第九讲解直角三角形应用

第九讲

解直角三角形的应用西南位育中学刘辰解直角三角形的应用知识梳理1、测量问题基本概技念能ɑb仰角2、：坡水面平问线题与向上视线的C夹角BAAB

bsin

ab=

sin

a

\

AB

==

cot

a

\

BC

=

b

cot

a3、b预测问题俯角B：C水平线与向下视线的夹角???尽量使用原始数据减小误差例题解析----测量问题例1.飞机在空中A测得地面目标B的俯角为53°,飞行高度为1200

km,求此时飞机与目标B间的距离。(精确到个位)（参考数据：sin

53

）»

0.80,

sin

37

»

0.60,

tan

37

»

0.75ABCD1200解:在RtDABC中—

ABC

=

53 ,

AC

=1200sin

53

0.80AC\

AB

= »

1200

=

1500误53°误答：此时飞机与目标B间的距离约为1500km。即时小结：明确概念（如仰角、俯角、距离等）方能实现数学量与现实量之间的一一匹配。例题解析----测量问题CDBA100EF例2.

在距地面100米高的平台上，测得地面上一塔顶与塔基的俯角分别为30°，60°，求塔高。分析:AB=BF

-

AFCD=100RtDACF中RtDBCF中CF?—ACF=30BF

=100,—BCF=

60例题解析----测量问题CDBA100EF3—

ACF

=30

,CF

=

100

33

3

33

=100\

AF

=CF

•tan30

=100 3

·\

AB

=

BF

-

AF

=100-100

=

2003

33答：塔高为200

米。100

33\

CF

=

BF

•cot

60

=在RtDACF中例2.

在距地面100米高的平台上，测得地面上一塔顶与塔基的俯角分别为30°，60°，求塔高。解：过点C作CE//DB，延长BA交CE于点F在RtDBCF中

—

BCF

=

60 ,

BF

=100例题解析----测量问题接下来依次求解Rt△BCD和Rt△ACG,例2.

在距地面100米高的平台上，测得地面上一塔顶与塔基的俯角分别为30°，60°，求塔高。CDB即时小结A

另解：过点A作AG⊥CD，垂足为点G。，G100无论以上哪种做法，我们不难看到，构造直角三角形，发现可解的直角三角形始终是解决此类题型的前提。CD

BA100FE获得结论。CDBAH发现等腰△ABC求解Rt△BCD和Rt△AHB3、预测问题知识梳理解直角三角形的应用1、测量问题2题斜坡问题基本概念1)坡角—

BAC,

(0

<

—

BAC

<

90

)=

tan

—

BAC水平距离铅垂高度2)坡比(坡度)记作i

=、坡面问题3、预测问题表达形式i=1：m

堤坝问CAB铅垂高度水平距离坡面表达形式i=1：m知识梳理解直角三角形的应用1、测量问题2、坡面问题斜坡问题基本概念堤坝问题堤坝

问题3、预测问题3、预测问题坝高坝底迎水坡坝顶坝长ABCD

背水坡EE知识梳理解直角三角形的应用1、测量问题坡面问题BAC

90

)基本技概能念m铅垂A高C度2)\坡A比C(坡=度m)记x作i

=水平距离=tan

—BAC表达形式i=1：m1)坡i角=—taBnA—CB,(A0

<C—=

x

<=

1坡面3、预测问3、预测问B题表达形式题表达形式铅垂高度i=1i=1：m：m

C水平距离A

ABxC?i=

1：m例题解析----坡面问题例3.

测绘员从景观台(横截面为梯形ABCD)的底部A沿坡面的AB方向走30米到达顶部B处,用测角仪(高度忽略不计)在点B处测得塔顶E的仰角是45°,沿BC方向走20米到达点C处。请求3FEDABCADF测得塔顶E的仰角是60°已知坡面AB的坡度是1:出塔高（精确到1米）。EB

45°C

60°FEDAB30例题解析----坡面问题分析:EF=EG+

GFBQRt

D

CGE

,

Rt

D

BGE

中RtDABQ中3

AB=30坡度1:例3.

测绘员从景观台(横截面为梯形ABCD)的底部A沿坡面的AB方向走30米到达顶部B处,用测角仪(高度忽略不计)在点B处测得塔顶E的仰角是45°,沿BC方向走20米到达点C处出塔高（精确到1米）。3测得塔顶E的仰角是60°已知坡面AB的坡度是1:

。请求20G45°C

60°QEB例题解析----坡面问题分析:EF=EG+

GFCD=BQRtDABQ中3

AB=30坡度1:例3.

