三年级奥数下册讲义

目录TOC\o"1-3"\h\u第一讲周期问题 1周期问题练习题25第二讲错中求解及复原问题28错中求解练习题30第三讲重叠问题39重叠问题练习题39第四讲归一问题47归一问题练习题49第五讲和差问题51和差问题练习题51第六讲和倍问题55和倍问题练习题59第七讲差倍问题64差倍问题练习题70第八讲简单的平均数问题74平均数问题练习题79第九讲长方形和正方形周长、面积计算83第十讲盈亏问题 91盈亏问题练习题95第十一讲鸡兔同笼问题99鸡兔同笼练习题105第十二讲行程问题108第十三讲定义新运算110第十四讲杂题118总复习121第一讲周期问题知识点说明周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.分类：1．图形中的周期问题；2．数列中的周期问题；3．年月日中的周期问题．周期性问题的根本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。主要方法有观察法、逆推法、经历法等。主要问题有年月日、星期几问题等。⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；例如：1，2，1，2，1，2，…则第18个数是多少？这个数列的周期是2，，所以第18个数是2．⑵如果比整数个周期多个，则为下个周期里的第个；例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…则第16个数是多少？这个数列的周期是3，，所以第16个数是1．⑶如果不是从第一个开场循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算．例如：1，2，3，2，3，2，3，…则第16个数是多少？这个数列从第二个数开场循环，周期是2，，所以第16个数是2．板块一、图形中的周期问题小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2个黑球，1个白球；2个黑球，1个白球；……也就是按“2个黑球，1个白球〞的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3〔2个黑球，1个白球〕．再看看90、100里包含有几个这样的周期，假设正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，假设是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个．因为，正好有30个周期，第90个是白球．…1，有33个周期还多1个，所以，第100个是黑球．美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的：则你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白〞4个珠子组成一组，并且不断重复出现的．我们先算出102个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子．因为…2，所以最后一个珠子是第26个周期中的第二个，即为黑色．在每一个周期中只有1个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有〔个〕小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列．⑴第73颗是什么颜色的？⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？⑶第8颗红珠子及第11颗红珠子之间〔不包括这两颗红珠子〕共有几颗珠子？⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有5颗．(组)……3(颗)，第73颗是第15组的第3颗，所以是蓝色的．⑵第10颗黄珠子前面有完整的9组，一共有(颗)珠子．第10颗黄珠子是第l0组的第2颗，所以它是从头数的第47颗．列式：(颗)⑶第8颗红珠子及第11颗红珠子之间一共有14颗珠子．第8颗红珠子及第11颗红珠子之间有完整的两组(第9、10组)，共l0颗珠子，第8颗红珠子后面还有4颗珠子，所以是14颗．列式：(颗)．奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢送你〞的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢送你北京欢送你北京欢送你……〞依次排列，第28个字是什么字？这道题是按“北京欢送你〞的规律重复排列，即5个字为一个周期．因为…3，所以28个字里含有5个周期还多3个字，即第28个字就是所列一个周期中的第3个字，所以第28个字是“欢〞字．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．则第73盏灯是什么颜色的灯？从第一盏白灯开场，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是：1，5，9，13，……，这些编号被4除所得的余数都是1．，即73被4除的余数是1，因此第73盏灯是白灯．节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、……这样排下去．问：⑴第150盏灯是什么颜色？⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯？⑴街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，这样一个周期变化的，实际上一个周期就是〔盏〕灯．，150盏灯刚好15个周期，所以第150盏应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯．⑵如果是200盏灯，就是的周期．每个周期都有4盏蓝灯，〔盏〕前200盏彩灯中有80盏蓝灯．在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开场数，直到第50颗，则其中白珠有多少颗？…5．〔个〕．小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分，2个2分，1个5分的顺序排列起来．⑴最后1枚是几分硬币⑵这200枚硬币一共价值多少钱？⑴每个周期有枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以6，根据余数来判断……2，所以最后一枚是1分硬币⑵每个周期中6枚硬币共价值〔分〕，用这个数乘以周期次数再加上余下的，就可以得到一共价值多少了〔分〕，所以，这200枚硬币一共价值398分．桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？…1,…2,所以,第19枚硬币是一角的,第14枚硬币是五角的．有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有〔朵〕花．因为……6，所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花．按花的排列规律，这6朵花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花．在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在249朵花中，自然也是绿花最多，红花最少．少几朵呢？有两种解法：〔方法1〕……6红花有：〔朵〕绿花有：〔朵〕红花比绿花少：〔朵〕〔方法2〕……6，一个周期少的：〔朵〕，〔朵〕，余下的6朵中还有5朵红花，所以〔朵〕.如下图，每列上、下两个字〔字母〕组成一组，例如，第一组是“我，〞，第二组是“们，〞……我们爱科学我们爱科学我…………⑴写出第62组是什么？⑵如果“爱，〞代表1991年，则“科，〞代表1992年……问2021年对应怎样的组？〔1〕要求第62组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字〔字母〕，上面一行是以“我们爱科学〞五个字为一个周期，下面一行则是以“〞七个字母为一个周期……2,……6，所以第62组是“们，〞⑵2021是1991之后的第17组，现在上面一行按“科学我们爱〞五个字为一个周期，下面一行则按“〞七个字母为一个周期：〔组〕，……2……3，所以2021年对应的组为“学，〞．在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为〔新奥〕，第二组为〔北林〕，则第50组是什么？新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运……奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会……要知道第50组是哪两个数，我们首先要弄清楚第一行和第二行的第50个字分别应该是什么．第一行“新北京新奥运〞是6个字一个周期，…2，第50个字就是北．再看第二行“奥林匹克运动会〞是7个字一个周期，…1，第50个字就是奥．把第一行和第二行合在一起，第50组就是“北奥〞．如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影局部是圆形的水洼。一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它飞到关于C点对称的3号位，再飞到关于A点对称的4号位，……，如此继续，一直对称地飞下去。由此推断，2004号位和0号位之间的距离是多少米？0米。根据题上给出的条件，动手画出，就可以了！四次再次回到0号位置！2004是4的倍数，所以第2004号位和0号位之间的距离是0米。板块二、数列中的周期问题小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3…你知道他写的第81个数是多少吗？你能求出这81个数相加的和是多少吗？⑴从排列上可以看出这组数按7，0，2，5，3依次重复排列，则每个周期就有5个数．81个数则是16个周期还多1个，第1个数是7，所以第81个数是7，…1⑵每个周期各个数之和是：．再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下的各数，即可得到答案．，所以，这81个数相加的和是279．根据下面一组数列的规律求出51是第几个数？1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17……观察题目可知数列个位数字每九个数一组，十位数字依次增加，0～4共五个数，则可列式为：5×9＋1=46，即51为第46个数。⑴……〔25个4〕，积的个位数是几？⑵24个2相乘，积末位数字是几？⑴按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：4，6，4，6，4，6，……，奇数个4相乘得数的末位数字是4，偶数个4相乘得数的末位数是6，所以…1，25个4相乘，积的末位数字是4．

