第16章近代物理量子力学简要

重点康普顿散射（康普顿效应）氢原子光谱和玻尔理论§16.3

康普顿效应光的散射(光子与自由电子的作用)（一）光的散射现象当光照射到尺度远小于其波长的物体上，光就会向各个方向散开，这种现象称为光的

散射。（二）普通散射现象（经典解释）e频率相同的受迫振动入射光 发射同频率次级电磁波在1922—1923年间，康普顿在用X

射线作光散射实验时，发现：X

射线被散射后，除部分波长没有改变外，还有部分波长变长这种现象称为康普顿效应（康普顿散射）。康普顿散射（一）康普顿散射在1922—1923年间，康普顿在用X

射线作光散射实验时，发现：X

射线被散射后，除部分波长没有改变外，还有部分波长变长，这种现象称为康普顿效应（康普顿散射）。（二）康普顿散射实验石墨体q光源X射线谱仪散射光晶体改变X

射线谱仪的方位，可以测得不同角度散射的X

射线波长和强度。改变X射线谱仪的方位，可以测得不同角度散射的X

射线波长和强度。（三）实验结果（1）不同散射角的X

射线波长和强度q

=

00q

=

450q

=

900q

=1350l0l相对强度Dl改变，I改变Dl改变，I改变（2）相同散射角下不同元素的散射情况相对强度ll014

Si18

S10

K20Ca24Cr28

Fe28

Ni20CuDl不变，I改变Dl不变，I改变由图（1）：q

„0时，两种波长散射光l0，l当q

›

时，Dl

›，I0

fl，I新

›由图（1）：q

„0时，两种波长散射光l0，l当q

›

时，Dl

›，I0

fl，I新

›由图（2）：Dl与物质性质无关，当原子序数›，I0

›，I新

fl由图（2）：Dl与物质性质无关，当原子序数›，I0

›，I新

fl经典电磁理论对波长变长现象无法解释（四）光量子理论解释入射光子反冲电子散射光子lhl¢qhjmv吸收部分能量能量减少，波长变长反冲电子散射光子

q

jl入射光子hl¢hmv碰撞前：hcl

lhl¢

l¢hc

h0m

c2

0

c2m

c21-

v2c20m0v1-

v2碰撞后：

由能量守恒：2hc

2

hc

m0c

(1+

m0c

=

+l

l¢

1-

v2

c2()12c2m

c2hchc1-

v2+

0

+

m0c

=l¢l由动量守恒：h

=

h

cosq

+

m0v

cosj

(2)水平方向：l

l¢

1-

v2

c2垂直方向：0

=

h

sinq

+

m0v

sin

j

(3)l¢

1-

v2

c2sin

j

(3)cosj

(2)lc2c2m0v1-

v2l¢1-

v2m0vl¢h

=

h

cosq

+垂直方向：0

=h

sinq

+水平方向：(1)2

+(2)2

得：

h

h

2

h

2

2

-

cosq

+

sinq

=

(m0v)

l

l¢

l¢

1-

v2

c2

h

2

h

2

2

2即

+

-

2h

cosq

=

(m0v)

(4)

l

l¢

ll¢

1-

v2

c2(4)c2(m

v)2c2(m

v)21-

v2

h

2

+

h

21-

v2=

0

2

h2

h

h

-

cosq

=

0

ll¢

l

l¢sinq

l¢2h2-

cosq

+l¢

l即(1)2

+(2)2

得：由[(1)‚c]2得：

h h

2

m2c2

+

m

c

-

=

0

(5)

l

0

l¢

1-

v2

c2(5)c2m2c21-

v2=

0

h

2

h+

m0c

-l¢

l由[(1)‚c]2得：(

)

(

)

2

2 2

)

2

2m0

c

-

v5

-

4

得：

2

=

m

c

=1-

v2

c

0

h

2

h

2

2h2

h h

2

2

+

- +

m0

c

+

2m0c

-

l

l¢

ll¢

l

l¢

h

2

h

2

2-

-

+

2h

cosq

l

l¢

ll¢(

)

