经典讲义等比数列及其前项和

（经典）讲义：等比数列及其前n项和1．等比数列的定假如一个数列从第2起，每一与它的前一的比等于同一个常数，那么个数列叫做等比数列，个常数叫做等比数列的公比，平常用字母q表示．2．等比数列的通公式等比数列{an的首1，公比，它的通an＝1·n－1.}aqaq3．等比中若G2＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中．4．等比数列的常用性nmn－m，(n，m∈N＋)．(1)通公式的推行：a＝a·q(2)若n等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，ak·l＝m·n{a}aaa.12a(3)若n，n数同样是等比数列，n≠0)，，{an，n·n，n{a}{b}(){λa}(λan}{ab}bn还是等比数列．(4)公比不－1的等比数列{an}的前n和Sn，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比qn.5．等比数列的前n和公式等比数列{an}的公比q(q≠0)，其前n和Sn，q＝1，Sn＝na1；a11－qna1－anq当q≠1，Sn＝1－q＝1－q.【注意】6.利用位相减法推等比数列的前n和：n1112＋⋯＋a1n－1，S＝a＋aq＋aqq同乘q得：qSn＝1＋12＋a13＋⋯＋a1n，aqaqqq两式相减得(1－q)Sn＝1－1n，∴Sn＝a11－qn≠．aaq1－q(q1)由an＋1＝qan，q≠0其实不可以马上断言{an}为等比数列，还要考据a1≠0.在运用等比数列的前n项和公式时，必然注意对q＝1与q≠1分类议论，防范因忽视q＝1这一特别情况以致解题失误．8.等比数列的判断方法有：an＋1an(1)定义法：若an＝q(q为非零常数)或an－1＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．2*(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且an＋1＝an·an＋2(n∈N)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．一、知识梳理1.等比数列前n项和公式n研究导引:a1(1q)a1anq(q1)(1)Sn1q1q乞降na1(q1)63说明：关于等比数列的前n项和公式:S124L2从方程看法看:由等比数列的前n项和公式及通项公式可知,若已知a1,q,n,an,Sn中的三个即可成立方程组求其余两个,即“知三求二”.在运用等比数列的前n项和公式时，必然要注意议论公比q能否为1.与前n项和有关的等比数列的性质(1)若等比数列{an}中,公比为q1,挨次k项和研究导引:Sk,S2kSk,S3kS2k,L成公比为qk的等比数列.等比数列{an}中，已(2)若等比数列{an}的公比为q,且项数为S偶q.知，S220,S460，2n(nN),则S奇求S6，并考虑等式说明：利用性质(1)可以快速的求出某些和.但在运用此性质时,要注S2(S6S4)(S4S2)2意是Sk,S2kSk,S3kS2k,L成等比数列,而不是Sm,S2m,S3m,成等比能否成立数列.二、方法（一）等差数列前n项和公式的应用理解例题1:在等比数列中，知识体验:已知等比数列的（1）已知a13,q2,求a6,S6；五个量a1,an,q,n,Sn中的任（2）已知a12.7,q1,an1,求n；意三个求其余两个时,要用390等比数列的通项公式以其（3）已知a11,a464,求q和S4；及前n项和公式.（4）已知a33,S39求a1,q；22剖析:在等比数列中有五个重要量a1,an,q,n,Sn,只要已知任意三个，就可以求出其余两个.此中a1和q两个最重要的量,平常要先求出a1和q.解:(1)Qa6a1q532596.QS6a1(1q6)3(126)189.1q12(2)Qann112.7(1n16a1q，90)n3(3)Qa4a1q3，64q3，q4S4a1a4q164(4)1q1(4)51a3a1q23（1）(4)2a1(1qq2)9（2）S32（2）÷（1）得1qq23q22q2q10q1或q12当q1时，a13，当q1时，a1622（二）与等差数列前n项和有关的性质的应用理解例题2:等比数列{an}中Sm12,S2m36,求S3m.剖析:在有关等比数列的问题中,均可化成有关a1、q的关系列方程求解.本题中注意下标的关系,可考虑用等差数列前n项

