概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后

概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案概率论习题四答案设随机变量X的分布律为求E(X),E(X),E(2X+3).【解】(1)11111( )(1)012;82842EX=-?+?+?+?=(2)2222211115( )(1)012;82844EX=-?+?+?+?=(3)1(23)2( )32342EXEX+=+=?+=2.已知100个产品有10个次品,求任意拿出的5个产品的次品数的数学希望、方差.故( )0.58300.34010.07020.0073EX=?+?+?+?+?+?0.501,=521/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案0( )[( )]iiiDXxEXP==-∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-?+-?++-?=设随机变量且已知E(X)=0.1,E(X2)=0.9,求123,,ppp.【解】因1231ppp++=①,又12331( )(1)010.1EXppppp=-++=-=②,222212313( )(1)010.9EXppppp=-++=+=由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.ppp===4.袋有N只球,其的白球数X为一随机变量,已知E(X)=n,问从袋任取1球为白球的概率是多少?【解】记A={从袋任取1球为白球},则2/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案( ){|}{}NkPAPAXkPXk===∑全概率公式1{}{}1( ).NNkkkPXkkPXkNNnEXNN========∑∑设随机变量X的概率密度为f(x)=????≤≤-<≤.,0,21,2,10,其余xxxx求E(X),D(X).【解】12201( )( )dd(2)dEXxfxxxxxxx+∞-∞=3/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案=+-???213320111.33xxx????=+-=????????122232017( )( )dd(2)d6EXxfxxxxxxx+∞∞==+-=??故221( )( )[( )].64/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案XXEX=-=6.设随机变量X,Y,Z互相独立,且E(X)=5,E(Y)=11,E(Z)=8,求以下随机变量的数学希望.(1)U=2X+3Y+1;(2)V=YZ-4X.【解】(1)[](231)2( )3( )1EUEXYEXEY=++=++25311144.=?+?+=(2)[][4][]4( )EVEYZXEYZEX=-=-,( )( )4( )YZEYEZEX-因独立1184568.=?-?=7.设随机变量X,Y互相独立,且E(X)=E(Y)=3,D(X)=12,D(Y)=16,求E(3X-2Y),D(2X-3Y).【解】(1)(32)3( )2( )33233.EXYEXEY-=-=?-?=(2)22(23)2( )(3)412916192.DXYDXDY-=+-=?+?=设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=???<<<<.,0,0,10,其余xyxk试确立常数k,并求E(XY).5/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案【解】因11(,)dddd1,2xfxyxyxkyk+∞+∞∞∞===???故k=21( )(,)ddd2d0.25xEXYxyfxyxyxxyy+∞+∞∞∞===?6/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案???.设X,Y是互相独立的随机变量,其概率密度分别为2,01,( )0,;Xxxfx≤≤?=??其余(5)e,5,( )0,.yYyfy--?>=??其余求( )EXY.【解】方法一:先求X与Y的均值12( )2d,3EXxxx==?5(5)5( )ed5eded516.zyyz7/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案zEYyyzzz+∞+∞+∞=-----=+=+=???令由X与Y的独立性,得2( )( )( )64.3EXYEXEY==?=方法二:利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立,故联合密度为(5)2e,01,5,(,)( )( )0,,yXYxxyfxyfxfy--?≤≤>==??其余于是11(5)28/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案(5)552( )2edd2ded64.3yyEXYxyxxyxxyy+∞+∞----===?=????设随机变量X,Y的概率密度分别为( )Xfx=???≤>-;0,0,0,22xxxe( )Yfy=???≤>-.0,0,0,44yyye求(1)( )EXY+;(2)2(23)EXY-.【解】22-20( )( )d2ed[e9/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案]edxxxXEXxfxxxxxx+∞+∞+∞--+∞∞===-+???201ed.2xx+∞-==?401( )( )d4edy.4yYEYyfyyy+∞+∞--∞===??210/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案2242021( )( )d4ed.48yYEYyfyyyy+∞+∞∞====??