଶC．y＝2cos

஠t＋ଷ

D．y＝ଵcos

6πt＋ଷ଺

ଶ

ଶ

ଶ答案：B解析：由题中表格知T＝12，所以ω＝஠，A＝୷ౣ౗౮ି୷ౣ౟౤＝ଵ，B＝୷ౣ౗౮ା୷ౣ౟౤＝ଷ.故选B.଺

ଶ

ଶ

ଶ

ଶ4．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin

(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是

80

．解析：T＝

ଶ஠

＝

ଵ

(分)，f＝ଵ＝80(次/分)．ଵ଺଴஠

଼଴

୘5．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝଼ ସ10sin

஠x−ହ஠

＋20，x∈[4，16].求该地区这一段时间内的最大温差；若有一种细菌在15

℃到25

℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？଼ ସ

ସ

ସ解析：(1)x∈[4，16]，则஠x－ହ஠∈−ଷ஠

，ଷ஠

.଼ ସ

ଶ由函数解析式易知，当஠x－ହ஠＝஠，即x＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30℃；଼ ସ

ଶ当஠x－ହ஠＝－஠，即x＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10

℃，所以最大温差为30－10＝20(℃)．(2)令10sin

஠

x

−

ହ஠

＋20＝15，可得sin

஠

x

−

ହ஠

＝－ଵ，଼ ସ ଼ ସ

ଶଷ而x∈[4，16]，所以x＝ଶ଺.令10sin ஠

x

−

ହ஠

＋20＝25，可得sin଼ ସ஠

x

−

ହ஠

＝ଵ，଼ ସ

ଶଷ而x∈[4，16]，所以x＝ଷସ.故该细菌在这段时间内能存活ଷସ

−ଶ଺＝଼(小时)．ଷ

ଷ

ଷ三角函数中有关参数ω的求解问题一、三角函数的周期T与ω的关系例1

为了使函数y＝sin

ωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的)最小值是(A．98πB．ଵଽ଻πଶC．ଵଽଽπଶD．100πன方法归纳：这类三角函数试题直接运用T与ω的关系T＝ଶ஠，再结合条件，一般可以轻松处理．解析：由题意，至少出现50次最大值即至少需用49ଵ个周期，所以

49

ଵ

T＝ସ

ସଵଽ଻

×ଶ஠≤1，所以ω≥ଵଽ଻π，故选B.

ସ

ன

ଶ二、三角函数的单调性与ω的关系ଷ

ଶ例2

若函数f(x)＝sin

ωx(ω＞0)在区间

஠

，

஠

上单调递减，则ω的取值范围是(

)ଷC．

ଶ

，3ଶD．

ଷ

，3解析：令஠

＋2kπ≤ωx≤ଷ஠

＋2kπ(k∈Z)，得

஠ଶ

ଶ

ଶன＋ଶ୩஠