(

)0

02

2ll¢

+

cosq

-

l

l¢-

ll¢ll¢

+

l

l¢2h2

h

2

h

2

h h

- +

m2c2

+

2m

c

-2h2

h

2

h

2=

m0

c

=c21-

v2m2

c2

-

v2

)5

-4

得：0化简得22h

(1-

cosq

)=

2m

ch

l¢-

lll¢

0

ll¢l¢-

lll¢ll¢2(1-

cosq

)=

2m0ch2h所以Dl

=

l¢-

l

=

h

(1-

cosqm0c=

2h

sin

2

qm0c

2m0ch(1-

cosq

)Dl

=

l¢-

l

==

2h

sin

2

qm0c

2康普顿波长h

6.626

·10-34lc

=

=

-31

8m0c

9.110

·10

·

2.998·10=

0.0024262(nm)=

2.43·10-12

(m)hc0=

0.0024262(nm)=

2.43·10-12

(m)10

·

2.998·10m

c

9.110

·6.626

·10-34-31

8l

=

=由康普顿散射公式

2

q

Dl

=

l¢-

l

=

lc

2

sin

2

¢2

2

sin2qDl

=

l

-

l

=

lcDl

=

l¢-

l

=

2.43·10-12

(1-

cosq

)(m得波长改变量的数量级为Dl

=

l¢-

l

=

2.43·10-12

(1-

cosq

)(m)解释：

q

Dl

=

l¢-

l

=

l

2

sin

2

c

2

¢2

2

sin2qDl

=

l

-

l

=

lc(1)q

›，Dl

›，与散射物质无关。q

=0时，Dl

=0，l0不变；q

=p时，Dl最大，与实验相符(1)q

›，Dl

›，与散射物质无关。q

=0时，Dl

=0，l0不变；q

=p时，Dl最大，与实验相符。经典：l

=10cm(微波)，Dl

l

»2.43·10-11

m——观察不到康普顿效应量子：l

=10-10

m(X射线)，Dl

l

»2.43·10-2

m——能观察到康普顿效应经典：l

=10cm(微波)，Dl

l

»2.43·10-11

m—观察不到康普顿效应量子：l

=10-10

m(X射线)，Dl

l

»2.43·10-2

m—能观察到康普顿效应(2)有原波长l0

——内层电子与原子结合坚固，光子与之相碰等同于原子相碰，所以光子只改变方向不改变能量。相对强度：q

›，越接近与电子正面相碰结合坚固电子数变少，原波长相对强度减弱。相对强度：q

›，越接近与电子正面相碰，结合坚固电子数变少，原波长相对强度减弱。(2)有原波长l0

——内层电子与原子结合坚固，光子与之相碰等同于原子相碰，所以光子只改变方向不改变能量。(3)由于轻原子电子束缚弱，重原子内层电子紧（或自由电子在电子总数中比重降低），所以新波长的光强相应减弱，康普顿效应不太显著。(3)由于轻原子电子束缚弱，重原子内层电子紧（或自由电子在电子总数中比重降低），所以新波长的光强相应减弱，康普顿效应不太显著。康普顿效应的意义（一）证明光子假射的正确性。（二）证明光子动量、能量表达式的正确性。（三）在光子与电子的相互作用过程中，动量和能量依然守恒。例一在康普顿效应中，入射光子的波长为3·10-3

nm

，反冲电子的速度为光速的60%。求散射光子的波长及散射角。解：由能量守恒：2

mc2hn

+

m0c

=

hn¢+0hn

+

m

c2

=

hn¢+

mc2因为c

c

v

2n

=

，n¢=

¢

m

=

m0

1-

，l

l

c

0

¢¢1-

c

v

2，m

=

mcl，n

=cln

=所以

1

1

2

=

-

m0c

1

1-

v

-1l¢

l

h

c

=

1

-

1

m0cl

4

h-1

c

v

21-

-

0

1=1

1

m

c

l

hl¢l¢=

4hl4h

-

lm0c4

·6.63·10-34

·0.03·10-10=

4

·6.63·10-34

-

0.03·10-10

·9.1·10-31

·3·108=

4.35·10-3

(nm)=

4.35·10-12

(m)=

4.35·10-3

(nm)=

4.35·10-12

(m)4

·6.63·10-34

·0.03·10-10=4

·6.63·10-34

-

0.03·10-10

·9.1·10-31

·3·108=

1

-

1

m0cl

4

h得l¢=

4hl

4h

-

lm0cDl

=

l¢-

l

=

2.43·10-12

(1-

cosq

)(mDl

=

l¢-

l

=

2.43·10-12

(1-

cosq

)(m)由康普顿散射公式得

l

-

l

q

=

arccos1-

2.43·10-12

(4.35

-

3.00)·10-12

=

arccos1-

2.43·10-12

=

arccos

0.444

=

63036¢=

arccos

0.444

=

63036¢=

arccos1-

2.43·102.43·10-12(4.35

-

3.00)·10-12

-12q

=

arccos1-

l

-

l

例二

在康普顿效应中，如果电子的散射方向与入射光子方向之间的夹角为φ，试证明电子的动能为hn

2a

cos2

j

)