从而(1)113( )( )( ).244EXYEXEY+=+=+=(2)22115(23)2( )3( )23288EXYEXEY-=-=?-?=设随机变量X的概率密度为f(x)=????<≥-.0,0,11/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案0,22xxcxxke求(1)系数c;(2)( )EX;(3)( )DX.【解】(1)由222( )ded12kxcfxxcxxk+∞+∞∞===?得22ck=.(2)2220( )( )d( )2edkxEXxfxxxkxx+∞+∞∞12/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案==??222202ed2kxkxxk+∞-==?222222201( )( )d( )2e.kxEXxfxxxkxdxk+∞+∞∞=13/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案==??故2222214π( )( )[( )].4DXEXEXkk-=-=-=??12.袋有12个零件,其9个合格品,3个废品.安装机器时,从袋一个一个地拿出(取出后不放回),设在拿出合格品以前已拿出的废品数为随机变量X,求( )EX和( )DX.【解】设随机变量X表示在获得合格品以前已拿出的废品数,则X的可能取值为0,1,2,3.为求其分布律,下边求取这些可能值的概率,易知9{0}0.750,12PX===39{1}0.204,1211PX==?=329{2}0.041,121110PX==??=X==???=于是,获得X的概率分布表以下:14/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案由此可得( )00.75010.20420.04130.0050.301.EX=?+?+?+?=22222222( )075010.20420.04130.0050.413( )( )[( )]0.413(0.301)0.322.EXDXEXEX=?+?+?+?==-=-=13.一工厂生产某种设备的寿命X(以年计)依照指数分布,概率密度为41e,0,( )40,0.xxfxx-?>?=??≤?为保证开销者的利益,工厂规定销售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备,工厂盈余100元,而调换一台则损失200元,试求工厂销售一台设备盈余的数学希望.【解】厂方销售一台设备净盈余Y只有两个值:100元和-200元/41115/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案{100}{1}ede4xPYPXx+∞--==≥==?{200}{1}1e.PYPX-=-=<=-故1/41/41/4( )100e(200)(1e)300e20033.64EY---=?+-?-=-=(元).14.设12,,,nXXX是互相独立的随机变量,且有2( ),( ),1,2,,iiEXDXinμσ===,记11niiXXn==∑,2211( )1niiSXXn==--∑.(1)考据)(XE=μ,)(XD=n2σ;考据222116/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案1( )1niiSXnXn==--∑;(3)考据22( )ESσ=.【证】(1)1111111( )( )( ).nnniiiiiiEXEXEXEXnuunnnn===??=====???∑∑∑22111111( )( )nnniiiiiiiDXDXDXXDXnnn===??==???∑∑∑之间互相独立2221.nnn17/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案==因为222221111( )(2)2nnnniiiiiiiiiXXXXXXXnXXX====-=+-=+-∑∑∑∑218/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案222112nniiiiXnXXnXXnX===+-=-∑∑故22211( )1niiSXnXn==--∑.(3)因为2( ),( )iiEXuDXσ==,故2222( )( )( ).iiiEXDXEXuσ=+=+同原因于2( ),( )EXuDXnσ==,故222( )EXun19/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案σ=+.从而222221111( )( )[( )( )]11nniiiiESEXnXEXnEXnn==??=-=-??--??∑∑221222221[( )( )]11( ).1niiEXnEXnnununnσσσ==--????=+-+=???-????∑15.对随机变量X和Y,已知( )2DX=,( )3DY=,(,)1CovXY=-,计算:(321,43)CovXYXY-++-20/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案【解】Cov(321,43)3( )10ov(,)8( )XYXYDXCXYDY-++-=+-3210(1)8328=?+?--?=-(因常数与任一随机变量独立,故(,3)(,3)0CovXCovY==,其余近似).16.设二维随机变量(,)XY的概率密度为221,1,π0,.xyfxy?+≤?=???