⑵按照乘数的个数，末位数字的规律是2，4，8，6，2，4，8，6，……，4个一组，所以24个2相乘，积末位数字是6．紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，，在9后面写2，，在2后面写8……得到一串数字：…，问：这串数字从1开场，往右数，第l999个数字是几？这1999个数字的和是多少？⑴……“286884〞这6个数字重复出现，周期是6．⑵第1999个数字是：因为，所以，第l999个数字是6．⑶这1999个数字的和是：12个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图．⑴从1号同学开场，顺时针传l00次，手绢应在谁手中？⑵从1号同学开场，逆时针传l00次，手绢又在谁手中？⑶从1号同学开场，先顺时针传l56次，然后从那个同学开场逆时针传143次，再顺时针传107次，最后手绢在谁手中？⑴因为一圈有l2个同学，所以传一圈还回到原来同学手中，现在，从1号开场，顺时针传l00次，我们先用除法求传了几圈、还余几次．(圈)……4(次)从1号同学顺时针传4次正好传到5号同学手中．⑵及第一小题的道理一样，先做除法．(圈)……4(次)这4次是逆时针传，正好传到9号同学手中(如图)．⑶先顺时针传156次，然后逆时针传l43次，相当于顺时针传(次)；再顺时针传l07次，及13次合并，相当于顺时针传(次)，(圈)，手绢又回到l号同学手中．8个队员围成一圈做传球游戏，从⑴号开场，按顺时针方向向下一个人传球．在传球的同时，按顺序报数．当报到72时，球在几号队员手上？将8名队员看作一组，每组报8个数，72个数可以分成几组：组，没有余数，球正好在一组的最后一位队员手中，因此球应该在8号队员手上．如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字．的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字．的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？解答此类问题时，只要能发现旋转周期现象，并充分加以利用，就能较快找到解题的关键．此题中，不难看出这是一个及周期性有关的问题，电子跳蚤每跳12步就回到了原来的位置，如此循环，周期为12．⑴因为，所以，红跳蚤跳了1991步后落到了标有数字11的圆圈．⑵因为，所以，黑跳蚤跳了1949步后落到了标有数字7的圆圈．⑶所求的乘积是.如右图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开场按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485个位置，第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进485个位置……如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的1号位置？根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天一个周期循环变换方向.每一个周期中，小球实际上是按逆时针方向前进485-329=156〔个〕位置.156÷8=19……4，就是说，每个周期〔2天〕中，小球是逆旋转了19周后再逆时针前进4个位置.要使小球回到原来的1号位，至少应逆时针前进8个位置.8÷4=2〔个〕周期，2×2=4〔天〕，所以至少要用4天，小球才又回到原来“1〞号位置.如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码.现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进136个，这时他到了第几号椅子？这个人顺时针前进了328+328+136=792个位置，由于792÷16=49…8，所以他走到9号位置.又这个人逆时针共退回485+485=970个位置，由于970÷16＝60…10，因此这个人到了第15(=9+16-10)号椅子.甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色。首先，甲从木棍的端点开场涂黑色5厘米，间隔5厘米不涂色，再涂5厘米黑色，这样交替做到底。然后，乙从木棍同一端点开场留出6厘米不涂色，然后涂6厘米黑色，再间隔6厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色局部的总长度是多少？此题最好画图为同学们示意：在前30厘米内未被涂黑的是：1，3，5，在31-60厘米内的是：4，2，因此60厘米一个周期：〔1+3+5+4+2〕×300/60=75厘米.右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891，则B代表多少？根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891〞，可知任意一个小圆圈中的数和及它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是一样的.于是：B=891÷(9×9)=11.课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数．甲报“1〞，乙报“2〞，丙报“3〞，丁报“4〞，这样每人报的数总比前一个人多1．问“34〞是谁报的？“71〞是谁报的？根据题意，甲从“1〞开场报数，一共报了34次．因为是4个人在报数，所以报4次就要重复一遍，也就是说是以4为一个周期重复的．34里面有8个周期还余2次，所以“34〞应是重复8遍以后第二个人报的，即乙报的．…3，所以“71〞应是第三个人报的，即丙报的．昨晚8点至今早8点，共经历(分钟)，，说明从今早8点整起，7分钟，7分钟…往回数，昨晚8点后，第1次指针跳是8点6分，直到今早7点53分，指针正好跳到“0〞位，指针共跳了102次．由于每次跳9格，所以共跳了(格)．每20格一圈，，因此从“0〞位开场，往回倒45圈，还要倒回18格，正是昨晚8点时指针所指处：，因此昨晚8点整时指针正指着2．有、、三个蜂鸣器，每次持续鸣叫的时间比例是．每个蜂鸣器每次鸣叫完后停秒钟又开场鸣叫．最初三个蜂鸣器同时开场鸣叫，分钟后第二次同时开场鸣叫，此时蜂鸣器已是第次鸣叫了．问：最初同时开场鸣叫后的多少秒及第一次同时完毕鸣叫？14分钟即秒，根据题意可知在840秒内蜂鸣器已经鸣叫了42次，也停了42次，则蜂鸣器每一次鸣叫加停顿的时间为秒，所以蜂鸣器每次鸣叫持续的时间为：秒，则蜂鸣器每次鸣叫持续秒，蜂鸣器每次鸣叫持续秒，则、两个蜂鸣器每次鸣叫加停顿的时间分别为秒和秒，由于，所以经过391秒之后及要第二次同时开场鸣叫，由于在此时及都停顿鸣叫了8秒，所以及第一次同时完毕鸣叫是在最初开场鸣叫之后的第秒．有一个111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？我们可以用列表的方法寻求周期．被除数中“1〞的个数1234567…除以6后余数的末位数字1531531…除以6后商的末位数字0185185…通过表格我们可以发现，余数出现的周期为3〔1，5，3〕；第1个“1〞上相对应的商为“0〞，从第二个“1〞开场，商的末位数字的周期为3〔1，8，5〕因为，所以这个数除以6后余数的末位数字是3；因为…2，所以这个数除以6后商的末位数字是8．有一个1111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？余数出现的周期为3〔1，5，3〕；第1个“1〞上相对应的商为“0〞，从第二个“1〞开场，商的末位数字的周期为3〔1，8，5〕，因为…1，所以这个数除以6后余数的末位数字是1；因为，所以这个数除以6后商的末尾数字是5．求的个位数字.由128÷4＝32知，的个位数及的个位数一样，等于6。由29÷2＝14……1知，的个位数及的个位数一样，等于9.因为6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16－9＝7.算式的得数的尾数是几？这是一道很经典的题目，分别找规律，我们只看个位数就够了：7：7，9，3，1……，367/4=91…3，个位数是3；2：2，4，8，6……，762/4=190…2，个位数是4；3：3，9，7，1……，123/4=30…3，个位数是7；因此个位数：〔3+4〕×7=49.板块三、日期中的周期问题阳历1978年1月1日是星期日，阳历2000年1月1日是星期几？每四年有一个闰年，闰年的年份被4整除，所以从1978年至1999年共有17个平年，5个闰年，由此可以算出总天数，用总天数除以7，余1是星期一，余2是星期二，依次类推〔天〕，〔星期〕……6〔天〕，所以，阳历2000年1月1日是星期六．1999年的元旦是星期五，则据此你知道2005年的元旦是星期几吗？00、04是闰年，01、02、03、05是平年，一共度过了：365×6＋2=2192〔天〕，2192÷7=313…1，2005年的元旦是星期六小童的生日是6月27日，这一年的6月1日是星期六，小童的生日是星期几呢？从日历上可以看到，每个星期有7天，就是以7天为一个周期不断地重复．6月1日是星期六，则再过7天，即6月8日，还是星期六；如果再过14天，即6月15日，还是星期六，所以要知道6月27日是星期几，首先要求出6月27日是6月1日后的第几天，〔天〕；因为每个星期都是7天，也就是周期为7，所以〔星期〕…5〔天〕．这样，从6月1日开场经过3个星期，最后一天是星期六，从这最后一天再过5天就是星期四．今天是星期三，则从明天起第365天是星期几？题中所说的第365天，不包括今天在内，是说“从今天之后的第365天〞．〔星期〕…1〔天〕，所以，从明天起，到第365天是星期三．2002年的6月1日是星期六，则这一年的10月1日是星期几呢？我们只要算出6月1日到10月1日要经过多少天，然后按照7天为一个周期，运用周期变化规律解答．由于6月1日及10月1日这两个日子不在同一个月里，就要考虑经过月份是什么月？一共有多少天？因为6月有30天，7月有31天，8月有31天，9月有30天，所以6月1日到10月1日要经过的天数：〔天〕，…4，这个周期从周六开场，则第4天正好是星期二．2021年3月3号是星期一，算一算2021年8月8号奥运会开幕是星期几？首先我们应该算出2021年3月3号到8月8号一共有多少天，〔天〕．按照7天为一个周期，…5，这个周期的第一天是星期一，则第五天就应该是星期五，所以2021年8月8号奥运会开幕是星期五．2021年的“六·一〞儿童节是星期日，2021年的“十·一〞是星期几？〔天〕…4，这个周期从周日开场，则第4天正好是星期三．1998年元旦是星期五，l999年元旦是星期几？2000年元旦是星期几？2001年元旦是星期几？l998年是平年，1998年元旦到l999年元旦共365天．