测绘员从景观台(横截面为梯形ABCD)的底部A沿坡面的AB方向走30米到达顶部B处,用测角仪(高度忽略不计)在点B处测得塔顶E的仰角是45°,沿BC方向走20米到达点C处出塔高（精确到1米）。3测得塔顶E的仰角是60°已知坡面AB的坡度是1:

。请求G45°C

60°30

20A

Q

D

Fx\

20

=

x

cotBBCCRt

D

BGE

,

Rt

D

CGE

中45 ,

CG

=

x

cot 6

0--

CCGG45

-

x

cot 6

0BG

=

x

cot==

BBGGFEDAB30例题解析----坡面问题=

45

+

10 3

»

45

+

10

·

1

.7»

62

答

:

塔高约为

62

米.坡度

1

: 3

\\

EF

=

EGBQ

=

GF

=

15+

GF\

x

=

EG

=

30

+

10

3在

Rt

D

ABQ

中

AB

=

30,

—

EGB

=

45 ,

—

ECG

=

60

又

BG -

CG

=

BC

\

x

cot

45

-

x

cot 6

0

=

20例3.

测绘员从A沿AB方向走30米到达B处,用测角仪测得塔顶E的仰角是45°,沿BC方向走20米到达点C处测得塔顶E的仰角是60°已知坡面AB的坡度是1: 3

。请求出塔高（精确到1米）。解

:

作

CG

^

EF,

BQ

^

AF在

Rt

D

BGE

和

RtD

CGE

中设

EG

=

x20G45°C

60°QEDAB30例题解析----坡面问题45°C

60°GQ例3.

测绘员从A沿AB方向走30米到达B处,用测角仪测得塔顶E的仰角是45°,沿BC方向走20米到达点C处测得塔顶E的仰角是60°已知坡面AB的坡度是1: 3

。请求出塔高（精确到1米）。即时小结这是一道融合斜坡背景的测高问题，在较为复杂的图形中，寻找或构造可解的直角三角形，依然是解题先决。2030F

ADFGQa\

EG

=cot

b

-

cot

aa

=

EG

cot

b

-

EG

cot

aE

BC

=

BG

-

CGabBB

b

C

a测高应用aEF= +

bcot

b

-

cot

a例题解析----堤坝问题例4.有一段防洪大堤，其横截面为梯形

ABCD,

AD//BC,坝顶AD，坝高AG均为

6米。迎水坡

CD的坡比为

1:1，背水坡

AB

的坡比为

1:2

（1）若将大堤加高，加高部分横截面为梯形

ADPQ,

PQ//AD,

点P,

Q分别在

CD,BA的延长线上，请问需加高

几米，使坝顶宽

PQ长为

4

米。:1QABCDG61:21:21:21:14

PS

6

T3x

=2

米分析:

设QS

=

PT

=

x则AS

=2x,DT

=xAD

=

6

=

AS

+

ST

+TDST

=

PQ

=

4AD

=

6

=

2x

+

4

+

x1:211:13答：需加高2

米。

3

\

AD

=

6

=

2x

+

4

+

x

\

x

=

2解:作QS

^

AD,PT

^

AD.设QS

=PT

=

x

AQ坡比1:2\AS

=2x,同理TD

=x例题解析----堤坝问题例4.有一段防洪大堤，其横截面为梯形

ABCD,

AD//BC,坝顶AD，坝高AG均为

6米。迎水坡

CD的坡比为

1:1，背水坡

AB

的坡比为

1:2

（1）若将大堤加高，加高部分横截面为梯形

ADPQ,

PQ//AD,

点P,

Q分别在

CD,BA的延长线上，需加高

n米，使坝顶宽

PQ

长为

4米。1:1QABCDG61:21:21:1四边形QSTP

是矩形\ST

=PQ

=44

PS

6

T√例题解析----堤坝问题例4.有一段防洪大堤，其横截面为梯形ABCD,AD//BC,坝顶AD，坝高AG均为6米。迎水坡CD的坡比为1:1，背水坡AB的坡比为1:2（2）若将坝顶加宽2米(即AF=2米)，斜坡EF

的坡比为i=1:2.5,

求加宽坝底BE

的长。2

BG

=12tan

—

ABG

=

1

AG

=

62.51

EH

=15tan

—

FEB

=BE

=

EG

-

BG√HG

=

AF

=

2\

BE

=

(15

+

2)

-12

=

5分析：RtDABG中EG

=

(HG

+

EH

)EBCGRtDEFH中FH

=

6661:11:21:2.5F

2

A

DH例题解析----堤坝问题例4.有一段防洪大堤，其横截面为梯形ABCD,AD//BC,坝顶AD，坝高AG均为6米。迎水坡CD的坡比为1:1，背水坡AB的坡比为1:2（2）若将坝底加宽2米(即AF=2米)，斜坡EF

的坡比为i=1:2.5,

求加宽坝底BE

的长。AB坡比1:2\BG

=12解:作FH

^

BC在RtDABG中,AG

=6,EF坡比1:2.5\FH

=15

在RtDEFH中,FH

=6,EB

BE

=

EG

-

BG

=

(EH

+

HG)

-

BG

又

HG

=AF

=2G

C

\

BE

=

(15

+

2)