hnEk

=

其中a

=(1+

a)2

-

a2

cosj

m

c2e2m

cehnhn

2a

cos2

j

)Ek

=

(1+

a)2

-

a2

cosj其中a

=hn

cjPehnc由相对论E

2

=

P2c2

+

m2c4

(1)e

eE

=

E

+

m

c2

(2)k

e(2)e

eE

=

E

+

m

c2k

eE

2

=

P2c2

+

m2c4

(1)me

—电子静止质量me

—电子静止质量E

2

+

2E m

c2

=

P2c2

(3k

k

e

e将（2）代入（1），消去E

得E

2

+

2E m

c2

=

P2c2

(3)k

k

e

ehn

cjPehnc动量守恒：2

2

hn¢

2

hn

hn

=

P

+

-

2Pe

cosj

(4)

c

e

c

ccosj

(4)chnee

-

2P

c

hn

2=

P2

+

c

hn¢2能量守恒：Ek

=

hn

-

hn

(5)Ek

=

hn

-

hn

(5)将(5)代入(4)，消去n

得E

-

2hnEk

=

P

c

-

2Pechn

cosj

(62

2

2k

eE

2

-

2hnE

=

P2c2

-

2P

chn

cosj

(6)k

k

e

e将(3)代入(6)得

m

c2

Ek

e

+1P

c

hn

(7)=

e

cosj(7)cosj

hn

m

c2P

c

=Ek

e

+1e由(3)、(7)消去Pe得hn

2a

cos2

j

)Ek

=(1+

a)2

-

a2

cosja=

hnm

c2em

c2ehn

2a

cos2

j

)Ek

=

(1+

a)2

-

a2

cosja=

hn§16.4玻尔氢原子理论玻尔（Niels

Hendrick

David

Bohr，1885—1962）丹麦理论物理学家。现代物理学创始人之一。他提出氢原子的模型和理论，提出对应原理。他是原子核的液滴模型和核裂变理论的创立者之一。1913年，玻尔将量子概念应用于微观系统提出原子结构模型，成功地计算氢原子光谱，并预言了新光谱线。玻尔（Niels

Hendrick

David

Bohr，1885—1962）丹麦理论物理学家。现代物理学创始人之一。他提出氢原子的模型和理论，提出对应原理。他是原子核的液滴模型和核裂变理论的创立者之一。1913年，玻尔将量子概念应用于微观系统，提出原子结构模型，成功地计算氢原子光谱，并预言了新光谱线。1893年，英国物理学家汤姆逊（J.J.Thomson）首先发现电子，并于1897年在英国卡文迪许实验室测定了比荷（e／m）为此于1906年获诺贝尔物理奖。电子的电量由美国物理学家密立根于1909年测定（密立根油滴实验），并于1923年获诺贝尔物理奖电子的质量仅为氢原子质量的1／2000。经典原子模型（一）汤姆逊模型1893年，英国物理学家汤姆逊（J.J.Thomson）首先发现电子，并于1897年在英国卡文迪许实验室测定了比荷（e／m），为此于1906年获诺贝尔物理奖。电子的电量

由美国物理学家密立根于1909年测定（密立

根油滴实验），并于1923年获诺贝尔物理奖。电子的质量仅为氢原子质量的1／2000。-

---

-

--

-1903年汤姆逊提出：正电部分和原子质量均匀分布在半径为

10-10

m

的球体内，弹性、冻胶状的负电荷嵌在（浸于）此球内，电子在平衡位置作桨谐振动而发射同频率的电磁波。正电荷部分负电荷（二）卢瑟福（英国原子物理学家）模型（1）α粒子散射实验1901——1911年，盖革和马斯顿进行了一系列α粒子散射实验。SFOqR放射源（镭）α粒子束小孔金属箔P荧光屏T显微镜α粒子探测器a粒子—2He（He核）4电荷为+2e，质量为7400me速度为v