，即l998年元旦到1999年元旦要经过52个星期又l天，1998年元旦是星期五，经过52个星期还是星期五，再经过1天便是星期六，因此l999年元旦是星期六．1999年元旦到2000年元旦也是365天，也要经过52周又l天，故2000年元旦是星期日．因为2000年是闰年，2月份有29天，故2000年元旦到2001年元旦共366天，，2000年元旦是星期日，经过52周还是星期日，再过2天便是星期二，即2001年元旦是星期二．图中是2002年5月份日历表．⑴该月8号是星期几？⑵该年6月l日是星期几？该年l0月1日是星期几？⑶2004年5月l日是星期几一个星期有7天，因此7天为一个周期．从表中我们可以看出l号～７号是一个周期，1号是第一个循环的第一天，7号是第一个循环的最后一天，8号是第二个循环的第一天，计算天数时为了方便，我们可以采取“算头不算尾〞或“算尾不算头〞的方法．在算该年6月1日、10月1日、2004年5月1日是星期几时，要注意应准确地算出各是经过了多少天，这其中不要忘记2004年是闰年，共有366天．⑴该月的8号是星期三．⑵从5月1日到5月31日共31天，，所以6月1日是星期六．从5月1日到9月30日共l53天．，所以10月1日是星期二．⑶从2002年的5月1日到2004年的4月30日共731天．，所以2004年5月1日是星期六．小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶．方方第一次取奶是星期一，则，他第100次取奶是星期几？21天内，每人取奶7次，方方第8次取奶又是星期一，即每取7次奶为一个周期．…2，所以方方第100次取奶是星期四．甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊.甲第30次义诊是星期三，则当丙首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？甲第30次义诊是在总次数的第4×29+1=117〔次〕，117÷7=16……5，从周三往前数5天，由周期性知甲第一次义诊时间是在星期六，甲前7次义诊分别是星期六、三、日、四、一、五、二.丙在周日义诊是甲周五义诊之后的两天，所以那是丙第6次去义诊.由于丁在丙后一天义诊，所以他已经去过5次.在某个月中刚好有3个星期天的日期是偶数(双数)，则这个月的5日是星期几？一个星期有7天，注意7是奇数(单数)，所以任意两个相继星期天的日数奇偶性不同．于是在每个月从l日到28日这28天中，有个星期天，且其中有两个星期天的日期是偶数，从而题中第3个日期为偶数的星期天必为30日．由此可以推知，这个月的第1个星期天是日，则，5日为星期三．所以这个月的5日是星期三．某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，则这个月的5号是星期几？这道题外表看无从下手．实际上此题暗藏着一个重要条件：在一个月内，无论是星期几，它的天数只能是4或5，根据这个知识点，就可知道本月星期一，二都是5天，星期三，日都是4天，用列表法可以得到答案．所以这个月的5号是星期五．一个月最多有5个星期日，在一年的12个月中，有5个星期日的月份最多有几个月1月1日是星期日，全年就有53个星期日。每月至少有4个星期日，53-4×12=5，多出5个星期日，在5个月中．即最多有5个月有5个星期日．课后练习课后练习★○○○★★○○○★★○○○……这样的一排图形中第87个是什么图形，在87个图形中一共有多少个五角星？…2．第87个图形是圆形．〔个〕．流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红、再4个黄、再3个绿、在2个黑、再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第2003个小球该涂什么颜色？小木球的涂色顺序是：“5红、4黄、3绿、2黑、1白〞，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、1白〞循环一次，给小木球涂色的一个周期是，因此只要用2003除以15，…8根据余数是8就可以判断：第2003个小木球出现在上面所列一个周期中第8个，所以第2003个小球是涂黄色．如右图所示的数表中，从左往右依次看作五列，第99行右边第一个数是几？每7个数，分成两行一个周期，99÷2=49……1，第98行中最大的那个数为：〔49×7-1〕×2=684，所以第99行从左到右的数依次为：686、688、690，第99行右边第一个数是6901999名同学从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某名同学报的数是一位数，则后一个同学就要报出这个数及9的和；如果某名同学报的数是两位数，则后一个同学就要报出这个数的个位数及6的和。现让第一个同学报1，则最后一名同学报的数是()。列出前几个数：1、10、6、15、11、10、6、15、11、10、6、…可以看出除去第一个数之外后面每四个数一循环，所以〔1999－1〕÷4=499…2，则最后一名同学报的数是6。月测备选月测备选测试1、黑珠、白珠共101颗，穿成一串，排列如下列图。这串珠子中，最后一颗珠子应该是_____色的,这种颜色的珠子在这串中共有_____颗.观察图形可知从第二个珠子开场每隔3个出现一个黑色的，即4个一循环。所以：〔101－1〕÷4=25，判定最后一个为黑色，共有25颗。测试2、按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第100个三角形是什么颜色的？在这100个三角形中有多少个白色的三角形？从图中可以看出，按照6个为一个周期，因为…4，所以第100个三角形应该是这一个周期当中的第四个，应该是黑色的．每个周期里有3个白色的，一共有16个周期就有48个白色三角形，余下的4个三角形中还有3个白色的，所以一共有个．测试3、某个早晨,容器中有200个细菌,白天有光照,容器中的细菌将减少65个,夜间无光照,容器中的细菌将增加40个.则在第几个白天,容器中的细菌全部死亡！该题属于周期中的减少问题，即不完全按照周期回归.一昼夜细菌减少65－40=25个，200÷25=8天，该解法有误.第6天的时候剩余细菌：200-25×6=50，则第7天就可.测试4、同学们在科技馆参加活动，谁最先参加游戏呢？同学们想了个好方法，大家排成一排1～2报数，报2的同学再1～2报数，这样依次进展下去，最后报2的这名同学先玩，如果这列一共有12人，最先玩的同学是这一列中的第几个？第一次1～2报数，报2的是第2，4，6，8，10，12这几个同学，这些同学再1～2报数，报2的是第4，8，12这三名同学，最后这三名同学再1～2报数，就只剩下第8个同学是报2，所以最先玩的这个同学是这列中的第8个．周期问题练习题1、节日里校门口马路边上插着一排彩旗，彩旗按四面红色、三面黄色、两面绿色一面白色的规律排列〔如下列图〕。问：第35面旗子是什么颜色？第90面旗子是什么颜色？2、有一串白珠子和黑珠子按下列图的形式排列。问：第27颗珠子是什么颜色？第78颗珠子是什么颜色？3、把99面小红旗按下列图排列出来，问：其中有几面深色旗？最后一面试深色还是白色？4、灯光夜市在街道上挂的小彩色珠子是按5个红、4个白、3个绿、2个紫、1个白色排列的。问：第1686个是什么颜色的灯珠？第2021个呢？5、甲、乙、丙、丁四人玩踢毽子游戏，规则是每人踢毽子的个数总比前面1个人多1个，即甲1个，乙2个，丙3个，丁4个，甲5个，乙6个……问：踢第37个毽子的是谁？踢83毽子的是谁？6、2021名战士按下面的方法排列成5列：问：1000名战士在哪一列，最后一名战士站第几列？7、学校大楼面前摆了一排花盆，每两盆月季花之间摆3盆杜鹃花，一共摆了126盆。如果第一盆是月季花，则共摆了多少盆杜鹃花？8、有一个数列3,7,1,7,7,9,3,7，……从第三个数起每个数都是前两个数乘积的个位数字。问：〔1〕这个数列的第2021个数是几？〔2〕这个数列前326个数的和是多少？9、有一列数97835497835497……问：〔1〕第88个数是几？〔2〕第327个数是几？〔3〕这327个数的和是多少？第二讲错中求解及复原问题一、本讲知识点和能力目标1、知识点：倒推2、知识目标：让学生学会从错误入手，找到正确结果的方法——倒推法。3、能力目标：提高运用倒推法解决问题的能力。二、教学方法尝试法和启发式三、本讲内容安排第一课时错中求解的意义、加减乘除的变化规律以及加减法的根本类型。第二课时错中求解的乘除法根本类型的学习。第三课时比拟复杂的错中求解问题的学习。第四课时独立练习四、课外延伸、知识拓展抽屉问题难题的涉略。五、需要理解和记忆的知识1、什么是错中求解？在进展加、减、乘、除计算时，一定要认真审题，仔细计算。如果粗心大意，常常会把算式中的数字抄错或把运算符号看错，这样都会使结果错，在这一讲中，以同学们平时计算中的错题为例，介绍如何从错误入手，找到正确结果的方法。加法的变化规律〔1〕在加法里，一个加数增加一个数，另一个加数不变，和就随着增加〔或减少〕这个数。〔2〕在加法里，一个加数增加一个数，另一个加数减少同样的数，和不变。3、减法的变化规律如果被减数增加〔或减少〕一个数，减数不变，则它们的差也增加〔或减少〕同一个数。〔2〕如果减数增加〔或减少〕一个数，被减数不变，则它们的差反而减少〔或增加〕同一个数。〔3〕如果被减数和减数都增加〔或减少〕同一个数，则它们的差不变。4、积的变化规律〔1〕一个因数不变，另一个因数扩大〔或缩小〕几倍，积也扩大〔或缩小〕一样的倍数。〔2〕一个乘数扩大假设干倍，另一个乘数扩大假设干倍，积就扩大它们积的倍数5、商的变化规律〔1〕商不变的性质在除法中，被除数和除数同时扩大或缩小一样的倍数〔零除外〕，商不变。〔2〕在除法中，除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商也扩大或缩小一样的倍数。〔3〕在除法中，被除数不变，除数扩大或缩小几倍，商反而缩小或扩大一样的倍数。错中求解练习题一、填空1、小明是个小马虎，一道4乘一个数让他看成加一个数，结果得24，正确的结果是〔〕。2、小玲在计算一道加法算式时，把一个加数63错看成了36，结果得到的和为132，正确的和是〔〕。二、解决问题1、小粗心在计算一道减法算式时，把减数35错写成53，得到的差为297，正确的差是多少？小马虎在计算一道题目时，把某数乘5加30，误看成某数除以5减30，得数是80，这个数是多少？正确的得数是多少？两个数的和是94，有人计算时将其中的一个加数个位上的0漏掉了，结果算出的和是31。求这个数。4、小华在计算两个数相加时，把第一个数百位上的7错写成1，把第二位加数十位上的6错写成9，这样算得的和是443。正确的的和应是多少？5、甲、乙两学生同算两数之和，甲得685，计算正确，乙得460，计算错误，乙所以算错的原因是将其中的一个加数末尾的0漏掉了。两个加数各是多少？6、陈程做题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3写成8，把十位上的0错写成6，这样算得的差是199，正确的差是多少？【要点】合理运用倒推法1、

