有理数运算讲义

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有理数的运算一、有理数基本加、减混杂运算有理数加法法规：①同号两数相加，取同样的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法规是运算的依照，依照有理数加法的运算法规，可以获得加法的运算步骤：①确立和的符号；②乞降的绝对值，即确立是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的地点，和不变.abba(加法交换律)②三个数相加，先把前两个数相加，也许先把后两个数相加，和不变.(ab)ca(bc)(加法联合律)有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为一致形式.②带分数可分为整数与分数两部分参加运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先联合相加得零.④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先联合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先联合在一起.⑥符号同样的数可以先联合在一起.有理数减法法规：减去一个数，等于加这个数的相反数.aba(b)有理数减法的运算步骤：①把减号变成加号（改变运算符号）②把减数变成它的相反数（改变性质符号）③把减法转变成加法，依照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混杂运算的步骤：①把算式中的减法转变成加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简单计算，求出结果.注意：依照有理数减法法规，减去一个数等于加上它的相反数，所以加减混杂运算可以依照上述法规转变成只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简单，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.比方：(3)(0.15)9(5)(11)30.159511，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和.【例1】计算：(2.39)(1.57)(5)(1(21(7.61)61.57)35))(32)(6767

1七年级（上）有理数运算讲义【例2】算：3133514；算：13211.7532463

【例3】算：413；212724.5算：(738)(78.36)(53)(13.64)(43)72323

【坚固】若a0，b0，ab0若a0，b0，ab0【坚固】若a0，b0，a(b)0；若a0，b0，且|a||b|，ab0.【例4】(第14届希望杯)有一串数：2003，1999，1995，1991，⋯，按必定的律摆列，那么串数中前个数的和最小．【例5】三个互不相等的有理数，既可分表示1，ab，a的形式，又可分表示0，b，的形式，aa2004b2001【例6】出一串整数：203，202，...，2003，2004，串整数共有个；它的和是【例7】1997个不全相等的有理数之和0，1997个有理数中()A．最罕有一个是零B．最罕有998个正数．最罕有一个是数．至多有995个是数CD【坚固】若ab0cd，以下四此中，正确的选项是()A．abcd必定是正数．B．dcab可能是数．C．dcba必定是正数．D．cdba必定是正数．【例8】市2007年5月份某一周的日最高气温（位：oC）分：25，28，30，29，31，32，28，周的日最高气温的均匀（）A.28oCB.29oCC.30oCD.31oC【例9】商场新了10箱橙子，每箱准重量50，到后商场复秤果以下（商场准重量的千kg克数正数，不足的千克数数）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8，+0.3，+0.1.那么商场的橙子共多少千克？

2七年级（上）有理数运算讲义

【坚固】电子跳蚤在数轴上的某一点K0，第一步K0向左跳1个单位到点K1，第二步由点K1向右跳2个单位到点K2，第三步有点K2向左跳3个单位到点K3，第四步由点K3向右跳4个单位到点K4，．．．．．．，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰好是19.94．求电子跳蚤的初始地点点K0所表示的数．

二、有理数基本乘法、除法

Ⅰ：有理数乘法

有理数乘法法规：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.

有理数乘法运算律：

①两个数相乘，交换因数的地点，积相等.abba(乘法交换律)

②三个数相乘，先把前两个数相乘，也许先把后两个数相乘，积相等.abca(bc)(乘法联合律)

③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.a(bc)abac(乘法分配律)

有理数乘法法规的推行：

①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.

②几个数相乘，假若有一个因数为0，则积为0.

③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，

或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.

在进行有理数运算时，先确立符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.

