游戏类数学建模题目

三国杀概率分析

今天概率论课上，老师讲到几何分布时一时找不到好的例子，站

在讲台上发楞，而我却沉浸在了一段美好的回忆之中。那是灵山脚下

的一个月黑风高的夜晚，我作为甄姬独斗主公，就在阴谋已败，满血

主公看着红血的我抚掌而笑的时候，我发动了洛神，于是牌局上出现

了如下序列：黑的，黑的，黑的，黑的，黑的……主公在一声高过一

声的惊呼中含恨而终。带着对甄姬的景仰，我尝试着计算了一下甄姬

洛神的期望，发现结果竟然与预想的不一样，于是我又对其他RP型

英雄进行了分析，然后就有了这篇水文。

三国杀牌种分类，

三国杀一共有108张，其中30张杀（21张黑杀，9张红杀，70%黑）、

15闪（全红）、8桃（全红）、6过河拆桥、5顺手牵羊、4无中生

有、3南蛮入侵、3决斗、3乐不思蜀、3无懈可击、2闪电、2五谷

丰登、2借刀杀人、1万箭齐发、1桃园结义；装备共20件（60%为

黑色），其中+1/-1马各3匹，11把武器（诸葛连弩2把，其他各1）、

3防具（2八卦阵、1仁王盾）

一些基本情况的概率判定：

1.仁王盾和八卦盾，选哪个比较好？这个问题是因人因形式而异的。

一般情况下，黑杀有70%，而八卦判定概率为50%（红黑牌各54

张），所以仁王盾的防御力比八卦盾高一点，但有几种情况下要特殊

对待的。

a)如果你选择的人物是郭嘉，那就选择八卦盾吧，凡是判定的牌都

归你所有，也就是说当你有了八卦盾，别人打你只是给你送牌。这时

候会有一种情况比较有意思，你的队友装备了连弩，然后让他攻击你，

当你判定失败并且扣血摸牌后，你可以将杀再给队友，呵呵，有点变

态了……

b)如果有司马懿在场，要考虑下他是否和你是队友，如果是的话，

可以考虑用八卦，如果不是的话，八卦就变成垃圾了。

c)如果有关羽在场，并且不是队友的话，要注意了。关羽有54张红

色的牌作为杀，还有21张黑色的杀，对于这号人物，他有72%的红

杀，你的仁王盾还是考虑换成八卦吧。

d)如果有赵云在场，并且不是队友的话，也要注意了。赵云有45张

杀（24张红杀，其中15张红闪），红色杀的概率为53.3%，仁王盾

就不太好用了。

e)最后要注意一点，就是仁王盾是没有几率的，当关羽赵云杀你的

时候，基本上都会出红杀，所以从实践角度来说，碰到这两个人，仁

王盾就是一个摆设。

2.被闪电劈中的概率是多少？呵呵，碰到司马懿在场，要不就相当于

你头上顶了避雷针，要不就相当于你就是避雷针，基本没有概率。在

一般情况下，黑桃2到黑桃9之间的牌，一共有17张（其中5张杀，

4张武器，1张防具，1匹+1马，6条锦囊），几率为15.74%，从

数学期望角度来说，也就是摸6张牌，其中有一张就是，换句话说，

基本上6轮判定里面就会出现一个避雷针。实际游戏时，考虑到武器、

防具、马基本都会被装备掉，而不出现在牌堆里，所以其概率会进一

步降低到10.2%。

3.被乐不思蜀的概率是多少？108张牌中共有27张红桃，其中1张

武器，1匹+1马，1匹-1马是红桃，逃脱乐不思蜀的概率是25%，

但在实际游戏中，武器、马会被装备掉，所以逃脱的几率会降低到2

2.2%。

4.当手上有杀有闪的时候，应该留什么牌比较容易不掉血？这个也是

要视场上情况而定的，

a)如果有盾装备，那就选杀，废话……^-^，呵呵，很多人都会忘掉

自己的装备。

b)如果是甄姬，就选黑杀，黑杀既可以作杀，也可作闪。同理，如

果是关羽，就留闪，所有的闪都是红的，都可以作为杀。

c)对于其他一般人来说，就要考虑场上的位置，和你的角色。如果

你是主公，留闪吧，大家都会打你的。如果你的边上都是敌人，那就

留闪吧。除了这两种情况外，还要考虑场上是否有曹操，这小子忒恐

