实验 怎样计算圆周率

实验怎样计算圆周率第1页，课件共18页，创作于2023年2月实验2怎样计算圆周率一、实验目的本实验主要涉及数值积分法、Taylor级数法和MonteCarlo法，要求尝试利用所知道的数学知识来进行近似计算。第2页，课件共18页，创作于2023年2月二、实际问题众所周知，圆周率是平面上圆的周长与直径之比，它等于3.1415926…。古代人把3作为它的近似值。古希腊阿基米德（Archimedes）曾得到。我国宋代的祖冲之得到的近似值（约率）和

（密率），后者化为小数后等于3.141592…，与的准确值的误差在以下。第3页，课件共18页，创作于2023年2月但是，你是否知道怎样计算的近似值？是否尝试过利用所知道的数学知识来计算的近似值，自己当一回阿基米德或祖冲之？我们建议了下面几种方法。这些方法很简单，一学就会，你不妨在计算机上试一试，体验一下自己得到值时的喜悦。相信你学会这些方法之后不会满足于只用来计算，而会利用它们来做别的事情。你也可以自己想出一些别的方法来计算。当然，现在有更快更好的方法计算，可以计算出的十万位以上的近似值。但这些方法就不那么简单了，不可能在这里介绍。如果有兴趣，可以从别的资料去了解。但是，你是否知道怎样计算的近似值？是否尝试过利用所知道的数学知识来计算的近似值，自己当一回阿基米德或祖冲之？我们建议了下面几种方法。这些方法很简单，一学就会，你不妨在计算机上试一试，体验一下自己得到值时的喜悦。相信你学会这些方法之后不会满足于只用来计算，而会利用它们来做别的事情。你也可以自己想出一些别的方法来计算。当然，现在有更快更好的方法计算，可以计算出的十万位以上的近似值。但这些方法就不那么简单了，不可能在这里介绍。如果有兴趣，可以从别的资料去了解。第4页，课件共18页，创作于2023年2月三、预备知识1.数值积分法定积分

计算出这个积分的数值，也就得到了的值。一般地，要计算定积分，也就是计算曲线与直线所围成的曲边梯形T的面积。

第5页，课件共18页，创作于2023年2月为此，用一组平行于y轴的直线

将曲边梯形T分成n个小曲边梯形，总面积S分成这些小曲边梯形的面积之和。如果取n很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它上方的边界近似看成直线段，将每个小曲边梯形近似地当作梯形来求面积，就得到梯形公式。如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似地看作抛物线段，就得到辛普森公式。具体公式如下：第6页，课件共18页，创作于2023年2月梯形公式：设分点将积分区间n等分，即，所有的曲边梯形的宽度都是，记，则第i个曲边梯形的面积近似地等于梯形面积，将所有这些梯形面积加起来就得到

这就是梯形公式。第7页，课件共18页，创作于2023年2月Simpson公式：仍用分点将积分区间分成n等分，再作每个小区间

的中点，将第i个小曲边梯形的上边界近似地看作经过三点的抛物线段，则可求得其中，于是得到这就是Simpson公式。第8页，课件共18页，创作于2023年2月2.Taylor级数法利用反正切函数的Taylor级数

计算。将代入上面的级数可以得到这似乎可以用来计算。但是，这个无穷级数应当比1小，最好是远比1小。

不实用。要使Taylor级数收敛快，收敛太慢，比如，得较快。但算出它的值对计算有何帮助呢？

就收敛也就是说：与有什么关系呢？

第9页，课件共18页，创作于2023年2月我们有，由正切的倍角公式可得，，。可以用作这还不够准确。我们把误差求出来对进行修正。由及可求得的近似值。但，

于是得到第10页，课件共18页，创作于2023年2月这称为Maqin公式，利用的Taylor展开式，的近似值，就可以由Maqin

由于是交错级数，当|x|<1时，可以简单地用来估计截断误差。求出公式求出的近似值。Taylor级数是无穷级数，实际计算时必然只能取它的前n项，导致截断误差第11页，课件共18页，创作于2023年2月3.MonteCarlo法单位圆的面积等于在平面直角坐标系中，以。可以用数值积分公式来计算这个面积的近似值。另一个方法是用MonteCarlo法，即用随机投点的方法来求这个面积的近似值。具体方法如下：，，，为四个顶点作一个正方形，其面积。是圆心角为直角的扇形，面积为以原点O为圆心的单位圆在这个正方形内的部分。在这个正方形内随机地投入n个点，设其中有m个点落在该扇形内，则第12页，课件共18页，创作于2023年2月

，随机投点可以这样来实现：任意产生区间[0，1]内的一组随机数x，y，则（x，y）就代表一个随机点P的坐标，这个点落在扇形内的充分必要条件是。另一种用MonteCarlo法来计算的方法是其步骤如下：1777年法国数学家Buffon提出的随机掷针实验。第13页，课件共18页，创作于2023年2月特别取针的长度时，。（1）取一张白纸，在上面画许多间距为d的等距平行线；（2）取一根长度为l（l<d）的均匀直针，随机地向画有平行线的纸上掷去，一共掷n次（n是一个很大的整数），观察针和直线相交的次数m；（3）由分析知道针和直线相交的概率，取为p的近似值，则第14页，课件共18页，创作于2023年2月四、实验任务1.选取不同的n，用梯形公式和Simpson公式计算

的近似值。2.误差的实际观察：选取，10000，100000，…等，观察n值的增加所导致的S值的变化情况，直到n的增加所导致的S的变化小于给定的误差界。比较同一个n值下梯形公式和Simpson公式计算结果的差别，对两个方法的精度差别获得一个感性认识。3.误差的理论分析：参考教材或参考资料，从理论上分析计算误差与n的关系，与实际观察结果相比较。第15页，课件共18页，创作于2023年2月4.半径为1的圆的面积等于。用数值积分法计算这个面积。5.利用Maqin公式，计算的近似值到给定的精度，与数值积分法得到的结果比较。如果要计算的前15位数字，计算和

应当取到幂级数展开式的多少项？取几千或几万项是否就能得到高精度的值？6.取不同的n用MonteCarlo法，将所得的的近似值记录下来，与已知的的值比较。第16页，课件共18页，创作于2023年2月7.观察n的大小对所得结果的精度的影响。可以看到：n太小，精度太差。但如果n太大，从计算机上所得的不是真正的随