第15章电路方程的矩阵形式课件

§15-1割集1.定义连通图G的一个割集是G的一个支路集合，如果①把这些支路移去，将使G(恰好)分离为两个部分，②但是少移去其中一条支路，G将仍是连通的。(a，d，f)这个支路集合就是G的一个割集。adfbceQ1adfbceQ2Q3Q4(a，b，e)(b，c，f)(c，d，e)显然，对右图，汇集于同一结点的支路都是G的一个割集。7/22/20231全移，G一分为二；少移一条，G连通。(b,d,e,f)是(a,d,e,f)不是G的割集！Q5adfbceadfbceQ6Q7adfbceadfbceQ8(a,e,c,f)是(a,b,c,d)也是原因：少移去e，G仍为两部分。7/22/20232(a,b,c,d,e)不是G的割集！原因：全移，G被分为三部分。2.割集的判断与确定直观方便的方法是闭合面加定义。adfbceQ9注意：有些割集可能不易用与闭合面相切割的方法表示。abecdf无法作闭合面判断割集(a,b,c,d)。Qabcde与Q相切割的支路集合(a,b,e)不是割集。7/22/202333.独立割集和基本割集KCL适用于任一闭合面。属同一割集的所有支路电流也满足KCL。对于一个连通图G，总可以列出与割集数量相等的KCL方程。但它们不一定线性独立。(1)独立割集与一组线性独立的KCL方程相对应的割集，称为独立割集。abecdfQ1Q2Q3Q4当割集的所有支路连接于同一结点时，割集的KCL变为结点的KCL。对较大规模的电路，用观察法选择一组独立割集是困难的。借助于树，就比较方便。7/22/20234(2)独立割集的确定选一个树，一条树支与相应的连支可以构成一个割集。由一条树支与相应的连支构成的割集叫单树支割集。对于具有n个结点b条支路的连通图，树支数为(n-1)条。这(n-1)个单树支割集称为基本割集组。btl1l2l3Q独立割集组不一定是单树支割集。就象独立回路不一定是单连支回路一样。而基本割集组是独立割集组。7/22/20235树支为2,3,4,6时的基本割集组树支为5,6,7,8时的基本割集组。12345678Q1Q1(1,2,5,7,8)12345678Q2Q2(1,3,5,8)12345678Q3Q3(1,4,5)Q4Q4(5,6,7,8)12345678Q1Q2Q3Q4同一个图，有许多不同的树，因此能选出许多不同的基本割集组。7/22/20236§15-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵1.关联矩阵的特点描述结点与支路关联的矩阵。是一个(n×b)阶的矩阵。Aa=1234123456-1-1+100000-1-10+11i12i23i34i45i5i66①②③④+100+1+100+100-1-1(1)Aa的元素定义ajk=+1，支路k与结点j关联，且方向背离结点；ajk=-1，支路k与结点j关联，且方向指向结点；ajk=0，支路k与结点j无关联。7/22/20237(2)降阶关联矩阵A划去Aa中任意一行所得到的(n-1)×b阶矩阵。A=1234123456-1-1+100000-1-10+1+100+1+100+100-1-11i12i23i34i45i5i66①②③④被划去的行对应的结点可以当作参考结点。a提示给定A可以确定Aa，从而画出有向图。若以结点4为参考结点，把式中的第4行划去，得A7/22/20238(3)用A表示KCL的矩阵形式b(=6)条支路电流可以用列向量表示i=[i1,i2,···,i6]TAi=A=-1-1+100000-1-10+1+100+1+10

-1-1+100000-1-10+1+100+1+10i1

i2···

i6=-i1–i2+i3-i3–i4+i6+i1+i4+i5=000Ai=结点1的KCL结点(n-1)的KCL结点2的KCL……Ai=01i12i23i34i45i5i66①②③④7/22/20239(4)用A表示KVL的矩阵形式以b(=6)阶列向量表示支路电压：u=[u1,u2,···,u6]T并取某一结点(取④)为参考，(n-1=3)个结点电压的列向量：un