其余试考据X和Y是不相关的,但X和Y不是互相独立的.【解】设22{(,)|1}Dxyxy=+≤.2211( )(,)ddddπxyEXxfxyxyxxy+∞+∞∞∞+≤==??21/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案??2π1001=cosdd0.πrrrθθ=??同理E(Y)=0.(注意到积分地域的对称性和被积函数是奇函数可以直接获得0)而Cov(,)[( )][( )](,)ddXYxExyEYfxyxy+∞+∞-∞-∞=--??222π1200111ddsincosdd0ππxyxyxyrrrθθθ+≤===????,由此得0XYρ=,故X与Y不相关.下边议论独立性,当1x≤时,( )Xfx=22/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案当1y≤时,( )Yfy=明显( )( )(,)XYfxfyfxy≠,故X和Y不是互相独立的.17.设随机变量(,)XY的分布律为考据X和Y是不相关的,但X和Y不是互相独立的.【解】联合分布表含有零元素,X与Y明显不独立,由联合分布律易求得X,Y及XY的分布律,其分布律以下表:23/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案由希望定义易得( )EX=( )EY=( )EXY=0.从而( )EXY=( )EX( )EY,再由相关系数性质知xyρ=0,即X与Y的相关系数为0,从而X和Y是不相关的.又331{1}{1}{1,1}888PXPYPXY=-=-=≠==-=-从而X与Y不是互相独立的.18.设二维随机变量(X,Y)在以(0,0),(0,1),(1,0)为极点的三角形地域上依照均匀分布,求(,)CovXY,xyρ.【解】如图,SD=12故(X,Y)的概率密度为题18图2,(,),(,)0,xyDfxy∈?=?24/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案?其余.( )(,)ddDEXxfxyxy=??11001d2d3xxxy-==??22( )(,)ddDEXxfxyxy=??112001d2d6xxxy-==??从而222111( )( )[( )].6318XXEX??=-=-=???同理11( ),( ).318EYDY==而1101( )(,)dd2ddd2d.12xDDEXYxyfxyxyxyxyxxyy-====??????25/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案所以1111Cov(,)( )( )( )123336XYEXYEXEY=-=-?=-.从而112)( )XYDYρ-===-设(X,Y)的概率密度为f(x,y)=1sin( ),0,0,2220.xyxy,?+≤≤≤≤????其余求协方差(,)CovXY和相关系数xyρ.【解】π/2/21π( )(,)dddsin( )d.24EXxfxyxyxx26/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案xyy+∞+∞∞∞==+=????ππ2222201ππ( )dsin( )d2.282EXxxxyy=+=+-??从而222ππ27/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案( )( )[( )]2.162XXEX=-=+-同理2πππ( ),( )2.4162EYDY==+-又π/2/2π( )dsin( )dd1,2EXYxxyxyxy=+=-??故2ππππ4Cov(,)( )( )( )1.2444XYEXYEXEY-????=-=--?=-??????28/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案222222π4(π4)π8π164.π8π32π8π32)( )2162XYDYρ-??-?--+??===-=-+-+-+-已知二维随机变量(X,Y)的协方差矩阵为??????4111,试求Z1=X-2Y和Z2=2X-Y的相关系数.【解】由已知条件得:D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.从而12( )(2)( )4( )4Cov(,)1444113,( )(2)4( )( )4Cov(,)414414,DZDXYDXDYXYDZDXYDXDYXY=-=+-=+?-?==-=+-=?+-?=12Cov(,)Cov(2,2)ZZXYXY=--2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2( )5Cov(,)2( )2151245.XXYXXYYYDXXYDY=--+29/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案=-+=?-?+?=故122)( )ZZDZρ===21.对于两个随机变量V,W,若E(V2),E(W2)存在,证明:[E(VW)]2≤E(V2)E(W2).这一不等式称为柯西—许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式.【证】考虑实变量t的二次函数2222( )[( )]( )2( )( )gtEVtWEVtEVWtEW=+=++因为对于全部t,有2( )0VtW+≥,所以( )0gt≥,从而二次方程( )0gt=也许没有实根,也许只有重根,故其鉴识式Δ≤0,即222[2( )]4( )( )0EVWEWEV?=-≤故222[( )]( )( )EVWEVEW≤22.假设一设备开机后无故障工作的时间X依照参数λ=1/5的指数分布.