两个数的和是131，明明计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了，结果算出的和是77。求这两个数各是多少？2、明明在做减法题时，把被减数十位上的6错看成9了，结果得到的差是132，正确的差是多少呢？3、两个数的和是131，明明计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了，结果算出的和是77。求这两个数各是多少？4、甲、乙两人计算同一道加法，甲得585，计算对，乙得360，计算错。乙发现自己错在把其中一个加数个位上的“0〞漏写了。你能算出原来两个加数吗？

5、小聪在计算一道减法题时，把被减数5023错写成5032，把减数千位上的3错写成2，十位上的5错写成8，这样得到的差是2352。正确的差应是多少？6、张明做两位数乘两位数的题时，把第二个因数的个位数4错当做1，乘得的结果是525，实际应为600，这两个数各是多少？7、小冬计算除法，把除数末尾的“0〞漏了，结果得到的商是700，正确的商是多少？8、小明在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173，这样商比原来多了3。而余数正好一样，请你算算这道题的除数和余数各是多少？【要点】需要整体分析1、一个数乘以4，小华把乘号误当成加号，得到的结果是20，正确的积应该是多少？2、方方和圆圆各用一个数去除同一个被除数，方方用12去除，除得的商是32还余6，圆圆用15去除，圆圆计算的结果是多少？3、王刚在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来少3，但余数恰好一样，这题的除数和余数各是多少？4、小红在计算除法时，把除数530末尾的0漏掉了，结果商是40，正确的商是多少？5、有五个数的平均数是7，小丽把其中的一个数错看成为9后，求得这五个数的平均数为8。看错的那个数原来是多少？6、李度在做一道乘加混合运算〔4＋□〕×15时，错抄成了4＋□×15。这样，他算的结果及正确的结果相差多少？7、小英在计算一道除法题时，把除数36错写成了63，结果得到的商是13，还余9。正确的商应该是多少？8、吴翼锋在计算有余数的除法时，把被除数268错写成了208。结果商比原来有六个数的平均数是14，小凯把其中的一个数错看成42后，求得这六个数的平均数为17。看错的那个数原来是多少？10、一个学生做两位数乘法时，把一个大数的个位数5误写成3，得出的乘积是552，另一个学生却把这个5误写成8，得出的乘积是672，正确的乘积是多少？11、小强在计算计算题〔1800－□〕÷25＋192时，没有注意题里的括号，先用□里的数除以25，然后按加减运算的顺序计算，得1968。这道题应该是多少？12、王小红在计算一道除数是三位数的除法算式时，由于漏写除数十位上的0，而写成18，结果得到商是234，这道题的正确的商是多少？