=[un1,un2,un3]T结点电压与支路电压之间的关系为u=ATunu1u2u3u4u5u6=1i12i23i34i45i5i66①②③④-un1+un3-un1un1-un2-un2+un3

un3un2=un1un2un3-101-1001-100-11001010AT可以认为，这是用A表示KVL的矩阵形式。7/22/202310小结①矩阵A表示有向图结点与支路的关联性质。③用A表示的KVL的矩阵形式为u=ATun②用A表示的KCL的矩阵形式为Ai=07/22/2023112.回路矩阵描述回路与支路关联的矩阵。是一个(l×b)阶的矩阵。(1)B的元素定义bjk=+1，支路k与回路j关联，且方向一致；bjk=-1，支路k与回路j关联，且方向相反；bjk=0，支路k与回路j无关联。1231234561123456①②③④ⅠⅡⅢ010-110110010001-11B=7/22/202312(2)基本回路矩阵Bf

Bf反映了一组单连支回路与支路间的关联关系。写Bf时的排列顺序：

先连支后树支。Bf

=[1l┆Bt](3)用B表示的KVL矩阵形式Ⅰ：u1+u3-u5+u6=0Ⅱ：u2+u3+u6=0Ⅲ：u4-u5+u6=0123456①②③④ⅠⅡⅢ123124

3561001-110101010010-11Bf

=Bu=01010–110110

010001–11u1u2u3u4u5u6=0007/22/202313(4)用B表示的KCL矩阵形式若用列向量表示l(=3)个独立回路电流：il

=[il1il2·

·

·

ill

]T则支路电流与回路电流之间的关系可以表示为i=BTil可以认为是用B表示KCL的矩阵形式。123456①②③④ⅠⅡⅢi1i2i3i4i5i6=il1il2il3100010110001-10-1111

ii1il2il1+il2il3

-il1-il3il1+il2+il3=7/22/2023143.割集矩阵Q描述割集与支路关联的矩阵。Q是一个(n-1)×b阶的矩阵。各元素定义为：qjk=+1，支路k与割集j关联，且方向一致；qjk=-1，支路k与割集j关联，且方向相反；qjk=0，支路k与割集j无关联。若选单树支割集为一组独立割集，则得到基本割集矩阵Qf。排列顺序为先树支后连支。123456①②③④12312

3

4

56Q1-1-11000100110-1-10-101Q2Q3Qf=[1t┆Ql

]Q=7/22/202315(1)用割集矩阵Q表示的

KCL的矩阵形式因属同一割集的所有支路的电流也满足KCL，所以Qi=0123456①②③④Q1Q2Q3-1-11000100110-1-10-101i1i2i3i4i5i6=-i1–i2+i3i1+i4+i5-i1-i2-i4+i6=000Qf

=

[

1t┆Ql]=100010001-11

-1-10

-101

-1356124Q1Q2Q37/22/202316(2)用基本割集矩阵Qf表示KVL的矩阵形式式中ut=[ut1ut2···ut(n-1)]T为树支电压列向量。对右图：ut=[ut1ut2

ut3]T

u

=[u3u5

u6

u1u2

u4]Tu=QfutT123456①②③④Q1Q2Q3u=100-1-10010101001-1-1

-1ut1ut2ut3=ut1ut2ut3-ut1+ut2-ut3-ut1-ut3ut2-ut3

=u3=u5=u6=u1=u2=u4①当选单树支割集为独立割集时，树支电压可视为割集电压。②树支电压(割集电压)也是一组完备的独立变量，支路电压可以用树支电压表示。7/22/202317*§15-3矩阵A、Bf、Qf之间的关系2.对任一图G，当A、B、Q的列按相同的支路编号排列时：

ABT

=0或BAT

=0QBT

=0或BQT

=03.

若A、Bf、Qf对应同一个树，且支路编号按先树支后连支的相同顺序排列写出。则有：TBtQl=-

=-AtAl-1TBt=AtAl-11.Ai=0

Qi=0u=A

unTu=QfutT在形式上相似。所以对某些图G有Qf

=

A7/22/202318§15-4回路电流方程的矩阵形式一、复合支路既含阻抗(导纳)，又有电源。(1)支路阻抗Zk是单一的R或L或C，但不是它们的组合；(2)可以缺少某种元件。但不许存在无伴电流源支路。二、支路方程的矩阵形式情况1电路无互感Zk-+.Usk.Isk.Iek.Ik-+.Uk.Uk=

Zk.(Ik+.ISk).-USk式中各量为第k条支路的阻抗、独立电流源和独立电压源。无独立源时将其置零。设

.I=[.I1.I2….Ib]T

.U=[.U1.U2….Ub]T

.IS=[.IS1.IS2….ISb]T

.US

=[.US1.US2….USb]T则.U=Z.(I+.IS).-US避免造成计算困难。7/22/202319Z称为支路阻抗矩阵，Z是对角矩阵，对角元素是各支路阻抗。情况2电路有互感设在b条支路中，1～g支路之间相互有耦合，则有(g+1)～b支路之间无耦合，关系式同情况1。.U=Z.(I+.IS).-USZ1