【例10】345826计算：111112211142612

【例11】计算：(3)1411513计算：81295129412959211161616

3七年级（上）有理数运算讲义【坚固】计算：735(1)(36)计算：36(11111).124623469

【例12】积1111111134...198199的值的整数部分是1235100101

【例13】设nn≥2个正整数a1，a2，a3，...，an，任意改变他们的序次后，记作b1，b2，b3，...，bn，若Pa1b1a2b2a3b3...anbn，则（）A．P必定是奇数B．P必定是偶数C．当n是奇数时，P是偶数D．当n是偶数时，P是奇数【例14】若a，b，c，d是互不相等的整数，且abcd9则abcd的值为( )．0．4．．没法确立．ABC8D【坚固】假如4个不同样样的正整数m，n，p，q满足(7m)(7n)(7p)(7q)4，那么mnpq的值是多少？

【例15】假如a，b，c均为正数，且abc152，bac162，cab170，那么abc的值等于【例16】若19a98b0，则ab是（）.正数.非正数.负数.非负数ABCD【坚固】奇数个负数相乘，积的符号为，个负数相乘，积的符号为正.【坚固】假如(ab)2(ab)24，则必定成立的是()A．a是b的相反数B．a是b的相反数C．a是b的倒数D．a是b的倒数【坚固】a、b、c为非零有理数，它们的积必为正数的是（）A．a0，b、c同号B．b0，a、c异号C．c0，a、b异号D．a、b、c同号【坚固】若a，b，c三个数互不相等，则在ab，bc，ca中，正数必定有()bccaabA．0个B．1个C．2个D．3个4七年级（上）有理数运算讲义

Ⅱ：有理数除法

有理数除法法规：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.aba1，(b0)b

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；

0除以任何一个不等于0的数，都得0.

有理数除法的运算步骤：第一确立商的符号，此后再求出商的绝对值.

【例17】计算：312111计算：211031533523

【坚固】计算：(1111)(1)；计算：(5)3(1.25)(31)1.4(5).23456024423

【例18】用“＞”或“＜”填空

⑴假如ab0，ac0那么b0；⑵假如a0，b0那么ac0.cbc

(3)假如a0，b0，试确立ac的符号.bc

【例19】观察下边的式子：224，224;3341，3341;22224451，4451;33335561，55614444⑴小明归纳了上边各式得出一个猜想：两个有理数的积等于这两个有理数的和，小明的猜想正确吗？为何？

⑵请你观察上边各式的结构特色，归纳出一个猜想，并证明你的猜想

5七年级（上）有理数运算讲义【例20】已知a、b互为相反数，c、d互为负倒数，x的绝对值等于它相反数的2倍.求x3abcdxabcd的值.

1111111111【例21】计算：(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)246810357911

三、有理数的混杂运算序次

1）“先乘方，再乘除，最后加减”的序次进行；

2）同级运算，从左到右进行；

3）若有括号，先做括号的运算，按小括号、中括号、大括号挨次进行。四、有理数的乘方：

求n个同样因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）。an中，a叫做底数（basenumber），n

叫做指数（exponent）。

依照有理数的乘法法规可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0

的任何正整数次幂都是0。

五、有理数常考经典计算题型

一、应用定律

【例22】计算：1317110105.21495.25.434.61255102

二、应用公式6三、整体代【例24】算：111111111123...1...20031...200423...2004222003

四、裂【例25】算：(11111111)128．8244880120168224288

五、分别法1331215【例26】算：83132648258653

【例27】1,数的原点O上有一个牛，第1次向正方向爬1个位度，接着第2次反向爬2个位度，第3

次向正方向爬3个位度，第4次反向爬4个位度⋯⋯，挨次律爬下去，当它爬完第100次在B

点．

①求O、B两点之的距离（用位度表示）．

②若点C与原点相距50个位度，牛的速度每分2个位度，需要多少才能到达？

③若牛的速度每分2个位度，1小牛离O点多？

7七年级（上）有理数运算讲义【例28】2,在数学活动中，小明为了求1111...1的值（结果用n表示），设计了以以以以下图的几何图222324n22形

1122

2112423

图1图2

⑴请你用这个几何图形求1111...12223242n的值2⑵请你用图2，再设计一个能求1111223...n的值的几何图形222111)(111)_______【例2