13、错把除数65写成56，结果得到商是13，还余52，正确的商应是多少？14、甲乙两学生同算两数之和，甲得685，计算正确；乙得460，计算错误，乙所以算错的原因是将其中一加数末尾的0漏掉了，两个加数各是多少？

15、小军做题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3写成8，把千位上的0错写成6，这样算得的差是199，正确的差是多少？

16、

明明做两为数乘两位数的题时，把乘数个位上的4错当作1，乘得的结果是525，实际应为600，这两个两位数各是多少？

17、小明在计算除法时，把除数540末尾的‘0’漏写了，结果得到的商是60。正确的商应该是多少？

18、一个数乘以4，小华把乘号误当成加号，得带的结果是20，正确的积应该是多少？

19、被减数，减数，差相加得2076，被减数是多少？20、小利在计算除法时，把除数24抄成了42，结果是56，正确的商是多少？

21、小华做一道加法时，把千位上的6看成9，把十位上的3看成8，结果得到的和是12000，正确的和是多少？22、小杰做题时，因为粗心，把被减数百位上的3写成4，个位上的9错写成6，这样算得的差是2395，正确的差应是多少？

23、小明在计算除法时，把除数540末尾的“0〞漏写了，结果是60，正确的商应是多少？24、小明在计算有余数除法时，把被除数137看成173，结果商比原来多2，而余数没变，请你算出这道题的除数、商和余数。