Z2...Zb00Z=

.U1=

Z1

.Ie1±jwM12.Ie2±jwM13.Ie3±···±jwM1g.Ieg

.-US1

.U2=±jwM21.Ie1+Z2

.Ie2±jwM23.Ie3±···±jwM2g.Ieg

.-US2············

.Ug=±jwMg1.Ie1±jwMg2.Ie2±jwMg3.Ie3±···

.-USg+Zg.Ieg.Ie1=.I1+.IS1，.Ie2=.I2+.IS2，······；M12=M21，······。7/22/202320有互感和无互感，方程形式相同。有互感时，Z不再是对角阵。非对角线元素将含互感阻抗，其正负号根据同名端确定。=×-.U=Z.(I+.IS).-US.U1.U2….Ug.Ug+1….UbZ1±jwM12…±jwM1g0…0±jwM21Z2…±jwM2g0…0…±jwMg1…±jwMg2…Zg………0000…0Zg+1…0……00……0…0…Zb..I1+IS!..I2+IS2…..Ig+ISg..Ig+1+IS(g+1)..Ib+ISb….US1.US2….USg.US(g+1)….USb……7/22/202321情况3含受控电压源的复合支路受控电压源与无源元件串联，控制量可以是其它支路无源元件的电压或电流。在第十章，我们曾用受控源替代法分析过含有互感的电路。所以当支路含受控电压源时，可以仿照含互感的方法处理。但互感是成对出现的，而受控源可以单个出现。Z的非对角线元素将含有与控制系数有关的元素。其正负号的确定：控制量、被控量与复合支路的参考方向都一致(或都相反)时取“+”，否则取“-”。Zk-+.Usk.Isk.Ik-+.Uk+-.Udk.U=Z.(I+.IS).-US支路方程的矩阵形式仍然是：7/22/202322三、回路电流方程的矩阵形式用B表示的KVL：令Zl

=

BZBT，则Zl称为回路阻抗矩阵。

Zl的主对角线元素为自阻抗；非对角线元素为互阻抗。.BU=0.U=Z.(I+.IS).-US将支路方程代入得：BZ.I.-BUS=0+BZ.IS

用B表示的KCL：.I=BT.Il

代入上式得回路电流方程的矩阵形式为：BZBT.I=.BUS-BZ.IS

BZBT是l阶方阵。

.BUS和BZ都是l阶列向量。7/22/202323四、回路电流方程的编写步骤P401例15-1解：(1)作有向图，选树；(2)画基本回路电流，参考方向同连支电流；R1-+

.US2

.IS1jwL4R2jwL3jwC5112345ⅠⅡ(3)写基本回路矩阵B、支路阻抗矩阵和电压、电流列向量；B

=

-101010101-1Z

=diag[]R1,R2,jwL3,jwL4,jwC51

.US=[0-US2000]T...IS=[IS10000]T7/22/202324(4)求回路阻抗矩阵Zl=BZBT(5)并计算整理便得回路电流方程的矩阵形式。Zl

=BZBTZl.I=.BUS-BZ.IS

将Zl、.US、.

IS代入式=-101010101-1R1R2jwL3jwL4jwC51-101010101-1R1+jwL3+jwC51jwC51-jwC51-R2+jwL4+jwC51.Il1.Il2=.R1IS1.-US2计算得7/22/202325§15-5结点电压方程的矩阵形式一、复合支路及其方程的矩阵形式情况1无受控电流源、无耦合电感Yk-+.Usk.Isk.Iek.Ik-+.Uk.Idk与回路法定义的复合支路相比，增加了受控电流源。但不许存在受控电压源；也不许存在无伴电压源。对第k条支路有.Ik=

Yk.(Uk+.USk).-ISk对整个电路有.I=Y.(U+.US).-ISY称为支路导纳矩阵。Y是一个对角矩阵，对角线元素为各支路导纳。7/22/202326情况2无受控电流源、有耦合电感相当于回路法的情况2：VCR的矩阵形式与情况1相同。差别只是Y

不再是对角阵。Yk-+.Usk.Isk.Iek.Ik-+.Uk.U=Z.(I+.IS).-US电路有耦合电感时，支路阻抗Z不是对角阵，在Z的非主对角线元素中将含有互感阻抗。利用上式可求得.YU=.I+.IS.-YUS.I=Y.(U.+US).-ISY=Z-1是支路导纳矩阵。7/22/202327情况3有受控电流源设：第k条支路受控源受第j条支路电流(或电压)控制。Yk-+.Usk.Isk.Ik-+.Uk.IdkYj-+.Usj.Isj.Iej.Ij-+.Uj+-.Uej

.