=

1

c15154速度为v

=

1

c电荷为+2e，质量为7400me，a粒子—2He（He核）（2）实验结果(a)大多数粒子，散射角为q

=

00，20

—

30(b)8000个粒子中有一个，散射角q900，甚至为1800。(b)8000个粒子中有一个，散射角q900，甚至为1800。(a)大多数粒子，散射角为q

=

00，20

—

30；（3）原子的核模型（原子的行星模型）1911年卢瑟福提出：原子中带正电的部分集中了原子绝大部分这里质量，并分布在一个极小区域内（称为原子核），而电子在它的周围运动，好象行星绕太阳一样。1911年卢瑟福提出：原子中带正电的部分集中了原子绝大部分这里质量，并分布在一个极小区域内（称为原子核），而电子在它的周围运动，好象行星绕太阳一样。1180010710610510410310210α粒子散射相对数300

600

900

1200

1500散射角（θ）原子核电子与实验相符（4）氢原子

经典核模型的困难v-

er+

e

FerˆmH

»1837me-14rH

»10

m-10ra

»10

maHr

»10-10

mmH

»1837mer

»10-14

m+核电子-e电子被原子核捕获，光谱为连续光谱。电子被原子核捕获，光谱为连续光谱。事实：原子是稳定的原子光谱是线状光谱卢瑟福原子核模型？经典电磁理论？氢原子光谱（一）原子特征光谱从氢气放电管中获得氢原子光谱，通过光谱仪观察发现：氢原子光谱为线状光谱。巴尔末（瑞典中学教师1885年）公式：n2l

=B

n2

-4

n

‡2(正整数)0B

=

3645.93

A0B

=

3645.93

An2n2

-

4n

‡2(正整数)l

=

B巴尔末系（可见光）：波数~

1

1

1

n

=

l

=

RH

22

-

n2

2

22

nHln~

=

1

=

R

1

-

1

R

=

4

=1.096776

·107

(m-1H

BBR

=

4

=1.096776

·107

(m-1

)H里德伯和里兹发现普遍公式：~

1

1

n

=

R

-

=

T

(m)-T

(n)

(nm)

m2

n2

m

n

2

2n~

=

R

1

-

1

=

T

(m)-T

(n)

(nm)R

—里德伯常数，T

(m)—光谱项R

—里德伯常数，T

(m)—光谱项1916年赖曼系（m

=1）：~

1

n

=R

-1

n

=2，3，紫外光H

12

n2

2

2

n

=2，3，紫外光1

nHn~

=

R

1

-

1

巴尔末系（m

=2）：

n~

=R

1

-1

n

=3，4，可见光H

22

n2

2

2

n

=3，4，可见光2

nHn~

=

R

1

-

1

1908年帕邢系（m

=3）：

n~

=R

1

-1

n

=4，5，红外区H

32

n2

22

n

=4，5，红外区3

nHn~

=

R

1

-

1

1922年布喇开系（m

=4）：

n~

=R

1

-1

n

=5，6，红外区H

42

n2

2

2

n

=5，6，红外区4

nHn~

=

R

1

-

1

1924年普芳德系（m

=5）：

n~

=R

1

-1

n

=6，7，红外区H

52

n2

2

2

n

=6，7，红外区5

nHn~

=

R

1

-

1

（二）原子特征光谱的规律（1）线状、分立（2）同一公式（3）两项之差1913年玻尔在卢瑟福核式模型的基础上结合普朗克、爱因斯坦能量量子化，提出氢原子模型。玻尔氢原子理论（一）玻尔氢原子模型1913年玻尔在卢瑟福核式模型的基础上，结合普朗克、爱因斯坦能量量子化，提出氢原子模型。假设：（1）电子在原子中沿一组特殊轨道运动，并处于稳定状态。电子绕核作加速运动时，不随意吸收和发射辐射，称为定态。相应的能量为E1，E2，（2）当一个电子以某种方式从一个定态向另一个定态跃迁时，原子就会吸收或发射光子。由爱因斯坦光子假设hn

