2022年湖南省怀化市水东乡中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年湖南省怀化市水东乡中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量=，=，则（+）?=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先计算和，再利用数量积的运算律计算．【解答】解：∵=（）2+（）2=1，=+=0，∴（+）?=+=1+0=1，故选C．2.数列{}，已知对任意正整数n，＋＋＋…＋＝2n－1，则＋＋＋…＋等于()A.(2n－1)2

B.(2n－1)

C.(4n－1)

D.4n－1参考答案：C略3.已知点在椭圆上，点P满足(其中为坐标原点，为椭圆C的左焦点)，在点P的轨迹为（

）A．圆

B．抛物线

C．双曲线

D．椭圆参考答案：D

【知识点】椭圆的简单性质H5解析：因为点P满足=（+），所以P是线段QF1的中点，设P（a，b），由于F1为椭圆C：+=1的左焦点，则F1（﹣，0），故Q（，），由点Q在椭圆C：+=1上，则点P的轨迹方程为，故点P的轨迹为椭圆．故选：D【思路点拨】由=（+）可以推出P是线段F1Q的中点，由Q在椭圆上，F1为椭圆C的左焦点，即可得到点P满足的关系式，进而得到答案．4.对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋，称得重量如下条形图S1、S2、S3分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检重量的标准差，则有（）A．S2＞S1＞S3 B．S1＞S3＞S2 C．S3＞S1＞S2 D．S3＞S2＞S1参考答案：C【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；图表型；概率与统计．【分析】解：根据题意，计算甲、乙和丙的平均数，方差和标准差，比较即可得出结论．【解答】解：根据题意，计算甲的平均数是=（5×7+5×8+5×9+5×10）=8.5，方差是=[5×（7﹣8.5）2+5×（8﹣8.5）2+5×（9﹣8.5）2+5×（10﹣8.5）2]=1.25，标准差是s1=；乙的平均数是=（4×7+6×8+6×9+4×10）=8.5，方差是=[4×（7﹣8.5）2+6×（8﹣8.5）2+6×（9﹣8.5）2+4×（10﹣8.5）2]=1.05，标准差是s2=；丙的平均数是=（6×7+4×8+4×9+6×10）=8.5，方差是=[6×（7﹣8.5）2+4×（8﹣8.5）2+4×（9﹣8.5）2+6×（10﹣8.5）2]=1.4，标准差是s3=；所以，s3＞s1＞s2．故选：C．【点评】本题考查了利用图表计算数据的平均数、方差与标准差的应用问题，是基础题目．5.设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下列命题中不成立的是（）A．若m?α，n?α，m∥n，则n∥αB．若α⊥γ，α∥β，则β⊥γC．若m?β，n是l在β内的射影，若m⊥l，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊥β参考答案：D【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由线面平行的判定定理得n∥α；在B中，由面面垂直的判定定理得β⊥γ；在C中，由三垂直线定理得m⊥n；在D中，l与β相交、平行或l?β．【解答】解：由l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，知：在A中，若m?α，n?α，m∥n，则由线面平行的判定定理得n∥α，故A正确；在B中，若α⊥γ，α∥β，则由面面垂直的判定定理得β⊥γ，故B正确；在C中，若m?β，n是l在β内的射影，若m⊥l，则由三垂直线定理得m⊥n，故C正确；在D中，若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l与β相交、平行或l?β，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．6.设函数，其中，则导数的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.某校举行2008年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为

（

）.A．，

B．，

C．，

D．，

参考答案：C8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.设，则“”是“”的A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：若，则知即所以即；令，满足，但.所以是的充分而不必要条件.选.10.已知圆，圆，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A.内含

B.外离

C.相交

D.相切参考答案：B两圆的圆心距，所以两圆外离二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．参考答案：9【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x﹣y有最大值9．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．12.已知，，，则的最小值为

．参考答案：13.计算：

.参考答案：;