.Idk

=gkjUej或

.

.Idk

=bkjIej因为

.

.Iej

=YjUej→

.

.Idk

=bkjYjUej所以无论是流控还是压控，均化成VCCS，且控制系数用Ykj

表示：Ykj

=gkjbkj

Yj第k条支路方程为：.Ik=

Yk.(Uk+.USk)

.+Idk.-ISk.Ik=

Yk.(Uk+.USk)+Ykj

.(Uj

.+Usj).-ISk

.

Idk

=Ykj

.Uej=Ykj

(

.Uj+

.USj)注意它们在复合支路中的方向。7/22/202328支路方程的形式同情况1。导纳矩阵Y不是对角阵，非主对角线包含与控制系数有关的元素，可以单个出现。

.Ik=

Yk

.(Uk+

.USk)

.(Uj+Ykj

.+Usj)

.-ISk.Ij.Ik0Ykj.I=Y.(U.+US).-ISk行j列对b条支路有.I1.I2……….Ib=Y1Y2...Yj...Yk...Yb………0…000……………0…0…0…0……0….U1+.US1.U2+.US2….Uj+.USj….Uk+.USk….Ub+.USb-.ISj.ISk.IS1.IS2……….ISb(在情况2中则是成对出现)。7/22/202329二、结点方程的矩阵形式描述结点与支路关联的矩阵是A

。用A表示的KCL：用A表示的KVL：.AI=0，

..U=ATUn支路方程：.I=Y

.(U.+US).-IS用结点电压表示支路电流.I=YAT

.Un.+YUS.-IS代入用A表示的KCL得

AYAT.Un.+AYUS.-

AIS=0结点方程的矩阵形式为

AYAT.Un.

=

AIS.-AYUS令Yn=AYAT,.Jn.

=

AIS.-AYUS则结点方程可以写为

Yn.Un.

=JnYn称为结点导纳矩阵。

.Jn是由独立源引起的注入结点的电流列向量。7/22/202330三、结点电压方程的编写步骤P405例15-2(1)作有向图，选参考结点；(2)写关联矩阵A、独立电源列相量和支路导纳矩阵；L1R5R4iS4L2R3C6iS3②③④①123456③②①④④A=101100-1100010-10-110.Us=0,..

.Is=[00IS3IS400]TjwL11jwL21R31R41R51jwC6Y=diag[,,,,,]

AYAT.Un.

=

AIS.-AYUS(3)求AYAT并代入得到

AYAT

.Un

.

=

AIS

7/22/202331观察结点导纳矩阵发现主对角线元素为自导纳，其余为互导纳。相当于第三章所列结点方程等号左边的系数。独立源列向量为注入结点的电流(等号右边的常数)。.Un1

.Un2

.Un3

.IS3+.IS4

=0.-IS4

AYAT

.Un

.AISL1R5R4iS4L2R3C6iS3②③④①R31+R41+jwL11-jwL11-R41-jwL11jwL11+jwL21+jwC6-jwL21-R41-jwL21R41+R51+jwL217/22/202332P406例15-3设写支路方程的矩阵形式。控制量、被控量与复合支路的参考方向都一致(或都相反)时取“+”，否则取“-”。..Id2=

g21U1,.

