2023届江西省上饶市“山江湖”协作体统招班数学高二第二学期期末联考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知e1，e2是单位向量，且e1⋅e2=0，向量a与eA．定值－1 B．定值1C．最大值1，最小值－1 D．最大值0，最小值－12．从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球，记事件为“抓取的球中存在两个球同色”，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率（）A． B． C． D．3．甲、乙两名游客来龙岩旅游，计划分别从“古田会址”、“冠豸山”、“龙崆洞”、“永福樱花园”四个旅游景点中任意选取3个景点参观游览，则两人选取的景点中有且仅有两个景点相同的概率为（）A． B． C． D．4．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则的取值范围是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（－∞，0） D．（0，）5．现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张.从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张.不同取法的种数为A． B． C． D．6．已知面积为的等腰内接于抛物线，为坐标原点，，为抛物线的焦点，点.若是抛物线上的动点，则的最大值为（）A． B． C． D．7．设，则的值为（）A． B．1 C．0 D．-18．下列说法正确的是()A．若命题均为真命题，则命题为真命题B．“若，则”的否命题是“若”C．在，“”是“”的充要条件D．命题“”的否定为“”9．若函数无极值点，则（）A． B． C． D．10．对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作，若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为（）A． B． C． D．11．设，若直线与圆相切，则的取值范围是（）A． B．C． D．12．若正数满足，则当取最小值时，的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，则p（X>4）=14．6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有________种（用数字表示）15．设向量，且，则实数的值是_______；16．已知，则a与b的大小关系______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC,PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，AC=1，点E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求二面角E-AC-B的大小．18．（12分）从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；(ⅱ)求抽到红球次数的数学期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数的分布列.19．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆的圆心重合.（1）求抛物线C的标准方程；（2）设定点，当P点在C上何处时，的值最小，并求最小值及点P的坐标；（3）若弦过焦点，求证：为定值.20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）经过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A（0，b），B（a，0），点P是椭圆C上位于第三象限的动点，直线AP、BP分别将x轴、y轴于点M、N，求证：|AN|•|BM|为定值．21．（12分）在创建“全国文明卫生城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分(满分100分)统计结果如下表所示:组别频数（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费;②每次获赠的随机话费和对应的概率为:赠送话费的金额(单位:元)概率现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与均值.附:参考数据与公式若，则=0.9544，22．（10分）(本小题满分12分)某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在，的学生人数为1．频率/组距频率/组距0.0120.0160.018分8060507090100x0.024（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩”的概率．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由题意可设e1=(1,0),e【详解】由题意设e1=(1,0),e2=(0,1)所以a-所以(x-1)2又a-2所以数量积a⋅故选：A．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及模长问题，用解析法，设出向量的坐标，用坐标运算会更加方便。2、C【解析】

根据题意，求出和，由公式即可求出解答.【详解】解：因为事件为“抓取的球中存在两个球同色”包括两个同色和三个同色，所以事件发生且事件发生概率为：故.故选：C.【点睛】本题考查条件概率求法，属于中档题.3、A【解析】

先求出两人从四个旅游景点中任意选取3个景点的所有选法，再求出两人选取的景点中有且仅有两个景点相同的选法，然后可求出对应概率.【详解】甲、乙两人从四个旅游景点中任意选取3个景点参观游览，总共有种选法，两人选取的景点中有且仅有两个景点相同，总共有,则两人选取的景点中有且仅有两个景点相同的概率为.故选A.【点睛】本题考查了概率的求法，考查了排列组合等知识，考查了计算能力，属于中档题.4、D【解析】

由方程的解与函数图象的交点关系得：方程有五个不同的实数根等价于的图象与的图象有5个交点，作图可知，只需与曲线在第一象限有两个交点即可。利用导数求过某点的切线方程得：过原点的直线与相切的直线方程为，即所求的取值范围为，得解．【详解】设，则的图象与的图象关于原点对称，方程有五个不同的实数根等价于函数的图象与的图象有5个交点，由图可知，只需与曲线在第一象限有两个交点即可，设过原点的直线与切于点，，由，则过原点的直线与相切，，又此直线过点，所以，所以，即（e），即过原点的直线与相切的直线方程为，即所求的取值范围为，故选．【点睛】本题主要考查了方程的解与函数图象的交点个数问题的关系应用及利用导数求切线方程。5、C【解析】试题分析：3张卡片不能是同一种颜色，有两种情形：三种颜色或者两种颜色，如果是三种颜色，取法数为，如果是两种颜色，取法数为，所以取法总数为，故选C．考点：分类加法原理与分步乘法原理．【名师点晴】（1）对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．（2）当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步．6、B【解析】

根据题意求得两点关于对称，得到直线的方程为，由的面积为，求得，再把过点N的直线方程为，代入，求得判别式求得，最后利用抛物线的定义，即可求解.【详解】设等腰直角三角形的顶点，且，由，得，所以，即，因为，所以，即两点关于对称，所以直线的方程为，由，解得或，故，所以，因为的面积为，所以，过点N的直线方程为，代入可得，所以由，可得，此时直线的倾斜角为，过M作准线的垂线，垂足为A，则，所以，所以直线的倾斜角为或时，此时的最大值为，故选B.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中求得两点关于对称，合理利用抛物线的定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.7、C【解析】