14.若x>1时，不等式x+恒成立，则实数k的取值范围是_________________.参考答案：15.如图所示一系列数表依次是三项式（a+b+c）n（n=0，1，2，3，…）展开式系数按一定规律排列所得，可发现数表的第k行共有k个数．依此类推，数表6的第3行第1个数为

，

数表6的第5行第3个数为

．参考答案：10，30．略16.已知，，则____．参考答案：【分析】利用两角和的正切公式，可以求出，根据同角三角函数的关系，结合，可以求出，最后求出的值.【详解】解：∵∴解得，∵，∵…①，…②解①②得∴．故答案为：．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，考查了数学运算能力.17.已知平面直角坐标系中有两个顶点A（﹣2，0），B（2，0），若动点P满足|PA|+|PB|=6，则动点P的轨迹方程为

．参考答案：考点：椭圆的定义．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义判断出动点P的轨迹，再由题意求出基本量，代入椭圆的标准方程即可．解答： 解：因为动点P满足|PA|+|PB|=6＞|AB|=4，所以由椭圆的定义得：动点P的轨迹是以A（﹣2，0），B（2，0）为焦点的椭圆，则a=3、c=2，即b2=9﹣4=5，所以动点P的轨迹方程是，故答案为：．点评：本题考查定义法求动点的轨迹方程，以及椭圆的定义、标准方程，熟练掌握椭圆的定义、标准方程是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）在中，的对边分别为且成等差数列。（1）求的值；(2)求的取值范围。参考答案：⑴由题意得，又，，得，即，在中，，∴，∴，又，∴。⑵∵，∴，∴≤，∴的取值范围是．19.已知,函数.(1)当时，求曲线在点处的切线的斜率；(2)讨论的单调性；(3)是否存在的值，使得方程有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案：解:（1）当时，

所以曲线y=(x)在点处的切线的斜率为0.

…………3分(2)

…………4分1

当上单调递减；

………6分2

当..

………………8分（3）存在，使得方程有两个不等的实数根.………………9分理由如下：由（1）可知当上单调递减，方程不可能有两个不等的实数根；

………11分由（2）得，使得方程有两个不等的实数根，等价于函数的极小值，即，解得所以的取值范围是

………………14分略20.（12分）设k∈R，函数f（x）=lnx﹣kx．（1）若k=2，求曲线y=f（x）在P（1，﹣2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求函数f（x）的导数计算f（1），f′（1）的值，由点斜式写出切线方程即可；（2）当k＜0时，由f（1）f（ek）＜0可知函数有零点，不符合题意；当k=0时，函数f（x）=lnx有唯一零点x=1有唯一零点，不符合题意；当k＞0时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不等式，解之即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣k=，当k=2时，f′（1）=1﹣2=﹣1，则切线方程为y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），即x+y+1=0．（2）①若k＜0时，则f′（x）＞0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，∵f（1）=﹣k＞0，f（ek）=k﹣kek=k（1﹣ek）＜0，∴f（1）?f（ek）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点；②若k=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1；③若k＞0，令f′（x）=0，得x=，在区间（0，）上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；在区间（，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为f（）=ln﹣1=﹣lnk﹣1，由于f（x）无零点，须使f（）=﹣lnk﹣1＜0，解得：k＞，故所求实数k的取值范围是（，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查函数的零点问题，是一道中档题．21.已知函数，．（Ⅰ）若f(x)在(0,+∞)内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f(x)有两个极值点分别为，，证明：．参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见证明【分析】（I）先求得函数的导数，根据函数在上的单调性列不等式，分离常数后利用构造函数法求得的取值范围.（II）将极值点代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法证得上述不等式成立.【详解】（I）．∴在内单调递减，∴在内恒成立，即在内恒成立．令，则，∴当时，，即在内为增函数；当时，，即在内为减函数．∴的最大值为，∴（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，则在内有两根，，由（I），知．由，两式相减，得．不妨设，∴要证明，只需证明．即证明，亦即证明．令函数．∴，即函数在内单调递减．∴时，有，∴．即不等式成立．综上，得．【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数，考查利用导数研究函数极值点问题，考查利用导数证明不等式，考查利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题.2