25、小虎子在计算有余数除法时，把被除数1712抄成1172，结果商比原来少90，但余数没变，求这道除法算式中的除数和余数。

26、甲、乙两人计算同一道加法，甲得585，计算对，乙得360，计算错。乙发现自己错在把其中一个加数个位上的“0〞漏写了。你能算出原来两个加数吗？

27、毛毛做两位数乘两位数时，由于粗心，把一个因数个位上的8当做6，乘得结果是3496，正确的结果是3648。这两个因数各是多少？

第三讲重叠问题重叠问题练习题1、同学们排队做操，从前数丁丁是第6个，从后数他排在第8个，这一队一共有多少个同学？2、同学们排队做操，从前数小王是第8个，从后来数小王是第9个，这一队一共有多少个同学？3、同学们排队，从前数小明是第9个，从后数乐乐是第7个，小明和乐乐中间还有5个人，这一队可能是多少个同学？还可能是多少个同学？4、为庆祝“六一〞，同学们排成每行人数相等的鲜花队，小华的位置是从左边是第2个，从右边是第4个，从前数是第3个，从后面数是第5个，鲜花队有多少人？5、三〔4〕班排成每行人数一样的队伍参加学校运动会，梅梅位置从前数是第6个，从后数是第4个，从左边、从右边数都是第3个，三〔4〕班共有多少人？6、小朋友排成方阵跳集体舞，笑笑不管从前数，从后数，还是从左数、从右数，都是第5个，这个方阵中一共有多少个小朋友？7、有两块木板，一块长80cm，另一块长70cm，把它们钉在一起，中间重叠的局部是10cm，这块钉在一起的木板全长多少厘米？8、小张把两根长20cm的彩色纸条粘贴成一根长纸条，黏贴局部长3cm，贴好后的长纸条长多少厘米？9、王师傅把两根木条钉成一根长木条，这两根木条，一根长50cm，另一根比第一根短10cm，钉成的木条重叠局部长10cm，钉成的木条全长多少厘米？10、把两块一样长的木板钉在一起，成一块长木板，这块钉成的木板长14分米，中间重叠局部长2分米，这两块木板分别长多少分米？11、把两条一样长的纸条粘贴成一根长16分米的纸条，中间粘贴局部长2分米，这两根纸条的长多少分米？12、把两块木板钉成一条较长的木板，钉成的木板长8分米，中间重叠局部长1分米，一块长3分米，另一块长是多少分米？13、有一块长5分米的木板和一块长7分米的木板钉在一起，得到一块长10分米的木板，中间重叠局部有多长？把两根长度分别是60cm和40cm的绳子打一个结，结成一根长90cm的绳子，打结局部的长度是多少？15、把3块长度都是5dm的木板钉成一块木板，每个重叠处的长度都是一样，钉成的这块木板总长度为13dm，每个重叠处长度分别是多少分米？16、自习课商，做完语文作文的有35人，做完数学作业的有28人，全班总人数是50人，每人至少完成一项作业，有多少同学两项作业都做完？17、三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人至少带一种，三年级既带矿泉水，又带水果的小朋友有多少人？18、在一次数学测试中，三〔3〕班50人中有12人两道思考题都没有做对，有32人做对第一道，有20人做对第二道，有多少人两道题都做对？19、上美术课，三〔6〕班同学每人都带一种彩色笔，有18人带水彩笔，有37人带油画棒，还有6人两种笔都带，三〔6〕班一共有多少人？20、同学们去图书室借文艺书和科技书，每人都借了书，有27人借文艺书，有32人借科技书，其中5人两类书都借了，去图书室借书一共有多少人？21、三〔5〕班的同学参加跳绳和踢毽子比赛，有8人没有参加，有21人参加踢毽子比赛，有24人参加跳绳比赛，还有6人两项都参加，三〔5〕班一共有多少名同学？22、朝阳小学有50人参加象棋比赛和围棋比赛，参加象棋比赛的有38人，有12人既参加象棋比赛，又参加围棋比赛，参加围棋比赛的有多少人？23、50个同学报名参加文体活动，每人至少参加体育组和文娱组中的一个，其中参加体育组的有29人，既参加体育组又参加文娱组的有8人，参加文娱组有多少人？24、40人参加智力比赛，答对第一题的有28人，答对第二题的有21人，两题都答对的有15人，两题都没答对的有多少人？25、同学们做早操，从前数小刚是第7个，从后数他是第4个，这一队一共有多少个同学？26、同学们排成方阵跳舞，从前数小玉是第5人，从后面数她是第4人，从左数她是第4个，从右数她是第2个，这个方阵一共有多少人？27、同学们排队跳舞，每行，每列人数同样多，小红的位置无论从前数、从后数、从左数还是右数都是第3个，一共有多少个同学跳舞？王师傅把两根长度都是25cm的铁丝焊接在一起，焊接局部长5cm，焊接局部长5cm，焊接好的铁丝共长多少厘米？29、张师傅把两块一样长的木板钉成一块木板，钉好的木板长9分米，中间重叠局部长1分米，这两块木板分别长多少分米？30、把一块长45cm和一块长50cm的木板钉在一起，得到一块长85cm的木板，中间重叠局部是多长？31、三〔2〕班同学每人至少订一份英语学习报或中国少年报，其中30人订英语学习报，有21人订中国少年报，全班40人，有多少人两份报纸都订了？32、三〔2〕班有学生46人，做对第一道思考题的有29人，两道思考题都做对的有5人，两道题都做错的有5人，做对第二道思考题的有多少人？33、三〔2〕班有学生46人，做对第一道题思考题的有29人，做对第二道思考题的有17人，两道题都做错的有5人，两道题都做对的有多少人？34、三〔5〕班43人上美术课，有2人没带画笔，带油画笔的有25人，带水彩笔的有23人，两种笔都带的有多少人？35、五〔1〕班同学排成5条队做操，每队人数一样多，小华的位置是：从前面数第6个，从后面数第4个。这个班共有学生多少人？36、某班有58个同学，其中35人参加数学兴趣小组，31人参加科技兴趣小组，有27人两个小组都参加，则，有多少人两个小组都没有参加？37、二〔2〕班有学生42人，期末考试语文得优的有32人，数学得优的有36人每人至少有一门得优。问语文、数学都得优的有多少人？第四讲归一问题教学目标：1.让学生初步了解归一化问题，并掌握解决正归一问题，反规一问题的方法。通过教师讲解，使学生掌握分析归一问题的方法。3.熟悉并掌握归一应用题的解题步骤。教学重点：会分析归一应用题，使之转化为数学问题，并运用数学方法解决。教学难点：反归一问题的计算。 教学过程：归一问题有两种根本类型.一种是正归一，也称为直进归一.如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？另一种是反归一，也称为返回归一.如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？正、反归一问题的一样点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步.正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。例1：一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？集体讨论：一只小蜗牛6分钟爬行12分米，则蜗牛一分钟爬行多远？分析及解答：为了求出蜗牛1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分米，即蜗牛的速度，然后以这个数目为依据按要求算出结果。解：①小蜗牛每分钟爬行多少分米？12÷6=2〔分米〕②1小时爬几米？1小时=60分。2×60=120〔分米〕=12〔米〕答：小蜗牛1小时爬行12米。小结还可以这样想：先求出题目中的两个同类量〔如时间及时间〕的倍数〔即60分是6分的几倍〕，然后用1倍数〔6分钟爬行12分米〕乘以倍数，使问题得解。解：1小时=60分钟12×〔60÷6〕＝12×10＝120〔分米〕＝12〔米〕或12÷〔6÷60〕＝12÷0.1=120〔分米〕=12〔米〕答：小蜗牛1小时爬行12米。例2：一个粮食加工厂要磨面粉20000千克.3小时磨了6000千克.照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？集体讨论：加工厂一小时磨多少千克面粉？分析及解答：方法1：通过3小时磨6000千克，可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几小时，所以剩下的量除以1小时磨的数量，得到问题所求。解：〔20000-6000〕÷〔6000÷3〕=7〔小时〕答：磨完剩下的面粉还要7小时。方法2：用比例关系解。解：设磨剩下的面粉还要x小时。6000x＝3×14000x=7〔小时〕答：磨完剩下的面粉还要7小时。例3：学校买来一些足球和篮球.买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？分析及解答：要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元.根据条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差7-5＝2〔个〕，总价差355-281＝74〔元〕.74元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解。解：①一个篮球的价钱：〔355-281〕÷〔7-5〕=37元②一个足球的价钱：〔281-37×5〕÷3＝32〔元〕③共花多少元？32×5＋37×4=308〔元〕答：买5个足球，4个篮球共花308元。归一问题练习题1、买2千克苹果要12元，则买5千克苹果要多少钱？解这一类应用题归结为求一个单位量，即“苹果的单价〞。解题时，必须先求出单位量，以这个单位量为标准，再依据有关条件来求出结果。2、织布厂要织布7200米，3台织布机8小时织布576米，则照这样的速度，12台同样的织布机，再织布几小时就能完成3、小悦在超市买硬壳练习本4本共付12元，则要为同学代买24本同样的练习本要付多少元？