怖了，3张南蛮入侵和1张万箭齐发，会被他扩散成6张南蛮入侵和

2张万箭齐发，而南蛮入侵的几率是75%，如果手头没有无懈可击，

那就考虑拿杀吧，免得被AOE死。

各个人物的特色分析，

爆发力角色篇，

1.黄月英，爆发力惊人的选手。在讨论爆发力之前，这里先做一个申

明，这里的爆发力都是开篇爆发力，后期的爆发力个人觉得意义不大，

而且情况复杂，没法子做一个结论。黄月英的爆发力是个人感觉最大

的，还是用数字说话，锦囊一共有35条，其中3条可能是不能使用

的（1桃园，2借刀），这里假设都能使用。在这35条锦囊中，有4

个无中生有（可以换3张），5个顺手牵羊、2个五谷丰登（可以换

2张），其余的锦囊可以换1张。对于黄月英来说，1条锦囊牌就等

效于4/35*3+7/35*2+24/35*1=1.43张牌。在开局后轮到黄月英的

时候，手牌将有6张，用排列组合进行计算得到如下结论，

a)0张锦囊的概率为8.9%

b)1张锦囊的概率为27.5%

c)2张锦囊的概率为33.8%

d)3张锦囊的概率为21.3%

e)4张锦囊的概率为7.2%

f)5张锦囊的概率为1.2%

g)6张锦囊的概率为0.85%

酱紫，我们可以得到黄月英实际手牌数量增加的数学期望值，

1*0.275+2*0.338+3*0.213+4*0.072+5*0.012+6*0.0085=1.913

考虑到每张锦囊等效于1.43张牌，所以黄月英的手牌数应为1.913*

1.43=2.74，将近3张牌。这里我们可以定义黄月英的爆发力为2.74

++，这里的++蕴含了两个意思，

1)爆发力的瞬间最大值会很大，如果看到黄月英手里有将近20牌，

那也别震惊，那个是完全有可能的。

2)这些爆牌过程中使用掉的锦囊将会造成的破坏力也是不容忽视

的，在黄月英只是把所有的锦囊都用掉后，经常会看到受伤的主公只

有很少的手牌，而且被乐了……

附带说下主公碰到黄月英的打法，在这里我碰到很多主公上来就装备

武器砍黄月几刀，想消耗黄月英的手牌，或者至少给予警告，其实这

是错误的打法。至少首轮千万不要装备武器，不要随便打击任何人，

酱紫轮到黄月英出手的时候，可以通过抑制借刀杀人和桃园结义锦囊

来进一步抑制黄月英爆发的几率。

2.甄姬，全程爆发力选手。这个比较容易计算，108张牌里面有红黑

各一半，也就是说每次判定成功的几率是50%，这里也做一个数学

期望，

1*0.5+1*0.52+1*0.53+1*0.54+1*0.55…+……，可以得到近似于1，

同样的定义甄姬的爆发力为1+，这里+蕴含了一个意思，就是可能

手牌会RP爆发得到很多，也可能被司马懿改判定后拿到更多。

PS：81楼Crosis补充：如果牌模型不是无限，而是108张来计算，

期望是0.98112~

3.黄盖，前期爆发力选手。这个就更容易计算了，上手手牌4张，摸

2张，自损3点血摸6张，总共可以有12张牌，无中生有几率比较

低，这里忽略了。爆桃的几率是7.4%，爆桃的话相当于多一张牌，

所以爆牌的数学期望是2*0.926+3*0.074=2.074，一共是3点血，

所以总共为6.22。因为黄盖的牌是基本确定的，总共也就12张，基

本不会多，12张牌能做的事情就比较有限了，而且万一没有做成，

下一个回合就基本上消失了。根据1血换2牌的原则，这里可以定义

黄盖的爆发力是0.22，但是因为爆发力比较稳定，可以用12张牌来

爆连弩，所以也是受到玩家喜爱的角色。这里也顺便说下主公碰到黄

盖的打法，当然和处理黄月英是相反的，要尽量扣去黄盖的血量，使

得黄盖失去爆发的能力。

4.陆逊，后期爆发力选手。陆逊属于后期爆发型选手，这类人物比较