.Id4=

b46I6R11R21jwC3jwC4jwL51jwL61

-g21jwL6b4600000Y=2行1列4行6列解：电路含受控源，但无互感。支路导纳矩阵为：L5R2C3L6R1iS1②③①iS4C4id4-+.US4+-u1+-uS2id2i60+-u6561423③②①0注意位置和正负7/22/202333可得到独立电源列向量为：将以上所求代入.IS=[.US=[0.I=Y.(U.+US).-IS

.IS1

00.-IS400

]T

.-US20

.US4

00]T与复合支路相反取正，否则取负。L5R2C3L6R1iS1②③①iS4C4id4-+.US4+-u1+-uS2id2i60+-u6561423③②①0R11R21jwC3jwC4jwL51jwL61

-g21jwL6b4600000=-.I2.I3.I1.I4.I5.I6.U1+0.U2+.US2.U3+0.U4+.US4.U5+0.U6+0.IS100.-IS1007/22/202334§15-6割集电压方程的矩阵形式一、关于割集电压割集电压也是一组完备的独立变量。以割集电压作为电路独立变量的分析方法称为割集电压法。当选单树支(基本)割集作为独立割集时，树支电压就是割集电压。割集电压是一种假想电压，就象假想的回路电流一样。u=QfutT否则，ut

可理解为一组独立的割集电压。Qadfbce支路a、b、c、d是G的一个割集。将它们全部移去，G被分离成两个部分。Qfeut两分离部分之间的电压就是割集电压。7/22/202335可以认为，割集电压法是结点电压法的推广。也可以说结点电压法是割集电压法的一个特例。若选一组独立割集使每一割集都由汇集在一个结点上的支路构成时，割集电压法就成为结点电压法。割集电压法规定的复合支路与结点电压法完全相同，因此支路方程的矩阵形式也相同：.I=Y.(U.+US).-IS12345678Q1Q2Q3Q47/22/202336二、割集电压方程描述割集与支路关联的矩阵是Qf

。用Qf表示的KCL：代入用Qf表示的KCL方程就得到割集方程的矩阵形式：.Qf

I=0，KVL：..U=QfUtT支路方程：.I=Y

.(U.+US).-IS用割集电压表示支路电流.I=Y

.Ut.+YUS.-ISTQf

QfYTQf.Ut.=

Qf

IS.-QfYUS若令Yt=QfYTQf则Yt称为割集导纳矩阵。7/22/202337三、割集电压方程的编写解：初始条件为零，用运算形式。⑴作有向图，选独立割集组；选支路1、2、3为树支，则单树支割集如图所示。12345Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)树支电压Ut1(s)、Ut2(s)和Ut3(s)就是割集电压，取树支电压的方向为割集方向。⑵写基本割集矩阵Qf；Qf=12345Q1Q2Q310001000111-1011P408例15-4L4R1R2L3C5iS1iS2先树支后连支7/22/202338⑶写独立源列向量和支路导纳矩阵；US(s)=0IS(s)=[IS1(s)IS2(s)000]T⑷代入L4R1R2L3C5iS1iS2Y(s)=R11,R21,sL31,sL41,sC5diag

QfY(s)QfTUt(s)=

Qf

IS(s)-QfY

(s)US(s)得割集电压方程Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)=IS1(s)IS2(s)0R11+sL41+sC5-sL41sL41+sC5-sL41R21+sL41-sL41sL41+sC5-sL41sL31+sL41+sC57/22/202339Yt的主对角线元素分别为与割集Q1、Q2、Q3相关联支路的导纳之算术和，称自导纳。其它元素分别是与两相邻割集关联支路的导纳算术和，称互导纳。当两割集方向不一致时，互导纳前加“-”号。L4R1R2L3C5iS1iS2Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)与割集方向相反的割集电流源取“+”，相同取“-”。Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)=IS1(s)IS2(s)0R11+sL41+sC5-sL41sL41+sC5-sL41R21+sL41-sL41sL41+sC5-sL41sL31+sL41+sC57/22/202340状态方程的编写在线性电路中，选独立的电容电压和电感电流作为状态变量列写状态方程和求解最方便。1.直观法的编写步骤

在状态方程中，要包含对状态变量的一次导数，所以：(1)对只含一个C的结点列KCL方程；C+-R2L2i1uSR1+-uCL1i2iS①②③i2+iS12结点②CdtduC=-

i1-

i2(2)对只含一个L的回路列KVL方程；回路1L1dtdi1=uC-R1(i1+i2)

+uS回路2L2dtdi2=uC-R1(i1+i2)+uS-R2(i2+iS)

(3)列其它方程(如有必要)，消去非状态变量。iR1iR2iR1iR27/22/202341(4)整理成矩阵形式直观法适用于不太复杂的电路。对复杂电路采用系统法CdtduC=-

i1-

i2L1dtdi1=uC-R1(i1+i2)

+uSL2dtdi2=uC-R1(i1+i2)+uS

-R2(i2+iS)

dtduCdtdi1dtdi2=0-C1-C1L11-L1R1-L1R1L