设备准时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的状况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障30/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案工作的时间Y的分布函数( )Fy.【解】由题设可知:设备开机后无故障工作的时间1( )5XE,其概率密度为151,0( )50,0xexfxx-?>?=??≤?依据题意{}min,2YX=,所以Y的分布函数为{}{}( )min,2FyPXy=≤当0y<时,{}{}{}( )min,20FyPXyPXy=≤=≤=;当02y≤<时,{}{}{}115501( )min,215xyyFyPXyPXyedxe--=≤=≤==-?当2y≥时,{}{}( )min,21FyPXy=≤=;31/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案于是Y的分布函数为:150,0,( )1,02,1,2yyFyeyy-<???=-≤<??≥??。已知甲、乙两箱装有同种产品,其甲箱装有3件合格品和3件次品,乙箱仅装有3件合格品.从甲箱任取3件产品放乙箱后,求:(1)乙箱次品件数Z的数学希望;(2)从乙箱任取一件产品是次品的概率.【解】(1)Z的可能取值为0,1,2,3,Z的概率分布为33336CC{}CkkPZk-==,0,1,2,3.k=即所以,( )0123.20202020232/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案EZ=?+?+?+?=(2)设A表示事件“从乙箱任拿出一件产品是次品”,依据全概率公式有3( ){}{|}kPAPZkPAZk====∑191921310.202062062064=?+?+?+?=24.假设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)依照正态分布(,1)Nμ,内径小于10或大于12为不合格品,其余为合格品.销售每件合格品盈余,销售每件不合格品损失,已知销售利润T(单位:元)与销售零件的内径X有以下关系1,10,20,1012,5,12.XTXX-<??=≤≤??->?问:均匀直径μ取何值时,销售一个零件的均匀利润最大?【解】因为~(,1)XNμ,所以均匀利润( ){10}20{1012}5{12}ETPXPXPX=-<+≤≤->{10}20{1012}5{12(10)20[(12)(10)]5[1(12)]25(12)21(10)5.PXuuPuXuuPXuu33/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案uuuuuu=--<-+-≤-≤--->-=-Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ--令d( )25(12)(1)21(10)(1)0(( ))dxETuuxu???-=-?---?-==得22(12)/2(10)/22521uuee----=两边取对数有2211ln25(12)ln21(10).22uu--=--解得125111ln34/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案u=-=-≈(毫米因为该问题有独一驻点,所以当10.9μ=毫米时,均匀利润最大.25.设随机变量X的概率密度为1cos,0π,( )220,.xxfx?≤≤?=???其余对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于π/3的次数,求2Y的数学希望.(2002研考)【解】令π1,,3(1,2,3,4)π0,3iXYi?>??==??≤??X.则1234,,,YYYY互相独立,都依照(0—1)分布,且435/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案1iiYY==∑.因为ππ{}1{}33pPXPX=>=-≤及π/30π11{}cosd3222xPXx≤==?,所以111( ),( ),( )42242iiEYDYEY===?=221( )41( )( )4YYEY=?==-,从而222( )( )[( )]125.EYDYEY=+=+=两台相同的自动记录仪,每台无故障工作的时间iT(i=1,2)依照参数为5的指数分布,首先开动其一台,当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间12TTT=+的概率密度( )Tft,数学希望( )ET及方差( )DT.【解】由题意知:55e,0,( )0,0titftt-?>=?≤?.36/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案因为1T与2T独立,所以由卷积公式得12TTT=+的概率密度12( )( )( )dTftfxftxx+∞-∞=-?当0t≤时,( )Tft=0;当0t>时,55( )5120( )( )( )d5e5ed25etxtxtTftfxftxxxt+∞-----∞=-==??故得525e,0,( )0,0.tTttftt-?>=?≤?因为~(5)iTE,故知11( ),( )(1,2)525iiETDTi===37/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案所以,有122( )( )( )5ETETET=+=,122( )( )( )25DTDTDT=+=.(1T与2T独立)27.设两个随机变量X,Y相互独立,且都依照均值为0,方差为1/2的正态分布,求随机变量|X-Y|的方差.