首先采用赋值法，令，代入求值，通分后即得结果.【详解】令，,，.故选：C【点睛】本题考查二项式定理和二项式系数的性质，涉及系数和的时候可以采用赋值法求和，本题意在考查化归转化和计算求解能力，属于中档题型.8、D【解析】

利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否定，充要条件判断选项的正误即可．【详解】对于A：若命题p，￢q均为真命题，则q是假命题，所以命题p∧q为假命题，所以A不正确；

对于B：“若，则”的否命题是“若，则”，所以B不正确；

对于C：在△ABC中，“”⇔“A+B=”⇔“A=-B”⇒sinA=cosB，

反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不一定成立，

∴C=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，所以C不正确；

对于D：命题p：“∃x0∈R，x02-x0-5＞0”的否定为￢p：“∀x∈R，x2-x-5≤0”，所以D正确．

故选D．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命题的否定等知识，是基本知识的考查．9、A【解析】

先对函数求导，再利用导函数与极值的关系即得解.【详解】由题得，因为函数无极值点，所以，即.故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.10、D【解析】

根据可画出满足题意的点所构成的平面区域；分别求解区域各个构成部分的面积，加和得到结果.【详解】由定义可知，若曲线为边长为的等边三角形，则满足题意的点构成如下图所示的阴影区域其中，，，，，，又又阴影区域面积为：即点集所表示的图形的面积为：本题正确选项：【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是能够根据定义，找到距离等边三角形三边和顶点的最小距离小于等于的点所构成的区域，易错点是忽略三角形内部的点，造成区域缺失的情况.11、C【解析】分析：由直线与圆相切，得，从而，进而，由此能求出的取值范围.详解：，直线与圆相切，圆心到直线的距离，解得，，，，的取值范围是.故选C.点睛：本题考查代数和取值范围的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.12、A【解析】

根据正数满足，利用基本不等式有，再研究等号成立的条件即可.【详解】因为正数满足，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式取等号的条件，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0.1587【解析】

P(3≤X≤4)=12P(2≤X≤4)=0.3413,

观察如图可得,

∴P(X>4)=0.5-P(3≤X≤4)=0.5-0.3413

=0.1587考点：正态分布点评：随机变量～N(μ,δ2)中，14、240【解析】

利用捆绑法可得排法总数.【详解】解：6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻，用捆绑法可得排法数有种.故答案为：240.【点睛】本题考查捆绑法解决排列问题，是基础题.15、2【解析】

由条件利用两个向量共线的性质求得x的值．【详解】解：∵，，且，∴2x＝，即x＝2故答案为2【点睛】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．16、a＜b【解析】

可先利用作差法比较两数平方的大小，然后得出两数的大小关系.【详解】解：因为，，所以，因为，所以，而，所以得到.【点睛】本题考查了综合法与分析法比较两数的大小关系，解题时可先用分析法进行分析，再用综合法进行书写解题过程.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）135°【解析】试题分析：（1）一般线面平行考虑连接中点，形成中位线，连BD交AC于M,连接EM即可；（2）以A为原点建系，显然只需求平面EAC的法向量，利用法向量求二面角．试题解析：∵PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AB，且AC⊥AB，以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．（1）∵D(1,-2,0)，P(0,0∴AE=(12设平面AEC的法向量为n1=(x,y,z)，则{12x-y+z=0又B(0,2,0)，所以PB=(0,2,-2)又PB⊄平面AEC，因此，PB∥平面AEC．（2）∵平面BAC的一个法向量为AP=(由（1）知，平面AEC的法向量为n1设二面角E-AC-B的平面角为θ（θ为钝角），则cosθ=-|cos<所以二面角E-AC-B的大小为135°．18、(1)①;②见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）(ⅰ)放回事件是独立重复试验，根据独立重复试验概率公式求结果，(ⅱ)抽到红球次数服从二项分布，根据二项分布期望与方差公式求结果，（2）先确定随机变量取法，再根据组合数求对应概率，列表可得分布列.详解：（1）抽1次得到红球的概率为，得白球的概率为得黑球的概率为①所以恰2次为红色球的概率为抽全三种颜色的概率②～B(3,),则，（2）的可能取值为2，3，4，5,,，即分布列为：2345P点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19、（1）（2）4（3）1，【解析】

分析：（1）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标，可得抛物线的焦点坐标，从而可得抛物线方程；（2）设点在抛物线的准线上的射影为点，根据抛物线定义知,要使的值最小，必三点共线，从而可得结果；（3），设，，根据焦半径公式可得，利用韦达定理化简可得结果.详解：（1）由已知易得，则求抛物线的标准方程C为.（2）设点P在抛物线C的准线上的摄影为点B，根据抛物线定义知要使的值最小，必三点共线.可得，.即此时.（3），设所以.点睛：本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.20、(1)+y2=1．(2)见解析.【解析】

（1）由题意可得：，，a2=b2+c2，联立解得：a，b．即可得出椭圆C的方程．（2）设P（x0，y0），（x0＜0，y0＜0）A（2，0），B（