-12

=

5答：坝底长5米。661:11:21:2.5F

2

A

DH例题解析----堤坝问题即时小结：在本题中堤坝加高，坡比不变；堤坝加宽，坝高不变。寻找变化中的不变量------解题线索通过作高将四边形转化为直角三角形与矩形------化归思想1:1QBCDG61:21:2A1:14

PS

6

TEBCDG661:11:21:2.5F

2

AH知识梳理解直角三角形的应用1、测量问题斜坡问题3、预测问题一般是指以观测者的位置为中心，基本概念2方如、向:坡B角面在：问A题的正南东南B45转到A

目标的方A向线所成的A锐角。将正北或正南方向作为始边，B旋30堤北坝偏问东题30B图1图2图3例题解析----预测问题例5.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。据气象观测，在沿海某城市A的正南方向220

千米B

处有一台风中心，其中心最大风力为12

级，每远离台风中心20

千米，风力就减弱一级。该台风中心现正以15

千米/时的速度沿北偏东30°方向往C

移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为台风影响。分析：（1）该城市是否会受到这次台风的影响？如何鉴定城市会否城市到台风中心沿线的最短距离d

?受到台风城市受台风影响的最大包围圈的半径r

?中心影响当d<r时，城市受到台风中心影响例题解析----预测问题分析：例5.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。据气象观测，在沿海某城市A的正南方向220

千米B

处有一台风中心，其中心最大风力为12

级，每远离台风中心20

千米，风力就减弱一级。该台风中心现正以15

千米/时的速度沿北偏东30°方向往C

移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为台风影响。AB22030°C（1）该城市是否会受到这次台风的影响？D城市到台风中心沿线的最短距离d

?AD=110110城市受台风影响的最大包围圈的半径r

?r=(12-4)x20=160

110<160

受影响例题解析----预测问题AB22030°C例5.据气象观测，在沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12

级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级。该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C

移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响？解：过点A作AD⊥BC,垂足为DD在RtDABD中

AB

=220,—ABD=30\

AD

=110由题意,当A点距台风中心不超过160千米时,将受影响,故该城市会受到此次台风的影响。例题解析----预测问题例5.据气象观测，在沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12

级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级。该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C

移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为台风影响。（2）若会受到台风影响，请求出影响该城市的持续时间AB220CD30°

EF分析：时间=路程÷速度路程:

EF=

2ED=

2

1602

-1102

=

60

15速度:v=15千米/时时间:

t

=

60 15

‚15

=

4

15.160110\

t

=

60 15

‚15

=

4

15答:

该城市受台风影响持续

时间是4

15小时.例题解析----预测问题例5.据气象观测，在沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12

级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级。该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C

移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为台风影响。（2）若会受到台风影响，请求出影响该城市的持续时间解:设AE

=AF=160则EF=

2ED=

2

1602

-1102

=

60

15v

=15千米/时AB220CD30°

EF.160110如何鉴定平房CD的采光会否受到影响例题解析----预测问题例6.如图，CD为一幢3米高的平房，其南面窗户的底框

G距地面1米，此时阳光照射CD在地面上留下的最大影长

CF为2米。现欲在距C点7米的正南方A处建一幢12米高的楼房AB（设A、C、F在同一水平线上）问若大楼AB建成后,同一时刻下是否影响平房CD的采光，试说明原因。分析：HCDFG如图所示:若CH>CG

则判断为平房采光受到影响例6.如图，CD为一幢3米高的平房，其南面窗户的底框G距地面1米，此时阳光照射CD在地面上留下的最大影长

CF为2米。现欲在距C点7米的正南方A处建一幢12米高的楼房AB（设A、C、F在同一水平线上）问若大楼AB建成后,同一时刻下是否影响平房CD的采光，试说明原因。由CH>CG

判断为影响采光1即比较CG

与CH

的长度大小若以楼房AB为基准例题解析----预测问题312BFDC

27AG分析：12影长

2=3

,得影长为812BDC

1

P

F7A3HCH

=

tan

—

BPA

=

3CP

2CH

=3

得CH

=1.51

2则AB在地面上的最大影长？121QDC

T

F7AG11.5<12

判断为影响采光即比较AB

与AQ

的长度大小例题解析----预测问题312BFDC

27AG=

3

=1

AQCT

2

7

+CT3得CT

=2

,AQ

=11.5例6.如图，CD为一幢3米高的平房，其南面窗户的底框

G距地面1米，此时阳光照射CD在地面上留下的最大影长

CF为2米。现欲在距C点7米的正南方A处建一幢12米高的楼房AB（设A、C、F在同一水平线上）问若大楼AB建成后,同一时刻下是否影响平房CD的采光，试说明原因。分析：若以平房窗户CG为基准例题解析----预测问题312BFDC

27AG3１1.5＜１2答:温室采光会受影响.=

=\

CT

=

2

,

AQ

=11.5

GC

3

AQCT

2

ＡTQDC

T

F7AG1例6.如图，CD为一幢3米高的