初三数学二次函数解析式求法

优选文档优选文档PAGEPAGE5优选文档PAGE

初三数学二次函数分析式的求法

求二次函数表达式的基本方法是待定系数法，二次函数

的表达式有三种形式，每种形式都有三个待定系数，于是只

要有三个条件即可获得相应的方程，组成方程组，进而经过

解方程（组）获得问题的答案.

当已知条件是图象上三个点坐标时选择一般式方程：

y=ax2+bx+c（a≠0）；

当已知抛物线与x轴的两交点坐标时选择交点式方程：y=a

x-x1）（x-x2）（a≠0）；

当已知二次函数图象极点坐标或对称轴方程与最大值或最

小值时选择极点式方程：y=a（x-h）2+k（a≠0）.

依照代数条件求二次函数分析式

【例1】已知抛物线经过点（1，0），（-5，0），且极点纵坐

标为，求这个二次函数的分析式.

【分析】设一般式，将已知条件直接代入将获得一个三元

一次方程组，计算较繁，进一步分析，（1，0），（-5，0）是

抛物线与x轴两交点，由此可知抛物线对称轴为直线x=-2，

所以极点坐标为（－2，）.

解：∵点（1，0），（-5，0）是抛物线与x的两交点,

∴抛物线对称轴为直线x=-2，

∴抛物线的极点坐标为（－2，），

第1页

设抛物线的分析式为y＝ax2＋bx＋c，则有

∴所求二次函数分析式为

依照几何图形的性质求二次函数的分析式

【例2】已知张口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A

（x1，0），B（x2，0）（x1【分析】我们可把已知点C（0，

5）代入函数分析式，再由a+b+c=0和S△ABC=15这两个条件进行求解.

解法1：∵C（0，5），∴c=5，OC=5，

a+b+c=0，

a+b+5=0，∴b=-5-a.

分析式为y=ax2+（-5-a）x+5，∵S△ABC=×AB·5=15.

AB=6，即|x1-x2|=6.

又x1两边平方得（x2-x1）2=36，

∴（x1+x2）2-4x1x2=36，=36，7a2+2a-5=0.

解得

∵抛物线张口向下，∴舍，

a2=-1，∴y=-x2-4x+5.

解法2：由解法1可得AB=6，

a+b+c=0，

∴（1，0）在抛物线上.

又抛物线张口向下且过（0，5），

第2页

B（1，0），∴OB=1，

则OA=AB-OB=5，A在x轴负半轴上，∴A（-5，0）.

设y=a（x-1）（x+5），把（0，5）代入得-5a=5，∴a=-1.

y=-x2-4x+5.

【小结】比较以上两种解法，解法2简捷，若是题目中不

给张口方向，那么就有两种答案，用解法1直接求得两个解，而解法2即可能丢解。

几何条件求抛物线分析式时需依照图形性质求线段长再转变成点坐标，在转变过程中注意点的地址与点坐标的符号。

依照二次函数图象的性质求分析式的开放型问题

【例3】（2019·四川乐山）若二次函数y=ax2+bx+c的图

象知足以下条件：

①当x＜2时，y随x的增大而增大；

②当x≥2时，y随x的增大而减小.

则这样的二次函数分析式能够是____.

【分析】依照条件①、②可知二次函数张口向下，对称轴

为2.这样我们知道a值为负，＝2.我们可令a＝－1，则b

4，c可取任意值。解：y＝－x2＋4x＋3.

【例4】（2019?武汉）已知二次函数的图象张口向下，且

第3页

经过原点.请写出一个吻合条件的二次函数的分析式_____.

【分析】若是设二次函数的分