=

En

-

Emhn

=

En

-

Emn

=

En

-

Emhn

=

En

-

Em若En

Em，则m

fi

n，吸收光子n

fi

m，发射光子若En

Em，则m

fi

n，吸收光子n

fi

m，发射光子hEnEm与经典理论不同：（1）为光子频率而不是电子振动频率n

=

En

-

Emhn

=

En

-

Emh（2）En、Em为分立值，所以n为分立线光谱。（3）电子运动轨道为圆形轨道，电子在倍，即角动量是量子化的：轨道上运动时的角动量为

h

的整数h

h

=

2p

L

=

mvr

=

n

h

=

nh，n

=1，2，3，2pL

=

mvr

=

n

h

=

nh，n

=1，2，3，2p（二）能级由经典力学：v2

e2m

=

2r

4pe0

r0e2mv2r

4pe

r

2=e2r

=

()14

2pe0mv()120e24pe

mvr

=由角动量量子化假设：r

=

nh

(2)mv(2)mvr

=

nh（1）=（2）得e2

nh4pe

mv2

=

mv0nh0e24pe

mv2

=

mv则e2

acv

=

=4pe0nh

nv

=e2

ac=4pe0nh

n2a

=

e

»1

—精细结构常数4pe0hc

137—精细结构常数»e2

14pe0hc

137a

=4pe

n2h20

2r

=

ne2

=

a0n2ne2r

=

0

=

a0n4pe

n2h2将（2）代入v

得2a

=4pe0h

=5.292

·10-11

(m)—玻尔半径0

me2(m)—玻尔半径

0

me20-11=

5.292

·10a

=4pe

h2r1

=

a0，

n

=1r2

=

4a0，n

=

2r3

=

9a0，n

=

3r1

=

a0，

n

=1r2

=

4a0，n

=

2r3

=

9a0，n

=

3所以电子能量为1

2

e2

me4En

=

mv

-

2

2

=

-

2

2n22

4pe0h

n

8e0

h2

2

202

20212me4e2n8e

h

n4pe

h

n=

-mv

-E

=me4n

=1

基态

E

=

- »

-13.6eV1

8

2

2e0

hn

=

2

第一激发态

E

=

1

E

=

-3.39eV2

4

1n

=

3

第二激发态

E

=

1

E

=

-1.51eV3

9

1n

fi

¥

E¥

=

0943

12

101E¥

=

0E

=

1

E

=

-1.51eVE

=

1

E

=

-3.39eV»

-13.6eVme42

2E

=

-n

=3

第二激发态n

fi

¥n

=2

第一激发态n

=1

基态8e

h（三）能级图-

3.39-1.51-

0.58-

0.54-

0.3813246巴耳末系帕邢系布喇开系普芳德系5-13.58赖曼系（四）波数n~

=

1

=

nl

c-

4

1

1

=

En

Em

=

me

-

(nm2h3c

m2

n2hc

8e0

(nm)En

-

Em=

=2

2

-2

3me4

1

1

hc

8e0

h

c

m

n

l

cn~

=

1

=

n与里德伯公式比较：得理论值me4R

=

=1.097373·107

(m-1

)2

3c8e0

h)0=1.097373·10

(7

m-1me4R

=8e2h3c实验值为R

=1.096776

·107

m-1

)HRH

=1.096776

·10

m

)7

-1me4R

=

=1.097373·107

(m-1

)2

3c8e0

h0=1.097373·10

(

)7

m-1me4R

=8e2h3c修正：m

fi

Mm

折合质量M

+

m折合质量MmM

+

mm

fiM

≈2000m

，应该考虑核的运动。（五）富兰克—赫兹实验1914年，富兰克和赫兹在研究电子碰撞原子的实验中验证了能级的存在。（六）索末菲椭圆轨道理论（1916）推广量子化条件：

Pdq

=

nh

Pdq

=

nhq

—电子广义坐标P

—广义动量—回路积分沿运动轨道q

—电子广义坐标P

—广义动量

—回路积分沿运动轨道适用于多自由度也可解释类氢原子光谱。适用于多自由度，也可解释类氢原子光谱。（五）上述理论的局限性仅限于材料氢和类氢原子不能求出光谱线的强度经典力学应用于微观粒子？例一

试用量子化条件求谐振子的能量。解：设谐振子振幅为a

，则位移为x

=

a

sin

wtx

=