适合当内奸。连营的技能能够使得他在后期单挑主公。连营的爆发概

率最大为所有的锦囊，杀，桃都能够使用，这里简单的说下最大，最

小几率定义，

1)最大几率：杀（有连弩），桃（自己损血），顺手牵羊，桃园结

义，闪电（会伤到自己），借刀杀人，决斗（会伤到自己），南蛮入

侵（伤到队友），万箭齐发（伤到队友），其余锦囊和装备，只有闪

和无懈可击不能使用，爆发概率为83.3%

2)最小几率：37张锦囊和装备一定可以使用，概率为34.4%

可见陆逊的后期爆发几率是不稳定的，要取决于场上的形式。由于他

是后期爆发选手，而且爆发概率不稳定，这里不做爆发力指标比较。

武将篇

5.关羽，杀伤型选手。108张牌中，一半红色为杀，外加黑杀21张，

总杀数量可达75张杀，可以说基本上手上不会没有杀。

6.赵云，攻防兼备型选手。45张杀/闪，基本上什么觉得都可以胜任。

7.张飞，杀伤力恐怖型选手，再有了丈八长矛，基本上无敌了。

8.吕布，伤害型选手，基本上一出手就是掉血。

其他篇

9.大乔，封盖型选手。27张方块，排列组合结果显示只有17%的概

率手头一张方块都没有，83%的概率至少可以封掉1个人。再配合司

马懿对于对手来说简直是噩梦……

10.华佗，支援型选手。这个人物就不分析了，不出牌时50%是桃，

出牌时，100%是桃，简直是牛皮糖啊。

11.甘宁，拆牌型选手。54张黑色花色作为过河拆桥，外加1张红色

的过河拆桥，基本上50%的过河拆桥，想不拆也难啊。

再有的其他人物基本上没有啥概率问题，在这里就不讨论了

很强大~~~

还有更强大的~~

本文计算了三国杀中一些有趣的概率结果，包括：甄姬洛神的期望为

1，与周瑜确定的1张相等，如果只比较洛神和英姿两个技能，前者

是占优的。黄月英的期望值并不像想象的那么高，仅为0.798。黄

盖的初始平均手牌大约为15张，周泰可能性最大的死亡时间是第5

次判定，计算平均值得，周泰的平均死亡时间是5.43。

今天概率论课上，老师讲到几何分布时一时找不到好的例子，站在讲

台上发楞，而我却沉浸在了一段美好的回忆之中。那是灵山脚下的一

个月黑风高的夜晚，我作为甄姬独斗主公，就在阴谋已败，满血主

公看着红血的我抚掌而笑的时候，我发动了洛神，于是牌局上出现了

如下序列：黑的，黑的，黑的，黑的，黑的……主公在一声高过一声

的惊呼中含恨而终。带着对甄姬的景仰，我尝试着计算了一下甄姬洛

神的期望，发现结果竟然与预想的不一样，于是我又对其他RP型英

雄进行了分析，然后就有了这篇水文。

1.甄姬与周瑜的比较

甄姬薄幸的美人

洛神：回合开始阶段,可进行主动判定,若判定结果为黑色花色,视

为判定成功,则将该判定牌收归手牌,并可以继续判定;若结果为红色

花色,视为判定失败,技能终止.可以不断的判定直到不愿意继续或判

定的结果变为红色为止.

周瑜大都督

英姿：摸牌阶段摸三张牌

公瑾的技能一目了然，多摸一张牌，而甄姬就要罗嗦的多，概括

起来就是除了本来那两张以外，还可以一直摸直到摸到红的为止。我

们见过一直被红牌憋死的甄姬，也见过黑牌如雨犹如神助的甄姬。为

了搞清楚甄姬的技能到底有多大价值，我们来计算一下甄姬额外摸牌

数量的期望。

由概率论的知识可以知道，甄姬摸牌张数X是服从几何分布的

离散随机变量，其中参数p为1/2。用a表示甄姬额外摸牌数量的期

望，则有

这个数列的求和很简单

这说明甄姬洛神的期望为1，与周瑜确定的1张相等(之前我觉得

甄姬的期望会小一些)，单从期望值来看，两者没有什么区别。但是

考虑到三国杀特有的性质，尤其是诸葛连弩等设备的存在性，牌多的

时候威力增加得非常之快，玩家存在着一种风险追求的心理，于是有

性质1.