【解】设Z=X-Y,因为11~0,,~0,22XNYN??????????且X和Y互相独立,故( )0,( )1EZDZ==,即~(0,1)ZN.因为22( )( )(||)[(||)]DXYDZEZEZ-==-22( )[( )],EZEZ=-而2( )( )1EZDZ==(||)||dzEZzz+∞∞=?2/2038/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案edzzz+∞-==所以2(||)1πDXY-=-.28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为(01)pp<<,各产品合格与否互相独立,当出现一个不合格产品时,即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X,求( )EX和( )DX.【解】记1qp=-,X的概率分布为1( )iPXiqp-==1,2,3,i=故12111( )( ).1(1)iiiiqpEXiqppqpqqp∞∞39/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案-=='??'=====?--??∑∑又221211121( )( )iiiiiiEXiqpiiqpiqp∞∞∞---=====-+∑∑∑2232211( )12112.(1)iiqpqqpqpqppqqpqppp∞=''??''=+=+?-??+-=+==-∑所以22222211( )( )[( )].ppDX40/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案EXEXppp--=-=-=题29图29.设随机变量X和Y的联合分布在点(0,1),(1,0)及(1,1)为顶点的三角形地域上依照均匀分布.(如图),试求随机变量U=X+Y的方差.【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY)-E(X)·E(Y)].由已知条件得X和Y的联合概率密度为2,(,),(,)0,.xyGfxy∈?=??其余{(,)|01,01,Gxyxyxy=≤≤≤≤+≥从而11( )(,)d2d2.Xxfxfxyyyx+∞-∞-===??41/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案所以11122300031( )( )d2d,( )2d,22XEXxfxxxxEXxx=====???22141( )( )[( )].2918XXEX=-=-=同理可得31( ),( ).218EYDY==1115( )2dd2dd,12xGEXYxyxyxxyy-===42/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案????541Cov(,)( )( )( ),12936XYEXYEXEY=-=-=-于是1121( )( ).18183618DUDXY=+=+-=30.设随机变量U在区间[-2,2]上依照均匀分布,随机变量X=???->-≤-,U,U1,11,1若若Y=???>≤-.1,11,1U,U若若试求(1)X和Y的联合概率分布;(2)D(X+Y).【解】(1)为求X和Y的联合概率分布,就要计算(X,Y)的4个可能取值(-1,-1),(-1,1),(1,-1)及(1,1)的概率.P{X=-1,Y=-1}=P{U≤-1,U≤1}112dd1{1}444xxPU---∞-=≤-===??P{X=-1,Y=1}=P{U≤-1,U>1}=P{?}=0,P{X=1,Y=-1}=P{U>-1,U≤1}11d1{11}42xPU-=-<≤==?43/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案211{1,1}{1,1}{1}44xPXYPUUPU===>->=>==?.故得X与Y的联合概率分布为(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1110424XY----????????.(2)因22( )[( )][( )]DXYEXYEXY+=+-+,而XY+及2( )XY+的概率分布相应为202~111424XY-????+????,204( )~1122XY????+????.从而11( )(2)20,44EXY+=-?+?=211[( )]042,22EXY+=?+?=44/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案所以22( )[( )][( )]2.DXYEXYEXY+=+-+=31.设随机变量X的概率密度为f(x)=1( )e2xfx-=,( )x-∞<<+∞(1)求( )EX及( )DX;(2)求(,)CovXX,并问X与X能否不相关?(3)问X与X是否互相独立,为何?【解】(1)||1( )ed0.2xEXxx+∞∞==?2||201( )(0)eded2.2xxDXxxxx+∞+∞---∞=-==??(2)Cov(,)(||)( )(||)(||)XXEXXEXEXEXX=-=||1||ed0,2xxxx+∞45/60概率论与数理统计复旦大学第一版社第四章课后答案∞==?所以X与X不相关.为判断|X与X的独立性,需依定义构造合适事件后再作出判断,为此,对定义域x-∞<<+∞的子区间(0,+∞)上给出任意点x0,则有0000{}{||}{}.xXxXxXx-<<=<?<所以000{||}{}1.PXxPXx<<<<<故由00000{,||}{||}{||}{}PXxXxPXxPXxPXx<<=<><<得出X与X不互相独立.已知随机变量X和Y分别依照正态分布N(1