《定积分的简单应用》市赛获奖 市赛获奖

定积分的简单应用定积分在物理中的应用变力沿直线所作的功液体的静压力平均值和均方根变力沿直线所作的功一、预备知识2.微元法二、变力沿直线所作的功是变化的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.如图：以为积分变量，积分区间为在区间内任取一小区间功的微元数所以例1设弹簧在1N力的作用下伸长0.01米，要使弹簧伸长0.1米，需作多少功？解如图：建立直角坐标系。因为弹力的大小与弹簧的伸长（或压缩）成正比，即比例系数已知代入上式得从而变力为所求的功解建立坐标系如图这一薄层水的重力为功元素为(千焦)．液体的静压力一、预备知识二、液体的静压力解在端面建立坐标系如图平均值和均方差实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均值来描述这个班的成绩的概况。算术平均值公式只适用于有限个数值一、预备知识问题：求气温在一昼夜间的平均温度.入手点：连续函数在区间上的平均值.讨论思想：分割、求和、取极限.二、平均值和均方差1.平均值（1）分割：每个小区间的长度（2）求和：设各分点处的函数值为函数在区间上的平均值近似为（3）取极限：每个小区间的长度趋于零.函数在区间上的平均值为几何平均值公式区间长度解设电阻为，则电路中的电压为功率一个周期区间平均功率结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一．通常交流电器上标明的功率就是平均功率．交流电器上标明的电流值都是一种特定的平均值，习惯上称为有效值．二、均方根有效值计算公式的推导按定义有即结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的在实际问题中，我们通常称另一种平均值为函数的均方根，即

2.利用“微元法”思想求平均值、均方差．（注意熟悉相关的物理知识）小结

1.利用“微元法”思想求变力作功、水压力等物理问题．函数的平均值函数的均方根（有效值）（理解平均功率、电流的有效值等概念）练习题解功元素所求功为如果要考虑将单位电荷移到无穷远处解建立坐标系如图面积微元习题

1.弹簧原长0.30厘米，每压缩0.01m需力2N，求把弹簧从0.25m压缩到0.20m所作的功。

2.一个质点按规律x=t3作直线运动，介质的阻力与速度成正比，求质点从x=0移到x=1时克服介质阻力所作的功。

3.有一圆柱形贮水桶，高2m，底圆半径0.8m桶内装1m深的水，问要将桶内水全部吸出要作多少功？

4.有一上口直径20m，深为15m的圆锥形水池，其中盛满了水，若将水全部抽尽，需作多少功？

5.有一闸门，它的形状和尺寸如图所示。水面门顶1m，求闸门上所受的水的压力。

6.一个横放着的半径为R的圆形由桶，桶内盛有半桶油，设油的密度为ρ，计算桶的一个端面上所受的压力。

3m1m2m

7.一块高为a，底为b的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力。如果把它倒放，使它的顶与水面平行，压力又如何？

8.一物体以速度v=3t2+2t(m/s)作直线运动，计算它在t=0到t=3s这段时间内的平均速度。

9.计算函数y=x/(1+x2)在区间[0，1]的平均值。

10.计算函数y=sinx在区间[0，π]的平均值和均方根。习题解答0.75J;2.9k/5,k为阻力系数;3.2.9956×104J;4.5.773×107J;