知识体验:在学习了等比数列前n项和的有关性质和的有关性质来简化运算.解法一:由Sm12，S2m36,可知qSma1(1qm)1q12解得1a1(1q2m)S2m136,qqm2,a1q121S3ma1(1q3m)841q

后，我们用其来求解有关1（若q1,S2m2Sm）等差数列的前n项和问题.mq3，方法提炼:求解该类问题一般有两种方法:①可化成有关a1、q的关系列方程组求解.解法二:QSm,S2mSm,S3mS2m成等比数列②可利用等比数列中连续S(SS)(SS)2m3m2m2mm等段和成等比的性质即性S3624212483mS3m84质(1)求解.三、例题（一）题型分类全析1．等比数列前n项和公式的基本运算例1：在等比数列的{an}中:a3a18,a6a4216,Sn40,求公比q,a1本题有关等及n.比数列前n思路直现:由已知两个条件，可成立关于a1,q的方程组，分别解出a1,q的值，项和的基本代入Sn即可求出n.运算的观察.解:由已知可得转变为关于2a3a11)8,a11,a1(qa1,q的方程a6a4321)216,q3,a1q(qSna1(1qn)13nn4组求解.1q1403总结：在求数列的基本量问题时,把条件转变为基本量解方程是解决数列问题的基本方法.例2已知数列{an}是等比数列,其前n项和Sn,若S3S62S9,求该数列的公比q.思路直现:由已知两个条件，可成立关于a1,q的方程组，分别解出a1,q的值，本题观察了代入Sn即可求出n.等比数列前解:若q1,则Snna1,n项和公式S3S63a16a19a1,2S918a1,此时S3S62S9的运用和分q1a1(1q3)a1(1q6)a1(1q9)q3q69)类议论的思1q12122(1qqq2q9q630,想.q即2q6q310,因不知q的即(q31)(2q31)034.值,故对q进故2q310q31q行议论.22笔录：在使用等比数列的前n项和公式时,必然要注意公式的条件.若题目中不明确,对付q进行议论.2．利用等差数列的性质乞降例3：等比数列{an}中，S27,S691，求S4思路直现:注意到,下标的关系,可考虑利用等比数列的性质解决.解:Q{an}是等比数列，QS2,S4S2,S6S4成等比S2(S6S4)(S4S2)27(91S4)(S47)2，故S427S45880故S428或S421注意到S4a1a2a3a4a1a2q2(a1a2)q20，S2a1a2a1a21S4,S2同号,S428笔录：遇到近似下标成倍数关系的前n项和问题,一般可考虑用等比数列中依次k项和Sk,S2kSk,S3kS2k,L成等比数列来解决,可简化计算量.在已知Sn,S3n,利用这一性质求S2n时,要考虑能否会出现增根的问题.例4已知一个项数为偶数,首项为1的等比数列,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比及项数.思路:本题涉及到项数为偶数的等比数列,且奇数项和与偶数项和都已知,由此利用等比数列的性质即可求出公比,从而求其通项.解：Q该数列是一项数为偶数的等比数列S偶170，又QSnS奇S偶85170255q2S奇85a1(1qn)1(12n)n1255Sn21q12故n8阅题笔录：利用等比数列奇、偶项数和的性质简单了然，运算量较低.

本题观察了等比数列连续等段和成等比的性质.利用等比数列分段和成等比.考虑能否两解都满足条.建议：已知Sn,S3n求S2n时，尽量列方程求解，若用性质应试虑能否会出现增根.本题观察了等比数列的性质.注意S偶qS奇3．某些特别数列的乞降例5:(1)已知数列{an}的通项公式an2nn，求该数列的前n项和Sn；(2)已知数列{an}的通项公式an2n3n，求该数列的前n项和Sn.解:(1)QSna1a2a3Lan(21)(222)(233)L(2nn)(22223L2n)(123Ln)2(1n(1n)n2)122n12(n1)n22(2)QSna1a2a3Lan(23)(2232)(2333)L(2n3n)(22223L2n)(33233L3n)2(12n)3(13n)12132n123n1)(32n17n13=222笔录:分组乞降法适用于某些特别数列的乞降,这些特别数列的通项是可写成几个等比数列或等差数列的和的形式.例6：已知数列{an}的通项公式ann2n，求该数列的前n项和Sn；思路:写出数列的前n项和注意其与等比数列形式近似，考虑用推导等比数列乞降的方法来求其前n项和.解：QSn2222323Ln2n2Sn22223L(n1)2nn2n1Sn22223L2nn2n1

