实验二、定积分的近似计算

实验二、定积分的近似计算1第1页，课件共30页，创作于2023年2月

定积分计算的基本公式是牛顿－莱布尼兹公式。但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法和抛物线法。同时介绍Matlab计算定积分的相关函数。

问题背景和实验目的定积分的近似计算2第2页，课件共30页，创作于2023年2月

矩形法梯形法抛物线法

数值积分的常见算法主要内容

Matlab求积分函数数值积分函数：trapz、quad、dblquad符号积分函数：int3第3页，课件共30页，创作于2023年2月

定积分的定义定积分的近似4第4页，课件共30页，创作于2023年2月矩形法n

充分大，x

充分小

通常我们取左点法右点法中点法点可以任意选取，常见的取法有：

左端点,右端点和中点。

定积分的近似：5第5页，课件共30页，创作于2023年2月步长节点矩形法左点法右点法中点法6第6页，课件共30页，创作于2023年2月矩形法举例例：用不同的矩形法计算下面的定积分(取n=100)，

并比较这三种方法的相对误差。

左点法：

右点法：

中点法：解：h=1/n=0.01,xi=i*h,a=0,b=1,n=100(i=0,1,2,...,100)7第7页，课件共30页，创作于2023年2月

理论值：左点法相对误差：相对误差分析矩形法举例右点法相对误差：中点法相对误差：不同的算法有不同的计算精度有没有更好的近似计算定积分的方法

?8第8页，课件共30页，创作于2023年2月定积分几何意义9第9页，课件共30页，创作于2023年2月

曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似整个曲边梯形的面积：梯形法10第10页，课件共30页，创作于2023年2月

如果我们n

等分区间[a,b]，即令：则==>梯形公式梯形法梯形公式与中点公式有什么区别

?11第11页，课件共30页，创作于2023年2月解：==>例：用梯形法计算下面定积分(取n=100)，并计算相对误差梯形法举例a=0,b=1,n=100,f(x)=1/(1+x2)==>h=1/100=0.01,xi=i*h,yi=f(xi)

相对误差：12第12页，课件共30页，创作于2023年2月2n

等分区间[a,b]，得用抛物线代替该直线，计算精度是否会更好？

计算每个节点上的函数值：抛物线法

在区间[x0,x2]上，用过以下三点的抛物线来近似原函数f(x)。13第13页，课件共30页，创作于2023年2月设过以上三点的抛物线方程为：则在区间[x0,x2]上，有y=

x2+x

+

=p1(x)

抛物线法14第14页，课件共30页，创作于2023年2月

同理可得：

相加即得：抛物线法15第15页，课件共30页，创作于2023年2月

整理后可得：或辛卜生(Simpson)公式抛物线法公式抛物线法16第16页，课件共30页，创作于2023年2月==>例：用抛物线法计算下面定积分(取n=100)，并计算相对误差解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)抛物线法

相对误差：17第17页，课件共30页，创作于2023年2月

矩形法梯形法抛物线法

数值积分的常见算法Matlab函数

Matlab求积分函数数值积分函数：trapz、quad、dblquad符号积分函数：int18第18页，课件共30页，创作于2023年2月trapz(x,y)

x

为分割点（节点）组成的向量，

y为被积函数在节点上的函数值组成的向量。

trapztrapz梯形法19第19页，课件共30页，创作于2023年2月前面的做法例：用梯形法计算下面定积分(取n=100)解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)>>

x=0:1/100:1;>>

y=1./(1+x.^2);>>

trapz(x,y)trapz函数trapz(x,1./(1+x.^2))trapz举例20第20页，课件共30页，创作于2023年2月quad(f,a,b,tol)f=f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间，tol

为计算精度将自变量看成是向量不用自己分割积分区间可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是10-6精度越高，函数运行的时间越长此处的函数

f是数值形式，应该使用数组运算，即：

.*

./

.\

.^

quad

quad抛物线法21第21页，课件共30页，创作于2023年2月解：>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1)>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1,1e-10)>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1,1e-16)函数表达式一定要用单引号括起来！涉及的运算一定要用数组运算！例：用quad

计算定积分：quad举例22第22页，课件共30页，创作于2023年2月dblquad(f,a,b,c,d,tol)

tol

为计算精度，若不指定，则缺省精度为10-6

f可以是：

字符串；inline

定义的内联函数；函数句柄

[a,b]

是第一积分变量的积分区间，

[c,d]

是第二积分变量

的积分区间按字母顺序，大写字母排在小写字母的前面dblquad抛物线法计算二重积分：dblquad23第23页，课件共30页，创作于2023年2月>>

f=inline('4*x*y+3*y^2');>>

I=dblquad(f,-1,1,0,2)

f

中关于第一自变量的运算是数组运算，即把x

看成是向量，y

看成是标量。也可以全部采用数组运算例：计算二重积分>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x^2'),-1,1,0,2)>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)X例：计算二重积分dblquad举例24第24页，课件共30页，创作于2023年2月例：计算二重积分>>

dblquad(@(x,y)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)指定x、y

分别是第一和第二积分变量>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)被积函数f(x,y)

的另一种定义方法：匿名函数>>

dblquad(@(y,x)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)下面的命令运行结果和上面的一样吗？dblquad举例25第25页，课件共30页，创作于2023年2月int(f,a,b)

计算

f

关于默认自变量

的定积分，积分区间为[a,b]。int(f)

计算

f

关于默认自变量

的不定积分。int(f,v,a,b)

计算函数f

关于自变量v

的定积分，积分区间为[a,b]int(f,v)

计算函数

f

关于自变量

v

的不定积分findsym(f,1)int符号积分：int26第26页，课件共30页，创作于2023年2月例：用int

函数计算定积分：解：>>

symsx;>>

f=1/(1+x^2);>>

int(f,x,0,1)>>

f=sym('1/(1+x^2)');>>

int(f,'x',0,1)>>

int('1/(1+x^2)','x',0,1)或>>

int('1/(1+x^2)',0,1)或或int举例27第27页，课件共30页，创作于2023年2月double(a)将

a

转化为双精度型，若

a

是字符，则取对应的

ASCII码>>

a=3;>>

double(a)>>

double('a')例：ans=3ans=97相关函数28第28页，课件共30页，创作于2023年2月>>

x=1:0.001:2;>>

y=exp(x.^(-2));>>

trapz(x,y)

梯形法：

抛物线法：>>

quad('exp(x.^(-2))',1,2,10e-10)

符号积分法：>>

syms

x>>

int('exp(x^(-2))',x,1,2