如果小悦带了135元，则可以买这样的练习本多少本？4、3只小鸭5天要喂饲料4500克，则现有饲料84千克，可供只小鸭吃14天？5、小悦读一本290页的课外书，7天读了98页，如果以后每天多读2页，则小悦还要读多少天才能将该书读完？6、服装厂要加工校服3040套，20位工人6天加工480套，为了尽快完成任务，现增加12名工人。问：余下的任务，这批工人还需要几天才能全部完成？7、乌龟3分钟爬行18米，照这样的速度，它1小时爬行多少米？如果乌龟和兔子比赛跑1200，那乌龟要爬行多少时间？8、工艺厂工人扎灯笼，14为工人，3小时可以扎84个灯笼。节日前夕接到一批扎960个灯笼的任务，要在24小时内完成，则要增加几名工人？9、2名电脑录用人员，4小时录完文稿96页，现在增加1名录入人员。问：还需要多少小时才能录完480页文稿？10、学校体育馆买了篮球25个和足球假设干个共用去2475元，其中篮球的钱是足球的2倍，每个篮球比每个足球贵11元，学校体育馆一共买了多少个足球？第五讲和差问题和差问题练习题姐妹两合做纸花192朵，姐姐比妹妹多做16朵。问：姐、妹各做多少朵？这道应用题数两的和及差，求两数，叫做和差问题。这一讲我们来研究和差问题的解法。2、果园里面有柿子和苹果共870棵，柿子树比苹果树多50棵。问：果园里的苹果树和柿子树各是多少棵？3、三〔2〕班有学生48人，男生比女生多6人。问：三〔2〕班男、女生各多少人？两个数的和是23，其中一个加数比另一个加数多7。问：这两个数各是多少？5、两筐水果共重176千克，第一筐比第二筐多12千克。问：两筐水果各重多少千克？6、甲、乙两数的平均数是133，甲数比乙数少26。问：甲、乙两数分别是多少？7、两个水桶共盛水98千克，如果把第一桶的水倒出8千克，两个水桶的水酒一样多。问：第一桶原盛水多少千克？8、一个两位数，十位数字及个位数字的和是13，十位数字比个位数字多3，求这个两位数。9、甲、乙两个班共有学生102人，如果从甲班调出3人到乙班，两班学生一样多。问：甲、乙两班原各有学生多少人？10、小羽和小豪共有邮票120张，如果小豪给小羽24张，则小豪还比小羽多2张。问：小羽和小豪原各有多少张邮票？复杂的和差问题，没有明显的和或差，需要通过分析，才能演算出结果；也有些问题中会出现三个量的和及差。那有该如何求解呢？11、学校艺术节两个舞蹈队共52人排练节目，如果从甲队调10人到乙队，甲队就比乙队少4人。问：甲、乙两队原来各有多少人？12、师傅和徒弟一起加工一批零件，两人合干2小时工加工零件180个，如果分别加工6小时，师傅就比徒弟多加工零件48个。问：师傅和徒弟每小时各加工多少个零件？13、两个加数只和比一个加数大43，比另一个加数大34，求这两个数的和及差。14、两堆水果糖相差94粒，如果将两堆混合在一起，可以重新分成数量都是84粒的三堆。问：原来两堆水果糖各是多少粒？15、兄妹两人共有91本书，兄送给妹7本书，妹自己又买了4本，现在兄比妹少3本书。问：兄妹两人原各是多少本？16、期末考试中，小羽数学成绩比语文成绩多9分，比英语成绩少5分，语文、英语两门总分是186分。问：小羽数学、语文、英语分别考了多少分？17、甲、乙两个打字员，合打一份稿件，平均每人每小时打17页，6小时可完成。当两人打完稿件时，乙比甲多打了12页。问：这份稿件甲、乙各打了多少页？18、有三桶饮料共重120千克，从甲桶倒出16千克给乙桶，从乙桶倒出18千克个丙桶，从丙桶倒出5千克个甲桶，这时三通饮料的重量正好相等。问：原来三桶饮料各重多少千克？第六讲和倍问题和倍问题是大小两个数的和及它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。例1甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？分析设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，则甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下列图表示它们的关系：解：乙班：160÷〔3+1〕=40〔本〕甲班：40×3=120〔本〕或160-40=120〔本〕答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。这道应用题解答完了，怎样验算呢？可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160本；再把甲班的本数除以乙班本数，看是不是等于3倍.如果及条件相符，说明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。验算：120＋40=160〔本〕120÷40=3〔倍〕。例2甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？分析解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，则甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再及原有图书本数相比拟，可以求出甲班给乙班多少本书〔见上图〕。解：①甲、乙两班共有图书的本数是：30＋120=150〔本〕②甲班给乙班假设干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：2＋1＝3〔倍〕③乙班现有的图书本数是：150÷3=50〔本〕④甲班给乙班图书本数是：50-30=20〔本〕综合算式：〔30＋120〕÷〔2+1〕=50〔本〕50-30=20〔本〕答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。验算：〔120-20〕÷〔30+20〕＝2〔倍〕〔120-20〕+〔30+20〕＝150〔本〕。例3光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？分析把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍〔见下列图〕。解：①女生人数：〔760＋40〕÷〔3＋1〕=200〔人〕②男生人数：200×3-40=560〔人〕或760-200=560〔人〕答：男生有560人，女生有200人。验算：560＋200=760〔人〕〔560+40〕÷200=3〔倍〕。例4果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？分析下列图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比拟、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，则就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，则就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560〔棵〕，相当于梨树棵数的4倍。解：①梨树的棵数：〔552＋20-12〕÷〔1＋1＋2〕=560÷4=140〔棵〕②桃树的棵数：140×2＋12=292〔棵〕③苹果树的棵数：140-20=120〔棵〕答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。和倍问题练习题1、三〔1〕班有54人，其中男生的人数是女生人数的2倍，求男女生各有多少人？这类两个数量的和及两个数量的倍数关系，求这两个数量分别是多少的题就是“和倍问题〞。2、书架上一、二层共有数762本，第一层数的本书比第二层数的本数的2倍还少42本。问：第一、二层各有多少本书？3、被除数及除数的和是448，商为7。问：被除数、除数各是多少？4、长方形的周长是42厘米，长是宽的2倍。问：这个长方形的长和宽各是多少？5、甲、乙两人3分钟共行720米，甲每分钟走的路程是乙每分钟走的路程的3倍。问：甲每分钟比乙每分钟多行多少米？6、禽养场有鸡和鸭共2520只，其中鸡的只数比鸭的只数的2倍还多720只。问：禽养场鸡、鸭各有多少只？7、小羽和小豪共有邮票162张，小羽的邮票比小豪的邮票的3倍少还6张。问：小羽、小豪各有邮票多少张？8、一个减法算式中，被减数、减数及差的和是240，而减数是差的5倍。问：被减数、减数、差各是多少？9、甲、乙、丙三人共有钱480元，甲的钱数是乙的2倍，乙的钱数是丙的3倍，则甲、乙、丙三人各有多少钱？10、甲、乙、丙三人共加工1800个机器零件，任务完成时，甲加工的零件的个数是乙的2倍，又知乙比丙多加工200个。问：甲、乙、丙三人各加工多少个机器零件？有些应用题中，原来的两个量之间并没有倍数关系，但总量是确定的。将两个数量相互调正移动后，就成了倍数关系，这样可根据这种关系来进展求解。这一讲我们就来学习这种复杂的“和倍问题〞。11、甲仓库存有大米102吨，乙仓库存有大米138吨，要使乙仓库的大米是甲仓库的3倍。问：甲仓库应运多少大米到乙仓库？12、姐妹俩集邮，姐姐有邮票78张，妹妹有邮票120张。问：姐姐给多少张邮票后，妹妹的邮票是姐姐的2倍？13、三〔1〕班原来有学生45人，现在有转来了3名男生，则男生的人数就是女生人数的2倍。问：三〔1〕班原来有多少男生？14、甲桶有油320千克，乙桶有油180千克，要使甲桶的油比乙桶多3倍。问：要从乙桶倒多少千克的油到甲桶？15、两数相除，商为7，余数为17，被除数、除数、商和余数的和是233，则被除数、除数分别是多少？16、师、徒两人共生产零件960个，其中师傅有11个不合格的零件，徒弟有14个不合格的零件，师傅合格的零件比徒弟合格的零件多3倍。