这个性质是在项数为偶数这一前提下成立的.建议：巧用特例，熟记等差等比数列奇偶项的一些性质.观察数列的分组乞降问.等差等比数列各自分组乞降.不同样公比的等比数列按公比各自分组乞降建议：熟记几种常有的数列乞降种类及其对应方Snn2n1(22223L2n)2(1nn12)n212n2n1(2n12)(n1)2n12笔录:错位相减法适用与求一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列的前n项和.（二）要点打破例7:（2007天津）在数列an中，a12，an14an3n1，nN*．（Ⅰ）证明数列ann是等比数列；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；（Ⅲ）证明不等式Sn1≤4Sn，对任意nN皆成立．思路直现:(1)由递推关系式构造出数列ann,并证明其是等比数列.利用分组乞降法求出{an}的前n项和.考虑用作差法证明.(Ⅰ)证明：由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN．所以数列ann是首项为a111，且公比为4的等比数列．(Ⅱ)解：由（Ⅰ）可知ann4n1，an4n1n．Sn(11)(42)L(4n1n)(1442L4n1)(123Ln)n1n(n1)432

.观察数列的错位相减法乞降的问题。建议：错位相减法是高考的一个常考点，平常训练恩赐重视.本小题观察等比数列的看法、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明利用递推关系式证明数列成等比.利用分组求和法乞降(Ⅲ)证明：对任意的nN，Sn14Sn4n11(n1)(n2)4n1n(n1)3243212n4)≤0．(3n2所以不等式Sn1≤4Sn，对任意nN皆成立．笔录:本题实质上第一步的证明起到一个提示的作用,即应从递推关系出发构造出ann的形式,并证明其为等比数列.例8:（2007辽宁）已知数列{an}，{bn}满足a12，b11，且an311an1bn144,n≥213bn4an14bn11（I）令cnanbn，求数列{cn}的通项公式；（II）求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn．思路:(1)因为要构造cn,故把已知两式相加,即可得出规律.(2)由（I）提示,可考虑两式相减.（Ｉ）解：由题设可得anbn(an1bn1)2(n≥2)，即cncn12（n≥2）易知{cn}是首项为a1b13，公差为２的等差数列cn2n1．（II）解：由题设得anbn1bn1)(n≥2)，令dnanbn，则(an12dn1dn1(n≥2)．2易知{dn}是首项为a1b11，公比为1的等比数列2dn12n1．anbn2n，1由bn1解得an2n1