一般情况下，手牌的效用函数u关于手牌张数x是单调递增的凸

函数。

用凸函数的性质我们不难证明，甄姬的技能造成的手牌效用大于

周瑜的效用，也就是说，一般情况下，如果只比较洛神和英姿两个技

能，前者是占优的。

2.更加招恨的月英姐

黄月英归隐的侠女

集智：当她使用一张锦囊牌后，立即从牌堆顶摸一张牌加入手牌。

相信大家都有看着黄月英打单机看到睡着的经历，有了上面的结

果，我们可以也尝试着计算一下黄月英的期望。由于锦囊里无中生有

是非常引人注目的，我们将这个问题单独拿出来讨论。首先，为了简

化计算，我们做如下假设：

假设1.摸牌的过程是无放回抽签模型。这就是说，任何时候，从

牌堆上方摸到某一种牌*的可能性p*就是这种

牌的张数在总张数里占的比例。这不仅是对于自己摸牌的阶段来

说，也忽略了别人手中有你要的牌的可能。在甄姬的讨论中，我们已

经用到了这一假设。这一假设引

起的误差是很小的。事实上，计算所得的期望一般很小，在1左

右，所以摸到很多张同种牌的概率很小，与我们的假设符合。

我们首先讨论无中生有对于一般玩家的影响。

用p*表示某次摸牌摸到无中生有的概率，有p*=a*/s,

a*是无中生有的张数，s是总张数，在某次无中生有摸到的两张

牌中至少有一张无中生有的概率是1-(1-p*)×(1-p*)，由于p*很小，尽

似取为

2p*。实际情况a*=4,s=109,p*=0.037.

定义n次无中生有的牌中还有无中生有的情况为n+1阶无中生

有，于是从上面的推理中我们得到：

性质2.

高阶无中生有可以忽略。

下面我们开始计算黄月英附加摸牌张数的期望a。在这里也要做

一个假设，黄月英会将所有能用掉的锦囊用掉，同时忽略所有五谷丰

登的影响(太崩溃了)。首先计算使用一张锦囊后集智带来的额外张数

b。用p表示黄月英下一张摸到非延时锦囊的概率(不包括无中生有)。

根据类似几何分布的性质，我们可以得到关系：

b=1+p×b+p*×(3+3b)

解出b得：

b=(1+3p*)/(1-p-3p*)

游戏中，p=18/109=0.165.按计算器得b=1.53.

由此我们可以开始计算a.(这是一个综合考虑一般锦囊和无中生

有的浩大工程...)

a=p×p×2b+2p×b+p*×p*×2(2+b)+2p*×(2+b)-2p×p*(2+2b)

=0.798

计算结果令人惊讶，黄月英的期望值并不像想象的那么高，仅为

0.798!相比之下，还不如周瑜和貂蝉的确定1张，甄姬的平均1张。

关于这个问题，我们可以通过性质1给出解释。从b>1可以发现，黄

月英一旦摸到一张锦囊，潜力是很足的，而且黄月英在第一轮六张手

牌时是极其KB的。黄月英用较低的平均值换取了更高的风险，也就

是爆发力。

3.公瑾，请鞭策我!

在三国杀游戏中，总有一些恶趣味的人对于某暴力英雄有特别的

喜爱。

黄盖轻身为国

苦肉：出牌阶段，可主动减一点体力，从牌堆两张牌。在自己回

合可以多次使用该技能。

有了之前的分析，有关黄盖的计算就简单多了。先做如下假设：

假设

(暴力黄盖假设)所考虑的黄盖会在任何有可能时将自己变成一

滴血的状态。

于是有推论

推论1.暴力黄盖的所有桃和桃园结义等价于无中生有。

此时摸到“无中生有”的概率p*=13/109=0.119.

忽略黄盖同时摸到三张“无中生有”的可能，忽略高阶“无中生

有”，则暴力黄盖在第一回合未受打击的条件下可以获得的手牌平均

数近似为：

a=4+2+(4-1)×2+12p*×(1-p*)^11×2+(12选2)p*^2×(1-p*)^10×4

=12+1.766

计算过程中发现，由于手中初始张数很多，p*也不是很小，高阶

“