问：师、徒各生产零件多少个？17、被除数、除数、商和余数的和是963，除数是23，余数是2。问：被除数比除数多多少？18、甲、乙、丙三人共有278元。如果甲用去5元，就及乙的钱一样多；如果乙给丙3元，丙的钱就是乙的3倍。问：三人原来各有多少钱？19、某校三年级甲、乙、丙、丁四个班共有图书378本。如果甲班增加2本，乙班减少2本，丙班的本数乘以2，丁班的本数除以2，四个班的图书就相等。问：四个班原来各有多少本图书？第七讲差倍问题前面讲了应用线段图分析“和倍〞“和倍〞问题有相似之处的“差倍〞应用题。“差倍问题〞就是两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。差倍问题的解题思路及和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。例1甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？“甲班的图书比乙班多80本〞，即2倍及80本相对应，可以理解为2倍是80本，这样可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本。解：①乙班的本数：80÷〔3-1〕=40〔本〕②甲班的本数：40×3=120〔本〕或40＋80=120〔本〕。验算：120-40＝80〔本〕120÷40=3〔倍〕答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。例2菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？分析这样想：根据“菜站运来的白莱是萝卜的3倍〞应把运来的萝卜的重量看作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜300千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等〞，说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500〔千克〕.从上图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的3-1=2〔倍〕，这样就可以先求出运来的萝卜是多少千克，再求运来的白菜是多少千克。解：①运来萝卜：〔1800-300〕÷〔3-1〕=750〔千克〕②运来白菜：750×3=2250〔千克〕验算：2250-1800=450〔千克〕〔白菜剩下局部〕750-300=450〔千克〕〔萝卜剩下局部〕答：菜站运来白菜2250千克，萝卜750千克。例3有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？分析上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍，而12+14=26〔米〕，正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，则第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。解：①第一根截去12米剩下的长度：〔12+14〕÷〔3-1〕＝13〔米〕②两根绳子原来的长度：13＋12＝25〔米〕答：两根绳子原来各长25米。自己进展验算，看答案是否正确.另外还可以想想，有无其他方法求两根绳子原来各有多长.小结：解答这类题的关键是要找出两个数量的差及两个数量的倍数的差的对应关系.用除法求出1倍数，也就是较小的数，再求几倍数。解题规律：差÷倍数的差=1倍数〔较小数〕1倍数×几倍=几倍的数〔较大的数〕或：较小的数+差=较大的数。例4三〔1〕班及三〔2〕班原有图书数一样多.后来，三〔1〕班又买来新书74本，三〔2〕班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这时，三〔1〕班图书是三〔2〕班的3倍，求两班原有图书各多少本？分析两个班原有图书一样多.后来三〔1〕班又买新书74本，即增加了74本；三〔2〕班从本班原有图书中取出96本送给一年级同学，则图书减少了96本.结果是一个班增加，另一个班减少，这样两个班图书就相差96+74＝170〔本〕，也就是三〔1〕班比三〔2〕班多了170本图书.又知三〔1〕班现有图书是三〔2〕班图书的3倍，可见这170本图书就相当于三〔2〕班所剩图书的3-1=2倍，三〔2〕班所剩图书本数就可以求出来了，随之原有图书本数也就求出来了〔见上图〕。解：①后来三〔1〕班比三〔2〕班图书多多少本？74＋96=170〔本〕②三〔2〕班剩下的图书是多少本？170÷〔3-1〕=85〔本〕③三〔2〕班原有图书多少本？85＋96=181〔本〕〔两个班原有图书一样多〕综合算式：〔74＋96〕÷〔3-1〕＋96＝170÷2+96＝85＋96=181〔本〕验算：181+74=255〔本〕181-96=85〔本〕255÷85=3〔倍〕答：两班原来各有图书181本。例5两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，求每块花布原有多少米？分析两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的多.所剩的布第二块比第一块多31-19=12〔米〕.又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，则第二块比第一块多出的12米正好相当于所剩布的〔4-1〕倍，这样，第一块所剩布的长度即可求出〔见上图〕。解：①第二块布比第一块布多剩多少米？31-19＝12〔米〕②第一块布剩下多少米？12÷〔4-1〕=4〔米〕③第一块布原有多少米？4+31=35〔米〕〔两块布原有长度相等〕综合列式：〔31-19〕÷〔4-1〕+31=12÷3+31=4＋31=35〔米〕验算：35-31=4〔米〕35-19＝16〔米〕16÷4＝4〔倍〕答：每块布原有35米长。差倍问题练习题小鸡比小鸭多12只，又知小鸡的只数是小鸭的3倍。问：小鸡、小鸭各有多少只？这是一道两数之差和两数的倍数关系，求这两个数各是多少的典型“差倍问题〞。这一讲我们来研究差倍问题的解法。2、白兔和灰兔一起采蘑菇，白兔比灰兔多采198个蘑菇，并且白兔采的蘑菇数是灰兔采的3倍。问：白兔、灰兔各采了多少蘑菇？3、师傅和小陈加工一批机器零件，小陈比师傅多加工279个，小陈加工的零件数是师傅的4倍。问：师傅和小陈各加工零件多少个？学校美术兴趣小组的女同学人数是男同学人数的3倍，女同学比男同学多78人。问：学校美术兴趣小组共有多少同学？5、哥哥的钱比弟弟的钱多99元，哥哥的钱正好比弟弟的钱的3倍还多1元。问：哥哥及弟弟各有钱多少元？6、姐妹俩有同样多的邮票，后来姐姐送给妹妹120张，这时妹妹的邮票是姐姐的4倍。问：姐、妹俩原来有多少张邮票？7、水果店有两箱一样重量的橘子，第一筐卖出23千克，第二筐卖出2千克后，此时第二筐的橘子正好是第一筐的4倍。问：两筐橘子原来各有多少千克？8、甲煤场存煤是乙煤场存煤的3倍，从甲煤场运走8500千克，从乙煤场运来500千克，两煤场所剩煤相等。问：各煤场原来有多少千克煤？9、把数字9写在一个两位数的左边，再把得到的三位数加上400，它们的和是这个两位数的27倍。问：这个两位数时多少？10、学校图书馆购进一批箱装文艺书和辅导书。每箱都有75本，购进的辅导书是文艺书的4倍，其中文艺书比辅导书少15箱。问：图书馆购进的文艺书和辅导书各多少本？解答倍数问题是必须要认真分析题意，努力找到两个数量的差和两个数量的倍数关系，利用公式求大数及小数。这一讲我们来研究复杂的差倍问题。11、一个书架的上、下两层的图书一样多，从上层取出44本，下层放入图书18本，这时下层的图书是上层的3倍。问：上、下两层原各有图书多少本？12、哥哥有课外书56本，弟弟有38本课外书，两人捐出同样多的课外书后，哥哥剩下的课外书是弟弟剩下的3倍。问：两人各捐出课外书多少本？13、〔1〕在一个数字的末尾添上一个零，就会比原来的数多72。问：这个新数是多少？〔2〕在一个自然数的末尾添上2个零，就成了一个新数，这个数比原来的数多693。问：这个数是几？14、甲、乙两位同学去买文具，甲带了56元，乙带了34元，两人花了同样多的前后，甲剩余的钱时乙剩余钱的3倍。问：甲、乙各剩下多少钱？15、一道除法算式题，商是12，被除数比除数多979，请写出这个除法算式。16、甲、乙两人去书店买书，甲带的钱时乙带的钱的3倍，甲用去240元，一用去60元后，两人余下的钱一样多。问：甲原来有多少钱？17、食堂有两桶重量相等的油，如果甲桶倒出36千克油，乙桶倒出8千克油，这时乙桶里余下的油是甲桶余下油的3倍。问：甲、乙两桶原来共有多少千克油？18、有甲、乙两个车间，如果从甲车间调3人到乙车间，则两车间的人数相等。如果从乙车间调19人到甲车间，则甲车间的人数是乙车间的3倍。问：甲、乙两车间原来各有多少人？19、甲、乙、丙三人加工服装，甲加工的服装比乙多72件，丙加工的服装比甲多34件，丙加工的服装是乙的2倍。问：甲、乙、丙分别加工服装多少件？第八讲简单的平均数问题求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数……〞。平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数。一、算术平均数例1用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？分析求4个杯子水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子