利用作差比较法证明不等式.建议：学会解题的技巧，有时候题目的提示常常在问题中间.本小题主要观察等差数列、等比数列等基础知识，观察基本运算能力两式相加构anbn两式相减构造anbnan112nn2列方程组求Sn(13)(15)L(1n2n1)an224222(11L1n)(35L2n1)24n222221n12n2分组乞降求阅题:这是一道创新题,题目较为奇异,遇到题目不要慌乱,其实(1)问已经提示解答本题的方法Sn,应整体考虑.建议：在学习中重视整体思想的训练.四、习题一、选择题1.（2008福建)设{an}是公比为正数的等比数列，若a11,a516,则数列{an}前7项的和为B.642.（2008浙江）已知an是等比数列，a22，a51，则a1a2a2a3Lanan1=4A.16(14n)B.16(12n)C.32(14n)D.32(12n)333.（2008海南）设等比数列{an}的公比q2，前n项和为Sn，则S4a2A.2B.41517C.D.224．(2007陕西)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2,S3n14S4n等于B.30C.265．（2006辽宁）在等比数列an中,a12,前n项和为Sn,若数列an1也是等比数列,则Sn等于A.2n12B.3nC.2nD.3n16.数列11,21,31,41,L的前n项和为（）2481612n2)11n(n1)1112n2)1D.11A.(nnB.n1C.(nnn(n1)2(1n)222222227.3234n2222324L2nA.1nB.1nC.n1D.1nn12nn1n2n12nn2n12222二、填空题8.等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q9．(2007全国Ⅰ)等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为．10.若等比数列{an}的前n项和为Sn满足S1031,则此数列的公比q为S532三、解答题11.（2007全国Ⅱ）设等比数列{an}的公比q1，前n项和为Sn．已知a32，S45S2，求{an}的通项公式．12.(2008全国Ⅰ)．在数列an中，a11，an12an2n．（Ⅰ）设bnann1．证明：数列bn是等差数列；2（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn．13.已知数列{an},{bn}满足：a11,b18,且3an17anbn,23bn12ann8bn,（1）令cnanbn，求{cn}的通项公式；2）求数列{an},{bn}的通项公式；3）求数列{an}的前n项和Sn习题答案71.C.剖析：由a11,a516及{an}是公比为正数得公比q2，所以712122.C.剖析：Q{an}为等比数列，a5a2q3，12q3q142设bnanan1，{bn}是首项为8，公比为1的等比数列.48[1(1)n]32na1a2a2a3Lanan1b1b2Lbn4(14)，1314a(1q4)11243.C剖析:S41q15a2a1q224.B剖析:Q{an}为等比数列，Sn,S2nSn,S3nSn(S3nS2n)(S2nSn)2即2(14S2n)(S2n

S2n,S4nS3n成等比2)2S2n6或S2n4Q{an}各项均为正数，故S2nSn，故S2n6，2,4,8,S4nS3n成等比，所以S4nS3n16，S4n305.D剖析:解：依题意，f(n)为首项为2，公比为234项和，依据等比数列的求8的前n和公式可得D剖析：因数列an为等比，则an2qn1，因数列an1也是等比数列，则(a1)2(an1)(a1)a22aaan2anan2aa2an1n1n2n1n1nnn2an(1q22q)0q1，即an2，所以Sn2n，应选择答案C。剖析：Sn11213141L(n1n)(123Ln)(111L1n)248162248211n(n1)2(12n)12n2)121(n2n122123Ln112Ln1n剖析:设S2232n，则S2232n2n1222211两式相减得1S11L1n2(12n)nS21n22222n2n1112n12n12n2原式=S-2=-1n2n2n-1S奇S偶，S奇，9.22n项，剖析:由题意可知S奇S偶，S偶因为等比数列共，80160qS偶2S奇10.3剖析：假设塔每层有an盏，塔尖有a1盏，由题意知道数列{an}为公比为2的等比数列，a1(17S72)127a1381，a131211.1剖析：4S2S13S3，即4(a1a2)a13(a1a2a3)a23a3.3解得{an}的公比qa31a2.312.1剖析Q数列{an}为等比数列，故S5,S10S5,S15S10成公比为q5的等比数列，2故有q5S10S53111,q1S53232213.①④剖析:①Qa1S1,a2S2S1,q确立,等比数列{an}独一确立.②由S3a1a2a2a2a2q,得q11S32S3)q10a3qqa20即q(1a2不可以独一确立q,从而该数列不可以独一确立.③qn1an,n为奇数时,n1为偶数,q不独一,而该数列不可以独一确立.a1an独一确立,等比数列{an}独一确立④a1n1q故①④满足题意.14.剖析：由条件列出关于a1,q的方程组求解a1,q从而得出结论.解：由题设知a10,q，Sna1(1qn)，11q22，a1q42②则a1(1q)5a1(1q)1q1q由②得1q45(1q2)，(q24)(q21)0，(q2)(q2)(q1)(q1)0，因为q1，解得q1或q2．当q1时，代入①得a12，